матан задачи к экзамену. 1. Среди 12 поступающих в ремонт часов 7 нуждаются в общей чистке механизма
 Скачать 1.5 Mb.
|
|
1. Среди 12 поступающих в ремонт часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Какова вероятность того, что среди взятых одновременно наудачу 4 часов в общей чистке механизма нуждаются а) трое; б) по крайней мере двое? 2. Два студента условились встретиться в определенном месте между 16 ч. и 16ч. 30 мин. Договорились, что пришедший первым ждет другого в течении 10 мин., после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если приход каждого в течение указанного времени может произойти в любое время и моменты прихода независимы. 3. Вероятность попадания при стрельбе из 3-х орудий равны соответственно 9 , 0 ; 7 , 0 ; 8 , 0 3 2 1 P P P Найти вероятность: а) одного попадания при одном залпе из всех орудий, б) хотя бы одного попадания. 4. По результатам проверки контрольных работ оказалось, что в первой группе получили положительную оценку 20 студентов из 30, а во второй – 15 из 25. Найти вероятность того, что наудачу выбранная работа, имеющая положительную оценку, написана студентом второй группы. 5. Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено: а) ровно четыре изделия, б) более трех изделий. 6. В лифт на первом этаже девятиэтажного дома вошли 4 человека, каждый из которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже со 2-го по 9-й. Какова вероятность того, что все пассажиры выйдут: а) на 6-м этаже; б) на одном этаже. 7. На отрезок ОА длины L числовой оси Ox наудачу поставлена точка B(x). Найти вероятность того, что меньший из отрезков OB и BA имеет длину, меньшую, чем L/3.Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. 8. В магазине продаются 12 телевизоров, 4 из них имеют дефекты. Какова вероятность того, что посетитель купит телевизор, если для выбора телевизора без дефектов понадобится не более четырех попыток? 9. В одном из ящиков находится 7 деталей, из которых 3 нестандартные; в другом – 5 деталей, из них 2 нестандартные. Из первого ящика наудачу вынимают одну деталь и перекладывают во второй ящик. Затем из второго ящика наудачу вынимают две детали. Найти вероятность того, что извлеченные из второго ящика детали окажутся нестандартными. 10. Всхожесть семян огурцов равна 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут а) три, б) не менее четырех. 11. На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность того, что среди трех выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажется а) два вагона с нечетными номерами, б) хотя бы два вагона с четными номерами. 12. На отрезок ОА длины L числовой оси Ox наудачу поставлены две точки B(x) и C(y).. Найти вероятность того, что отрезок BC имеет длину, меньшую, чем L/3.Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. 13. В путь отправились два велосипедиста. Вероятность своевременного прибытия 1-го 0,8, 2-го 0,9. Найти вероятность того, что: а) только один прибудет вовремя; б) хотя бы один прибудет вовремя; в) оба прибудут вовремя. 14. В среднем из каждых 100 клиентов отделения банка 60 обслуживаются первым операционистом и 40 – вторым операционистом. Вероятность того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляет 0,9 и 0,75 соответственно для первого и второго служащих банка. Найти вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом. 15. На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для продажи билетов. Вероятность выхода из строя одного автомата в течение часа равна 0,004. Какова вероятность того, что в течение часа а) выйдет из строя три автомата, б) исправно будут работать по крайней мере 998 автоматов. 16. На полке 8 книг, из которых 3 без переплета. Взяты 2 книги. Найти вероятность того, что: а) обе книги в переплете; б) хотя бы одна в переплете. 17. На отрезок ОА длины L числовой оси Ox наудачу поставлены две точки B(x) и C(y), причем x>y. Найти вероятность того, что отрезок BC имеет длину, меньшую, чем L/4.Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. 18. Три стрелка выстрелили залпом по цели. Вероятности попадания в цель стрелками соответственно равны 0,4, 0,3 и 0,5. Найти вероятность того, что а) два стрелка поразят мишень; б) хотя бы один стрелок промахнется. 19. Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый рабочий изготовил 40 изделий, второй – 35, третий – 25. Вероятность брака у первого рабочего 0,03, у второго – 0,02, у третьего – 0,01. Взятое наугад изделие оказалось бракованным. Определить вероятность того, что это изделие изготовил второй рабочий. 20. Вероятность того, что малое предприятие за время t станет банкротом, равна 0,3. Найти вероятность того, что из восьми малых предприятий за время t сохранятся: а) два; б) более двух. 21. Вероятность работы каждого из имеющихся комбайнов без поломок в течение определенного времени равна 0,75. Составить закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию числа комбайнов, работающих безотказно среди вышедших на поле десяти. 22. Отрезок длиной 14 см случайным образом разрезается на две части. Точка разреза равномерно распределена по всей длине отрезка. Составить функцию и плотность вероятности распределения длины малой части отрезка. Найти ее математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что длина малой части отрезка равна 4 см. 23. Из коробки с шестью деталями, среди которых четыре стандартные, наудачу взяты три детали. Составить закон распределения случайной величины Х- числа стандартных деталей среди отобранных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины -3Х+4. 24. Случайная величина Х задана плотностью распределения ] , 0 ( , 0 ] , 0 ( , 49 2 ) ( a x a x x x f Найти 1) параметр а; 2) ), ( ) 3 ), ( X M x F 4) ); 2 , 0 ( X P 5) ); 3 ( X P 6) ). 3 1 ( X P 25. При работе ЭВМ возникают сбои. Поток сбоев можно считать простейшим. Среднее число сбоев за сутки равно 1. Составить закон распределения числа сбоев за двое суток. Найти вероятности следующих событий: А – за двое суток не будет ни одного сбоя; В – в течение суток произойдет хотя бы один сбой; С – за неделю работы машины произойдет не менее трех сбоев. 26. Известно, что случайная величина, распределенная по нормальному закону принимает значение меньше 248 с вероятностью 0,975, а значение больше 279 с вероятностью 0,005. Найти параметры нормального закона распределения и записать функцию плотности распределения. 27. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона. Составить закон распределения числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает. Найти математическое ожидание, дисперсию случайной величины -2Х+5. 28. Случайная величина Х задана плотностью распределения ] 3 , 0 ( , 0 ] 3 , 0 ( , 2 ) ( 2 x x a x x f Найти 1) параметр а; 2) ), ( ) 3 ), ( X M x F 4) ); 5 , 3 ( X P 5) ); 3 ( X P 6) ). 4 1 ( X P 29. Клиенты банка, не связанные друг с другом, возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,95. Составить закон распределения числа невозвращенных в срок кредитов из 6 выданных. Найти М(Х), D(Х) этой случайной величины и вероятность того, что число невозвращенных в срок кредитов не более двух. 30. Время ремонта телевизора – случайная величина с экспоненциальным законом распределения. Найти функцию и плотность распределения этой случайной величины, если среднее время ремонта телевизора составляет 5 дней. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется: а) от 4 до 7 дней; б) ровно 6 дней. 31. В урне 5 белых и 20 черных шаров. Вынули наудачу 3 шара. Случайная величина Х – число вынутых черных шаров. Составить закон распределения случайной величины Х. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины 3Х+2. 32. Случайная величина Х задана плотностью распределения ] 4 , 0 ( , 0 ] 4 , 0 ( , ) ( x x ax x f Найти 1) параметр а; 2) ), ( ) 3 ), ( X M x F 4) ); 2 , 0 ( X P 5) ); 3 ( X P 6) ). 3 1 ( X P 33. В страховом обществе застраховано 1000 лиц одного возраста и одной социальной группы. Вероятность увечья в течение года для каждого застрахованного равна 0,006. Составить закон распределения числа застрахованных, получивших увечье. Найти М(Х), D(Х) этой случайной величины и вероятность того, что в течение года получат увечье не более двух застрахованных. 34. Длина изготавливаемых деталей распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина детали) 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32мм и не более 68мм. Составить функцию плотности распределения этой случайной величины. Определить вероятность того, что длина наудачу выбранной детали: а) больше 55мм; б) меньше 40мм; в) равна 50мм. 35. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равна соответственно 0,6, 0,7 и 0,8. Составить закон распределения числа справочников, в которых содержится нужная студенту формула. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 5Х-1. 36. Случайная величина Х задана плотностью распределения ] 3 , 0 ( , 0 ] 3 , 0 ( , 9 2 ) ( x x a x x f Найти 1) параметр а; 2) ), ( ) 3 ), ( X M x F 4) ); 5 , 3 ( X P 5) ); 3 ( X P 6) ). 4 1 ( X P 37. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом включенных ламп за время окажется: а) меньше трех; б) не меньше трех. 38. Известно, что 1/3 всех деталей, сходящих с конвейера, подвергается выборочному контролю на основании некоторого случайного признака. Пусть через контроль прошло 100 деталей. В каких пределах с вероятностью 0,99 лежит общее число деталей, сошедших с конвейера? 39. Совместный закон распределения двумерной случайной величины ( ) задан таблицей -1 0 1 -1 1/12 1/4 1/6 1 1/4 1/12 1/6 Найти закон распределения случайной величины и вычислить ( ) Исследовать вопрос о зависимости случайных величин 40. Прибыль производителя зависит от рыночной цены на расходуемое сырье по закону: ⁄ . Предполагая, что возможная цена равномерно распределена от 4 до 8 ден.ед. найти: а) среднюю прибыль; б) среднее квадратическое отклонение прибыли. 41. Изготовлена партия деталей. Среднее значение длины детали равно 30 см, а среднее квадратическое отклонение равно 0,2 см. Оцените снизу вероятность того, что длина наудачу взятой детали окажется не менее 29,5 см и не более 30,5 см. 42. Известно, что вес некоторой детали является случайной величиной , имеющей равномерное распределение на отрезке от 1 до 2 г. В каких пределах с вероятностью 0,99 будет находиться суммарный вес 10000 деталей? 43. Совместный закон распределения двумерной случайной величины ( ) задан таблицей 0 1 2 1 0,1 0,3 0,2 2 0,2 0,1 0,1 Найти закон распределения случайной величины и вычислить ( ) Исследовать вопрос о зависимости случайных величин 44. Прибыль производителя зависит от рыночной цены на выпускаемый товар по закону: . Предполагая, что возможная цена равномерно распределена от 10 до 12 ден.ед. найти: а) среднюю прибыль; б) среднее квадратическое отклонение прибыли. 45. Дисперсия каждой из 1000 независимых случайных величин равна 4. Оцените вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий по абсолютной величине не превысит 0,2. 46. Предприятие выпускает 20% изделий — стоимостью 1 тыс.руб., 30% изделий — стоимостью 2 тыс.руб. и остальные — стоимостью 3 тыс.руб. Какова вероятность получить за 1000 случайно отобранных изделий не менее 2150 тыс.руб.? 47. Совместный закон распределения двумерной случайной величины ( ) задан таблицей -2 0 2 0 1/8 1/6 1/6 2 1/12 1/12 3/8 Найти закон распределения случайной величины и вычислить ( ) Исследовать вопрос о зависимости случайных величин 48. Работа состоит из двух частей, которые выполняются независимо и последовательно. Время выполнения первой части равномерно распределено от 1 до 3 часов, второй – от 2 до 4 часов. Найти: а) среднее время выполнения все работы; б) среднее квадратическое отклонение выполнения всей работы. 49. Каждая из 1000 независимых случайных величин имеет дисперсию, равную 4, а математические ожидания их одинаковы. Оцените вероятность того, что среднее арифметическое случайных величин отклонится от математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 0,1. 50. На распределительную базу поступило 100 одинаковых ящиков с радиолампами. Среднее число радиоламп в каждом ящике, которые пришли в негодность за время транспортировки, равно 3, среднее квадратическое отклонение 2. Определить границы, в которых с вероятностью не менее 0,8, будет заключено общее число радиоламп, пришедших в негодность за время транспортировки. 51. Совместный закон распределения двумерной случайной величины ( ) задан таблицей 1 2 3 1 1/9 1/6 1/3 2 1/9 1/18 2/9 Найти закон распределения случайной величины и вычислить ( ) Исследовать вопрос о зависимости случайных величин 52. Работа состоит из двух частей, которые выполняются независимо и последовательно. Время выполнения первой части равномерно распределено от 1 до 2 часов, второй – от 1 до 3 часов. Найти: а) среднее время выполнения все работы; б) среднее квадратическое отклонение выполнения всей работы. |