ВМ. ВМ 11.03.02 1 курс 1 семестр МУиКЗ. Учебнометодическое пособие по курсу высшая математика часть 1 для студентов Центра заочного образования по программе
 Скачать 0.68 Mb.
|
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИОрдена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московский технический университет связи и информатикиКафедра теории вероятностей и прикладной математикиУчебно-методическое пособие по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть 1 для студентов Центра заочного образования по программе бакалавров (ЦЗОПБ) 1 курса (направления: 11.03.02) 1 семестр Москва 2021 План УМД на 2021/22 уч.г. Учебно-методическое пособие по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть 1 Составители: А.В. Власов, доцент Издание утверждено на заседании кафедры. Протокол № __ от __.__.2021 г. Рецензент Студенты Центра заочного образования по программе бакалавра (ЦЗОПБ) первого курса специальности 11.03.02 Инфокоммуникационные технологии и системы связи МТУСИ изучают дисциплину «Высшая математика» в первом, втором и третьем семестрах. По этой дисциплине каждый студент должен выполнить контрольную работу в каждом семестре, а также сдать экзамен в первом и третьем семестре и зачет во втором семестре.. Настоящее учебно-методическое пособие и контрольная работа относятся к части курса, изучаемого в первом семестре первого курса. Пособие не заменяет учебников по высшей математике. Оно содержит разъяснения о порядке изучения программного материала; в нем кратко освещены отдельные вопросы, которые могут встретить затруднение при самостоятельном изучении дисциплины, приведены методы решения некоторых типовых задач и задания для выполнения контрольной работы. Изучать курс следует на основании проводимых со студентами очных занятий, а также по литературе, перечисленной в настоящем учебно-методическом пособии. Бюджет времени (в часах) студента–заочника для изучения первой части курса «Высшая математика» в первом семестре:
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫРаздел 1 Теория пределов, непрерывность функций 1.1. Определение предела функции. Виды неопределенностей и их раскрытие. 1.2. Первый и второй замечательный пределы. 1.3. Непрерывность функции и виды разрывов: устранимый разрыв, разрывы первого и второго рода. Раздел 2. Производная функции и ее приложения 2.1. Определение производной. Таблица производных элементарных функций. Правила дифференцирования. 2.2. Техника дифференцирования. Вычисление производной сложной функции. 2.3. Дифференцирование неявной функции и функции, заданной параметрически. 2.4. Физический и геометрический смысл производной. 2.5. Исследование элементарных функций и построение их графиков. Раздел 3. Неопределенный интеграл функции одной переменной. 3.1. Понятие неопределенного интеграла. Первообразная. Таблица неопределенных интегралов элементарных функций. Правила интегрирования. 3.2. Методы вычисления неопределенных интегралов: замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. 3.3. Вычисление интегралов от дробно-рациональных и тригонометрических функций. Раздел 4. Определённый интеграл функции одной переменной. Геометрические приложения. Несобственные интегралы 4.1. Понятие определённого интеграла. Интегральные суммы. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона- Лейбница. 4.2. Методы вычисления определённого интеграла: замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. 4.3. Использование определенных интегралов для вычисления площадей и объемов.. 4.4. Несобственные интегралы первого и второго рода. Раздел 5. Определители. Матрицы. Решение систем линейных уравнений 5.1.Определитель. Вычисление определителя второго порядка. Алгебраическое дополнение элемента определителя. Разложение определителя третьего порядка по любой строке (столбцу). 5.2. Правило Крамера решения систем линейных уравнении. 5.3. Числовые матрицы. Умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц. Квадратные матрицы. Единичная матрица. Обратная матрица и ее нахождение для невырожденной квадратной матрицы. 5.4. Матричный метод решения линейной системы уравнений. 5.5. Ранг матрицы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература 1. Лакерник А.Р. Лекции по математическому анализу и высшей математике [Электронный ресурс]: Учебное пособие. Конспект лекций для всех направлений подготовки/МТУСИ, каф. математического анализа; авт.: Лакерник А.Р.-М.,2012.-CD. 2. Андреева Н.П. Дифференциальное и интегральное исчисление: Практикум по высшей математике для 1 курса [Электронный ресурс]:Учебное пособие (для направлений подготовки: 210700, 230100, 230400, 210400)/МТУСИ, каф. математического анализа; сост. Андреева Н.П. , Арутюнян Р.В., Зубова М.Н., Лакерник А.Р., Райцин А.М.-М.,2012.-1 CD. См. ЭБ № 425444 3. Александров Ю.Л. Определенные и несобственные интегралы. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие: Практикум по высшей математике для бакалавров, обуч. по направлениям:210700, 230100, 230400, 210400, 11.03.01, 11.03.02, 09. 03.01,09.03.02/МТУСИ, каф. математического анализа; авторы: Ю. Л. Александров, Р.В. Арутюнян, А.В.Куприн, А.Р. Лакерник, А.М. Райцин.-2-е изд. , доп.-М., Барнаул: Новый формат. Второй семестр.-2017.-148 с. Дополнительная литература 1. Лакерник А.Р. Высшая математика: краткий курс: учебное пособие для студ. по напр. "Телекоммуникации"/Лакерник А.Р.-М. : Логос,2008.-528 с.+ CD. См. ЭБ № 472 . 2. Арутюнян Р.В. Ряды. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление: Практикум по высшей математике для бакалавров, обучающихся по направлениям подготовки 11.03.01, 11.03.02, 15.03.04, 27.03.04 (210700,230400,230100, 210400)/МТУСИ, каф. математического анализа; сост. Арутюнян Р.В., Куприн А.В., Лакерник А.Р., Руднев В.Ю.-М., 2015.-126 c.+CD. 3. Куприн А.В. Практикум по аналитической геометрии и линейной алгебре: учебное пособие для бакалавров по направлениям 11.03.01,11.03.02,09.03.01,09. 03. 02/МТУСИ, каф. математического анализа; авт.:Куприн А.В., Маненков С.А., Фроловичев С.М.-М.,2019.-80 с.+ CD. 4. Куприн А.В. Курс лекций по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб. пособие для всех технических направлений/МТУСИ, каф. математического анализа; авт. Куприн А.В., Фроловичев С.М .-М. :МТУСИ,2016.-86с. 5. Фридлендер Б.И., Хаиров Р.А. Элементы булевой алгебры: Уч. пособие/Б.И.Фридлендер, Р.А. Хаиров.-М. :МТУСИ,2005.- 40 с. 6. Фридлендер Б.И., Хаиров Р.А. Графы. Учебное пособие. МТУСИ, М. 2005. ТЕМАТИКА ЛЕКЦИЙ Лекция №1. Определение предела функции. Основные теоремы о пределах – пределах суммы, произведения, частного и сложной функции. Неопределенности при вычислении пределов и их раскрытие. Замечательные пределы. Лекция №2. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Интегрирование методом замены переменной. Интегрирование по частям Лекция №3. Определитель. Разложение определителя по любой строке (столбцу). Матрица. Операции над матрицами: множение матрицы на число, сложение и умножение матриц. Квадратные матрицы. Единичная матрица. Обратная матрица для невырожденной квадратной матрицы и метод ее нахождения. ТЕМАТИКА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ Практическое занятие №1 Определение производной. Физический и геометрический смысл. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Таблица производных. Производная сложной функции. Производная функции, заданной неявно. Практическое занятие №2. Интегральная сумма. Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в неопределенном интеграле. Несобственный интеграл. Практическое занятие №3. Системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений по методу Крамера и матричному методу. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ 1. Самостоятельная работа над учебником Самостоятельная работа над учебником является основным видом работы студента-заочника. В самостоятельной работе следует руководствоваться следующими положениями. 1. Изучать курс высшей математики следует систематически в течение всего учебного процесса. Изучение в сжатые сроки перед экзаменом не дает глубоких и прочных знаний. 2. Все выкладки и вычисления необходимо проделывать на бумаге. Чтение учебного пособия следует сопровождать изучением конспекта, в котором записываются определения основных понятий курса, формулы, теоремы, а также воспроизводятся соответствующие чертежи и графики. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для консультации с преподавателем. 3. Работая по основному учебнику, рекомендованному в настоящем пособии, студент должен обращаться к указанной дополнительной литературе. Это необходимо в тех случаях, когда основной учебник не дает полного ответа на некоторые вопросы программы. Кроме того, в дополнительной литературе, разработанной в основном преподавателями МТУСИ, учтен профиль университета, приведено много примеров и задач, облегчающих последующее изучение специальных дисциплин. 2. Решение задач Приступть к решению задач, следует после изучения очередного раздела по учебнику и внимательного рассмотрения примеров решения типовых задач по данному пособию. Решение следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями. Решение каждой задачи должно доводиться до окончательного ответа и, по возможности, приводиться в общем виде. Числовые данные подставляются в формулу в конце решения задачи. В промежуточные и итоговые вычисления не следует вводить приближенные значения корней, число и т.д. 3. Выбор варианта Вариант контрольной работы выбирается в соответствии с двумя последними цифрами студенческого билета. А. Если две последние цифры студенческого билета образуют число, меньше 50, то номер варианта совпадает с этим числом. Например, если номер студенческого билета БИН20023, то номер варианта 23. В. Если две последние цифры студенческого билета образуют число больше или равное 50, то для получения номера варианта из этого числа надо вычесть 50. Например, если номер студенческого билета БИН20068, то номер варианта 68-50=18. 4. Выполнение контрольных работ При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующим. 1. Контрольная работа выполняется в обычной ученической тетради (при размещении контрольной работе на сайте допускается использование листов формата А4). Она должна быть аккуратно и четко написана 2. Решения задач в контрольных работах сопровождается исчерпывающими, но краткими объяснениями. Задачи располагаются в порядке номеров, указанных в заданиях; перед решением задачи выписывается полностью ее условие. 3. По получении из института прорецензированной работы студент обязан выполнить указания, сделанные рецензентом. В случае, если контрольная работа не зачтена, студент обязан в этой же тетради (после заключения рецензента) внести все исправления, решить заново задачи, указанные рецензентом, и представить работу на повторную рецензию. 4. Контрольная работа выполняется самостоятельно. 5. В конце работы указывается использованная литература. 6. Контрольная работа подписывается с указанием даты выполнения. 7. Контрольные работы, выполненные без соблюдения изложенных выше правил или по чужому варианту, не зачитываются и возвращаются. 5. Сдача экзаменов К сдаче экзаменов допускаются студенты, имеющие выполненную и зачтенную контрольную работу. Экзамен сдается устно. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА Внимание! Данные методические указания предназначены для краткого ознакомления с дисциплиной «Высшая математика». В них приведены теоретические результаты без доказательства и рассмотрены примеры решения задач, подобных задачам, содержащихся в контрольной работе. При изучения дисциплины «Высшая математика» кроме данного пособия необходимо использовать для самостоятельной работы литературу из списка, приведенного на стр. 5-6. Раздел 1 Теория пределов, непрерывность функций Не касаясь строгого определения предела, приведем здесь лишь смысл этого понятия. Пусть задана некоторая функция  , определенная в окрестности точки  , кроме, быть может, самой точки. Пределом функции  при  называется число  , к которому стремится функция, при приближении аргумента  к числу  :.  . При вычислении предела первое, что надо сделать – подставить в выражение функции. Если указанное значение аргумента функции принадлежит области ее определения, то в результате получится некое число  , которое и является пределом функции при . Однако, в некоторых случаях при подстановке в формулу появляется так называемая неопределенность, которая символически записывается в одном из следующих видов:  или  . В этом случае необходимо применять специальные методы вычисления пределов, называемые методами раскрытия неопределенностей. Также необходимо рассмотреть методы вычисления пределов функций при  Задача 1.1. Найти предел:  Решение. Убеждаемся, что при  числитель и знаменатель выражения стремятся к бесконечности, и получаем неопределенность вида  . Делим числитель и знаменатель рациональной дроби на переменную в наивысшей степени, то есть, в данном случае, на  . Учитывая, что и  , а также используя ряд свойств пределов, получаем: .Задача 1.2. Найти предел:   Решение. В первую очередь подставим в выражение функции  и убедимся, что данном случае мы имеем дело с неопределенностью вида  . Далее используем метод разложения трехчлена на множители, а именно:  , где  - корни квадратного трехчлена. Учитывая, что корни знаменателя  , а корни знаменателя  , представим исходный предел в виде: .Заметим, что вместе с сокращением в числителе и знаменателе множителя  , из выражения уходит неопределенность. Теперь в выражение под знаком предела можно подставить и получить, что данный предел равен  .Ответ: .Задача 1.3. Найти предел:  .Решение. Подставляем данное выражение  и получаем неопределенность вида  Выражения  называется для выражения  сопряженным, а его умножение на сопряженное позволяет избавиться в этом выражении от радикалов: ( ) ( - Таким образом, домножая числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, получим:  = .Ответ:  .Важное место в теории пределов занимают первый и второй замечательные пределы. Первый замечательный предел имеет вид:  .Задача 1.4. Найти предел:  .Решение .  .Ответ: 3. Второй замечательный предел представляет собой неопределенность вида и записывается одним из нижеследующих способов:  или  Задача 1.5. Найти функции:  .Решение: Убедимся сначала, что данное выражение представляет собой неопределенность вида . Далее вычислим указанный предел, приводя его ко второму замечательному пределу, записанному в виде:   .Ответ:  . | ||||||||||||