Введение
Обычно теорию игр определяют как раздел математики для изучения конфликтных ситуаций. Это значит, что можно выработать оптимальные правила поведения каждой стороны, участвующей в решении конфликтной ситуации.
В экономике, например, оказался недостаточным аппарат математического анализа, занимающийся определением экстремумов функций. Появилась необходимость изучения так называемых оптимальных минимаксных и максимальных решений. Следовательно, теорию игр можно рассматривать как новый раздел оптимизационного подхода, позволяющего решать новые задачи при принятии решений.
Игра - упрощенная формализованная модель реальной конфликтной ситуации. Математически формализация означает, что выработаны определенные правила действия сторон в процессе игры: варианты действия сторон; исход игры при данном варианте действия; объем информации каждой стороны о поведении всех других сторон.
Статистические игры как математические модели принятия оптимальных решений в условиях неопределённости и риска находят всё более широкое применение в экономике, технике, математической статистике. Статистические модели представляют собой игру двух лиц (человека и природы) с использованием человеком дополнительной статистической информации о состояниях природы.
Функция риска зависит от множества состояний природы и от множества функций решения и принимает значение, выраженное действительными числами. Она определяет математическое ожидание функции потерь при некотором состоянии природы и известной статистику функции распределения.
1.Статистические игры 1.1. Общие сведения
Создателем теории статистических игр считается А. Вальд. Он показал, что в теории принятия решений статистические игры являются основным подходом, если решение принимается в условиях частичной неопределенности.
Статистические модели представляют собой игру двух лиц (человека и природы) с использованием человеком дополнительной статистической информации о состояниях природы.
Она существенно отличается от антагонистической игры двух лиц с нулевой суммой, где выигрыш одного равен проигрышу другого.
В статистической игре природа не является разумным игроком, который стремится выбрать для себя оптимальные стратегии. Этот игрок не заинтересован в выигрыше. Другое дело человек, в данном случае статистик. Он имеет целью выиграть игру с воображаемым противником, т. е. с природой.
Игрок-природа не выбирает оптимальной стратегии, но статистик должен стремиться к определению распределения вероятностей состояния природы. Следовательно, основными отличиями статистической игры от стратегической являются:
• отсутствие стремления к выигрышу у игрока-природы, т. е. отсутствие антагонистического противника;
• возможность второго игрока - статистика провести статистический эксперимент для получения дополнительной информации о стратегиях природы.
Так, например, статистик, работающий в фирме «Одежда», может изучить многолетние данные о погодных условиях в местностях, где одежда будет продаваться, и в зависимости от наиболее вероятного состояния погоды выработать рекомендации, куда и какое количество партий изделий отправлять, где выгоднее и на каком уровне провести сезонное снижение цен и т. д.
Таким образом, теория статистических решений является теорией проведения статистических наблюдений, обработки этих наблюдений и их использования.
В теории статистических решений основные правила могут быть детерминированными и рандомизированными.
В статистических играх используются понятия: риск (функция риска), потери (функция потерь), решение (функция решения), функции распределения при определенных условиях.
Необходимо пояснить понятие рандомизации. Это статистическая процедура, в которой решение принимается случайным образом. Математическая энциклопедия это определяет более подробно: «Статистическая процедура принятия решения, в которой по наблюденной реализации х случайной величины Х решение принимается с помощью розыгрыша по вероятностному закону, называется рандомизацией»*.
* Математическая энциклопедия. Т.4. - М.: Советская энциклопедия, 1984. - С. 865.
Введем условные обозначения:
В или W - множество состояний природы;
В. или Qj - отдельное состояние природы, Qj Î W;
А — множество действий (решений) статистика;
а - отдельное решение статистика, a Î А;
L - функция потерь. Множества W и А предполагаются численно определенными, поэтому представляется возможным установить распределение вероятностей. Если принятое статистиком решение a Î А и состояние природы Q Î W, то функция потерь запишется L(Q; a);
D - совокупность всех нерандомизированных (чистых) функций решения;
d( ) - функция решения; - случайный вектор. Характеристикой функции решения является функция потерь. Статистик может перед принятием одного из возможных решений провести эксперимент, который заключается в наблюдении случайной переменной х. В итоге представляется возможным получить распределение этой случайной переменной в зависимости от состояния природы Q;
F(x|Q) - функция условного распределения случайной переменной х. Предполагается, что для каждого состояния природы Q известно значение функции F(x|Q);
п - объем выборки;
xQ — множество всех выборок объема п. После получения результата эксперимента х статистик использует некоторую функцию решения и принимает одно из решений а Î А, когда результат эксперимента - вектор :
R — функция риска;
R(Q,d) - функция риска, определенная на прямом произведении W´D множества состояний природы и множества решений.
Игра (W, A, L) - исходная стратегическая игра, соответствующая стратегической задаче принятия решения;
G = (W, D, R) - статистическая игра;
s - рандомизированная функция решения;
D* - множество случайных функций решения, s Î D*. Подразумевается, что D Ì D*, так как чистая функция решения (нерандомизированная) может быть рассмотрена как смешанная, которая используется с вероятностью, равной 1;
G(Q) - функция априорного распределения состояний природы Q;
X - совокупность всех априорных распределений x Î X.
1.2. Свойства статистических игр
Функция решения, отображающая множество выборок XQ в множество решений статистика A, называется нерандомизированной (чистой) функцией решения статистика. Так, по результатам эксперимента статистик определяет, какое решение а Î А он должен выбрать. Для выбора из множества D наилучшей функции решения он использует функцию риска.
Функция риска зависит от множества состояний природы и от множества функций решения и принимает значение, выраженное действительными числами. Она определяет математическое ожидание функции потерь при некотором состоянии природы Q и известной статистику функции распределения F( |Q), когда а=d( ).
Представим функцию риска:
,
где M - знак математического ожидания;
L(Q, a) - функция потерь при состоянии природы Q и d( ) = a.
В теории статистических функций любую неотрицательную функцию L, определенную прямым произведением W´D, называют функцией потерь. Значение L(Q,d) функции потерь L в произвольной точке (Q, d)Î W´D интерпретируют как ущерб, к которому приводит принятие решений d, dÎD, если истинное значение параметра есть Q, Q Î W.
Выражение W´D - прямое произведение множества состояний природы и множества функций решения. Функция R(Q, d) не является случайной величиной, а принимается как платеж статистика в его игре с природой при следующих условиях:
• состояние природы фиксировано;
• функция решений выбрана, d Î D.
Стратегическая игра (W, A, L) становится статистической, G = (W, D, R), если используется результат эксперимента - вектор . Игра называется статистической, если в ней:
• XQ - множество n-мерных выборок;
• D - множество функций решений, которые преобразуют XQ в А;
• W - множество состояний природы;
• R(Q, d) - функция риска.
Статистическая игра записывается как G = (W, D, R). Данная игра является игрой двух лиц с нулевой суммой, где dÎD -функция решения статистика, а риск R(Q, d) статистика - платеж природе.
Статистик может не прибегать к рандомизации, если он использует как оптимальную байесовскую функцию решения r (см. разд. 6.2.1).
Рандомизация на стороне статистика проводится двумя методами:
1) применение решений аÎА с определенными вероятностями (смешение решений);
2) смешение чистых функций решения dÎD, т.е. рандомизация функций решения.
Чаще применяется второй метод.
Распределение вероятностей d на множестве D чистых функций решения d называется рандомизированной (смешанной) функцией решения статистика.
Функция риска становится случайной величиной, если экспериментатор применяет в статистической игре случайную функцию решения dÎD*, т. е. когда каждой чистой функции решения dÎD приписывается вероятность, с которой она должна использоваться.
Платежом будет математическое ожидание функции потерь, взятое для некоторого состояния природы Q при распределении d, определенном на множестве чистых функций решения D:
Если статистик использует случайные функции решения dÎD*, то этим расширяется (обобщается) статистическая игра.
Расширенная статистическая игра (W, D*, R) называется также смешанным расширением статистической игры с рандомизацией на стороне статистика.
Дальнейшее расширение статистической игры может быть достигнуто при предположении, что природа также «применяет» стратегию при «выборе» своего состояния Q.
Априорное распределение вероятностей x на множестве W состояний природы означает распределение до проведения эксперимента. Это априорное распределение xÎX состояний природы является случайной (смешанной) стратегией природы в статистической игре, где природа не рассматривается как разумный игрок.
Если Q предполагается случайной величиной с априорным распределением x, то риск R(Q,d) становится случайной переменной при фиксированной функции решения d. В данном случае математическое ожидание риска R(Q,d) при априорном распределении x, задаваемом функцией распределения G(Q), определяется как
,
где r(x,d) -байесовский риск функции решения d с учетом априорного распределения x.
Если в качестве оптимальной принимается байесовская функция решения, то используется формула r(x,d).
Вводя рандомизацию на стороне природы, приходим к дальнейшему расширению статистической игры.
Игра (X, D*, r) со смешанным расширением статистической игры с рандомизацией на стороне статистика и на стороне природы называется полностью расширенной статистической игрой.
Поясним в полностью расширенной статистической игре (X, D*, r) ее составляющие:
X - множество всех априорных распределений x состояний природы или множество ее смешанных стратегий;
D* - множество всех случайных функций решения;
r = r(x,d) - байесовский риск.
Представим схему расширения статистической игры (рис. 6.1). При наличии данных без учета стохастических распределений имеем исходную стратегическую игру двух лиц с нулевой суммой, которая относится к антагонистическим играм. Данная игра является исходной для соответствующей статистической задачи принятия решения.
Рис. 6.1. Расширение статистической игры
Если статистик (экспериментатор) не имеет возможности провести эксперимент со случайной величиной X, чтобы получить ее распределение, которое зависит от состояния природы, он вынужден будет использовать только стратегическую игру (W, A, L).
Однако очень часто статистик может провести эксперимент и получить в результате вектор , которым он в состоянии воспользоваться при принятии решения аÎА функции d( ). В этом случае платеж L(Q, а) становится случайной величиной, а игра - статистической G(W, D, R). Стратегией статистика будет dÎD, а платежом природе от статистика станет его риск R(Q, d).
Далее у статистика остаются две альтернативы:
1) воспользоваться рандомизацией состояний природы и перейти к расширенной (X, D, r) статистической игре;
2) воспользоваться рандомизацией функций решения и перейти к расширенной статистической игре (W, D*, R).
Наконец, если статистик применит смешанные стратегии для обоих игроков, то получит полностью расширенную статистическую игру ((W, D*, r).
На практике статистик для выбора оптимальной стратегии может не производить рандомизацию, а в качестве оптимальной взять байесовскую функцию решения.
А. Вальд, создавая теорию статистических игр, опирался на созданную Д. Нейманом теорию стратегических игр, поэтому сравним далее понятия стратегических игр двух лиц с нулевой суммой и понятия статистических игр статистика с природой. Для этого укажем основные обозначения в стратегической и статистической играх:
Х - совокупности стратегий игрока 1;
Y - совокупности стратегий игрока 2;
W— платежная функция;
W(X,Y) - платеж игрока 2 игроку 1;
G == (X,Y,W) - игра игрока 1 с игроком 2;
Г = (X, Н, К) смешанное расширение игры G = (X, Y,W), где X - множество всех смешанных стратегий x игрока 1;
Н - множество всех смешанных стратегий h игрока 2;
К - риск игрока 2.
Составим сравнительную таблицу задач статистических решений с игрой двух лиц с нулевой суммой (табл. 6.1).
Таблица 6.1
2. Выбор функций решения
Для всех состояний природы не существует одной наилучшей функции решения. От статистика требуется применение таких методов, которые дают оптимальные функции решения в более узком диапазоне.
Для этого необходимо использовать критерии оптимальности.
Статистик в статистической игре (W, D, R) или в расширенных статистических играх стремится к выигрышу, т. е. к определению наилучшей функции решения, при которой риск R(Q, d) был бы минимальным. Но это не просто, так как для каждого состояния природы Q имеется своя лучшая функция.
Пусть у нас имеются две различные функции решения d1 и (рис. 6.2).
Рис. 6.2. Сравнение двух функций решения
Можно выделить область, где функция d1 будет лучшей, - в диапазоне состояний природы Q1< Q2. Вторая функция d2 будет лучшей для состояния природы при Q1 и при Q>Q2.
Функция d Î D называется допустимой, если в множестве D* нет никакой другой функции решения d0, которая была бы лучшей d для всех QÎW. Данная функция для каждого QÎW должна удовлетворять неравенству R(Q,d0) £ R(Q,d). Таким образом, допустимая функция решения не будет доминирующей стратегией статистика в статистической игре.
Рассмотрение только допустимых функций существенно уменьшит множество D* до множества допустимых функций решения.
Отметим, что байесовские функции решения входят в класс допустимых функций.
Определение. Функция решения d0ÎD* называется байесовской относительно априорного распределения xÎX состояний природы Q, если она минимизирует байесовский риск r(x, d) на множестве D*.
Таким образом, r(x, d) = r(x, d). Приведем формулу Байеса. Прежде чем ее написать, обратимся к теореме о полной вероятности [2, разд. 2.5, 2.6].
Теорема. Если событие А может наступить только при условии появления одного из событий В1, В2, ...,Bn, образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий В1, В2, ...,Bn на соответствующую условную вероятность события А:
где P(Bi) - вероятность события Bi;
Р(А|Вi) - условная вероятность события А в случае, если событие Вi уже произошло.
Формула Байеса используется тогда, когда событие А появляется совместно с каким-либо из полной группы несовместных событий В1, В2, ..., Bn . Событие А произошло, и требуется произвести количественную переоценку вероятностей событий В1, В2, ..., Bn. При этом известны вероятности Р(В1), Р(В2),..., Р(Bn) до опыта (априорные). Требуется определить вероятности после опыта (апостериорные).
Апостериорные вероятности представляют собой условные вероятности Р(В1|А), Р(В2|А) ,..., Р(Вn|А). Вероятность совместного наступления событий А с любым из этих событий Вj по теореме умножения равна:
Эту формулу можно переписать исходя из формулы полной вероятности:
Задача 6.1. Собирается партия исправных изделий с трех предприятий. Первый завод поставляет 60 %, второй - 30 %, третий - 10 % изделий. В1, В2, В3 - события, соответствующие тому, что изделия изготовлены на первом, втором и третьем предприятиях.
Вероятность исправной работы изделий первого предприятия равна 0,98, второго - 0,99, третьего - 0,96.
Определить вероятность того, что в собранную партию исправных изделий попали соответственно изделия с первого, второго и третьего предприятий.
Введем обозначения:
А - событие, заключающееся в том, что изделие исправно;
Р(А)2 - полная вероятность того, что изделие исправно;
Р(В1|А), Р(В2|А), Р(В3|А) - условные вероятности того, что исправное изделие изготовлено соответственно на первом, втором и третьем предприятиях;
Р(A|В1), Р(A|В2), Р(A|В3) - условные вероятности того, что изделие, изготовленное соответственно на первом, втором и третьем предприятиях, исправно;
Р(В1), Р(В2), Р(В3) - вероятности того, что изделие изготовлено соответственно на первом, втором и третьем предприятиях.
Известно: Р(А|В1) = 0,98; Р(А|В2) = 0,99; Р(А|В3) = 0,96; Р(В1) = 0,60; Р(В2) = 0,30; Р(В3) = 0,10.
Требуется определить Р(А); Р(В1|А); Р(В2|А); Р(В3|А).
Решение. 1. Определим полную вероятность того, что изделия, прибывшие с разных предприятии, исправны:
2. Вычислим условные вероятности того, что в партию исправных попали изделия с первого, второго и третьего предприятии соответственно:
3. Проверим: Р(В1|А) + Р(В2|А) + Р(В3|А) = 0,599 + 0,303 + + 0,098 = 1.
Вывод. По формуле Байеса количественная переоценка доли предприятии в партии исправных изделии составляет: первое предприятие имеет 59,9 %; второе - 30,3 %; третье - 9,8 %.
Остановимся на некоторых нестандартных принципах принятия решений.
Принцип Байеса - Лапласа. Данный принцип отступает СП-условий полной неопределенности. В нем предполагается, что возможные состояния природы могут достигаться с вероятностями Р1, P2,..., Рn при условии, что Р1+ P2+ ,...,+ Рn =1. Байес в 1763 г. предложил считать равными вероятности отдельных состояний природы.
В 1812 г. Лаплас обобщил этот принцип на случай различных вероятностей, но тем не менее говорят и о байесовском подходе. Если напомнить, что байесовские функции решения входят в класс допустимых функций, то будет понятно их широкое использование в практике принятия решений (см. гл. 3).
Принцип Гурвица. Этот принцип является упрощенным вариантом принципа Байеса - Лапласа. Если известны вероятности отдельных состояний, то берут среднее арифметическое результатов при наилучшем решении. Иногда, если существует возможность определить вес наихудшего и наилучшего решений, то используют их взвешенную среднюю арифметическую.
Проиллюстрируем применение данного принципа на примере строительства предприятий при четырех разных состояниях природы и наличии четырех разных типов предприятий.
Задача 6.2. Имеются определенные средства на возведение предприятий. Необходимо наиболее эффективно использовать капиталовложения с учетом климатических условий, подъездных путей, расходов по перевозкам и т.д. Сочетание этих факторов по влиянию на эффективность капиталовложений можно разбить на четыре состояния природы B1, В2, В3, В4. Типы предприятий обозначим А1, А2, А3, А4. Эффективность строительства определяется как процент прироста дохода по отношению к сумме капитальных вложений. Информацию, отражающую постановку задачи, представим в табл. 6.2.
Таблица 6.2
Варианты решений
1. Решение по принципу стратегических игр, по принципу максимина: = 4 . Нужно строить предприятие А3.
Изменим условия задачи и предположим, что в табл. 6.2 отражены затраты на строительство предприятий, тогда выбор типа предприятий следует осуществить по принципу минимакса: =9. Нужно строить предприятие А1 или А4.
2. Решение по принципу Гурвица.
Если известны все вероятности, определяющие состояния природы, сделаем выбор с помощью среднего арифметического лучшего и худшего результатов.
Согласно табл. 6.2 это будет рекомендация строить предприятие А2, обеспечивающее максимальную среднюю эффективность Ф = = 8.
3. Применим принцип Байеса при равных вероятностях состояний природы Р(В1)=Р(В2)=Р(В3)=Р(В4)=1/4. Определим рентабельность, соответствующую решению А1, т. е. М1:
Далее определяем М2, М3, и М4.
Выводы. Предполагая, что все вероятности состояний природы равны, следует строить предприятие А3, так как M3 = 7,5 = max (M1, M2, M3, M4). Отметим, что принцип Байеса-Лапласа имеет смысл применять, если возможно оценить вероятности отдельных состояний природы. При этом необходимо, чтобы решения также повторялись многократно.
Когда события повторяются многократно, действует закон больших чисел, согласно которому достигается максимальный средний результат.
При единичных решениях принцип Байеса - Лапласа не следует применять.
Принцип Гурвица фактически является упрощением байесовских оценок. Гурвиц допускает, в частности, при отсутствии информации о вероятностях возникновения отдельных состояний природы брать среднее арифметическое значение результатов наилучшего и наихудшего решений.
Критерий Вальда. Данный критерий использует матрицу эффективностей и является критерием выбора максиминной стратегии, позволяющей получить нижнюю цену игры. В качестве оптимальной принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
Критерий Сэвиджа. Данный критерий использует матрицу рисков и является критерием выбора минимаксной стратегии. В качестве оптимальной принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях минимизирует максимальный риск, т.е.
Очевидно, что критерии Вальда и Сэвиджа ориентируют экономиста на самые неблагоприятные условия природы и выражают пессимистическую оценку ситуации. В отличие от этих критериев критерий Гурвица является критерием пессимизма-оптимизма.
Критерий Гурвица. Данный критерий использует также матрицу эффективностей и является критерием выбора взвешенной стратегии. В качестве оптимальной принимается чистая стратегия, для которой выполняется соотношение
Здесь параметр t экономист выбирает в зависимости от некоторых дополнительных субъективных соображений. Если t=0, то c=q и критерий Гурвица переходит в критерий Вальда. Таким образом, при t=0 критерий Гурвица является критерием крайнего пессимизма. Если t=1, то
В этом случае критерий Гурвица переходит в критерий крайнего оптимизма (розового оптимизма). На практике параметр t выбирают близким к 0,5, что соответствует принятию достаточно взвешенной стратегии.
2.2.Принятие решения в условиях частичной неопределенности
Частичная неопределенность предполагает знание вероятностей состояний природы:
P=(p1, p2, …,pn)
В этом случае используют критерий Байеса. Показателями в этом критерии являются математическое ожидание эффективности, т.е. средняя ожидаемая эффективность или математическое ожидание риска, т.е. средний ожидаемый риск.
Критерий Байеса максимизации средней ожидаемой эффективности. Данный критерий использует матрицу эффективностей и является критерием выбора оптимальной стратегии с учетом знания вероятностей состояния природы Р. В качестве оптимальной принимается чистая стратегия, которая максимизирует средний ожидаемый выигрыш, т.е.
где .
Критерий Байеса минимизации среднего ожидаемого риска. Данный критерий использует матрицу рисков и является критерием выбора оптимальной стратегии также с учетом знания вероятностей состояния природы Р. В качестве оптимальной принимается чистая стратегия, которая минимизирует средний ожидаемый риск, т.е.
где .
Итак, решение статистической игры в условиях полной неопределенности по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица позволяет экономисту обоснованно принимать решение по выбору оптимальной стратегии. Решение статистической игры в условиях частичной неопределенности по критериям Байеса позволяет экономисту более точно, чем в случае полной неопределенности, принимать решение по выбору оптимальной стратегии. Ясно, что применение рассмотренных критериев дает экономисту больший выигрыш при принятии оптимального решения по сравнению с выигрышем на основе опыта и интуиции.
2.3. Макроэкономические решения
При применении теории статистических игр на предприятии, в фирме бывает возможным получить дополнительную статистическую информацию, которая позволяет перейти от стратегической к статистической игре с природой. Очень часто при возможности многократного повторения как состояний природы, так и решений статистика мы можем принимать минимаксные байесовские решения.
Для макроэкономических задач значительно реже удается получать информацию о состояниях природы. Кроме того, имея распределение вероятностей ее состояний, мы не всегда можем этой информацией воспользоваться. Принятие решения может носить одноразовый характер. В этой ситуации наилучшая байесовская стратегия при многократном принятии решения утрачивает свои оптимизационные свойства.
Задачи, решаемые в условиях неопределенности, имеющие характер игры с природой, делятся на два типа:
1) в условиях полной неопределенности, когда отсутствует возможность получения дополнительной статистической информации о состояниях природы; основной моделью при этом служит стратегическая игра (W, A, L), которая не преобразуется в статистическую;
2) в условиях риска, если существует возможность сбора дополнительной статистической информации о распределении состояний природы; эти задачи можно преобразовать к статистической игре (W, D, R), в которой функции риска рассматриваются как платежи.
Рассмотрим практический пример.
Задача 6.3. Получение лицензии на новую продукцию.
Требуется выбрать лучшую лицензию на выпуск легкового автомобиля у иностранных фирм. Имеются четыре предложения, следовательно, множество решении А = {а1, а2, а3, а4}, где а1 -решение о покупке лицензии у инофирмы Ai (i = ).
Фирмы требуют неодинаковые суммы за лицензии в зависимости от различных затрат на организацию производства и издержек эксплуатации.
Известно, что основным требованиям владельцев автомобилей (эстетика, количество мест в салоне, скорость) удовлетворяют все четыре фирмы. В результате главным критерием являются затраты, связанные со сделкой.
Пусть на основе экономического расчета вычислена эффективность покупки каждой из четырех лицензий. Эта эффективность зависит от длительности периода, в течение которого можно будет выпускать автомобили по лицензии, учитывая уровень их рентабельности и соответствия последним достижениям науки и техники в области автомобилестроения. Множество состояний природы , где Q1, Q2 - рентабельность и соответствие техническому уровню выпущенных по приобретенной лицензии первого и второго автомобилей, достигаемые соответственно через 15 и 25 лет.
Представим формулу экономической эффективности:
где У - продажная цена автомобиля;
С - себестоимость;
W- выигрыш игрока 1, в данном случае статистика, представляющего автомобильную промышленность.
Отразим в табл. 6.3 полученные значения эффективности W(Q, a).
Таблица 6.3.
О стратегиях природы нет информации, и ее невозможно получить.
Решение нужно найти при полной неопределенности, так как нет данных для перехода от стратегической игры к статистической.
Применим максимальный критерий Вальда.
Для этого перепишем табл. 6.3 и найдем минимальные значения по строке и максимальные - по столбцу. Это определит матрицу игры (табл. 6.4).
Таблица 6.4
Матрица игры (W, A, W) имеет седловую точку, равную 22 %, поскольку
Итак, оптимальной нерандомизированной максимальной стратегией статистика (игрока 1), представляющего интересы автомобильной промышленности, будет решение а2, что соответствует покупке лицензии у фирмы А2 на производство легкового автомобиля.
Это наиболее осторожная стратегия в игре с природой при отсутствии дополнительной статистической информации. При этом в качестве функций платежей была принята эффективность сделки W(Q , a) = 22.
Заключения
Как уже отмечалось, в теоретико-игровых математических моделях неопределённость обычно связана с тем, что лицо, принимающее решение, не знает выборов, сделанных другими активными сторонами, то есть не знает
истинной ситуации в известном множестве ситуаций (так называемая стратегическая неопределённость). А риск в статистической игре связан с наличием случайных факторов, влияющих на последствия принимаемых решений.
В обычной постановке статистическая игра - это антагонистическая
игра (игра 2-х лиц с нулевой суммой) в которой игрок II (Статистик) принимает решение после проведения статистического эксперимента, дающего ему некоторую вероятностную информацию о выборе, сделанном игроком I.
Литература
1. Вальд А. Последовательный анализ: Пер. с англ. - М.: Физмат-гиз, 1960.
2. Вентцель Е. С., Овчаров А. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1988.
3. Гольштейн Е. Г., ЮдинД. Б. Новые направления в линейном программировании. - М.: Сов. радио, 1966.
4. Дубров А. М. Последовательный анализ в статистической обработке информации. - М.: Статистика, 1976.
5. Дубров А. М. Математико-статистическая оценка эффективности в экономических задачах. - М.: Финансы и статистика, 1982.
6. Дубров А. М. Статистические методы в инвестиционной деятельности // Рубин Ю. Б., Солдаткин В. И., Петраков Н. Я. Общая редакция. Инвестиционно-финансовый портфель. - М.: Совинтэк, 1993. - С. 163-176.
7. Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике. - М.: ДИС, 1997. - С. 245-267. |
Скачать 31.98 Kb.