Главная страница

1 вопрос. Динамика точки. Основные понятия и определения


Скачать 1.54 Mb.
Название1 вопрос. Динамика точки. Основные понятия и определения
Дата19.06.2018
Размер1.54 Mb.
Формат файлаdocx
Имя файлаteor_mekh_ekz.docx
ТипДокументы
#47317
страница11 из 11
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image373.gif .

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image375.gif





Спроектировав его на ось  , получаем дифференциальное уравнение движения точки:

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image377.gif ,

где  , http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image363.gif . Перенося все члены в левую часть и деля их на массу  , получаем:

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image381.gif .

Здесь http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image356.gif частота свободных колебаний и имеет размерность ускорения.

Уравнение — дифференциальное уравнение вынужденных колебаний точки при отсутствии сопротивления.

Решение этого уравнения зависит от соотношения между частотой  возмущающей силы и частотой  собственных колебаний. Тут возможны два случая: 1)  и 2)  .

1. Случай отсутствия резонанса.

Найдем решение уравнения (2.23) для случая, когда частота возмущающей силы отлична от частоты свободных колебаний (  —нет резонанса.).

Уравнение (2.23)—неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение складывается из общего решения однородного уравнения

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image303.gif

и частного решения данного уравнения (2.23):

Однородное уравнение совпадает с дифференциальным уравнением собственных колебаний (2.2) и его решение может быть записано в двух эквивалентных формах (2.3) и (2.6):

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image394.gif .

Частное решение неоднородного уравнения (2.23) определяется правой частью этого уравнения. В случае  будем искать это решение в виде:

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image396.gif .

Постоянную  следует определить из условия, что функция  —частное решение уравнения (2.23) и, кроме того, подстановка  в это уравнение должна превратить его в тождество. Вычисляем необходимые производные по времени от  :

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image402.gif , http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image404.gif .

После подстановки в (2.23) получаем:

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image406.gif .

Полученное равенство будет выполняться при любом значении  , если

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image408.gif ,

откуда

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image410.gif .

Подставляя найденное значение  в (2.25), находим искомое частное решение неоднородного уравнения:

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image412.gif .

Общее решение уравнения (2.23) имеет окончательный вид

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image414.gif .

В амплитудной форме

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image416.gif .

Решение (2.29) показывает, что колебания в рассматриваемом случае слагаются из: 1) колебаний с амплитудой  и частотой  , называемых собственными колебаниями; 2) колебаний с амплитудой  и частотой  , которые называются вынужденными колебаниями.

Постоянные интегрирования  и  , или  и  определяются по начальным условиям:

  ,  .

Предварительно найдем

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image423.gif .

Подставляя эти значения в выражения для  и  при  , получаем

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image428.gif , http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image430.gif .

Отсюда

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image432.gif , http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image434.gif .

Амплитуда собственных колебаний  и начальная фаза  через  и  выражается формулами

 , http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image440.gif http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image442.gif .

Следовательно, амплитуда и начальная фаза собственных колебаний при действии возмущающей силы зависят не только от начальных условий, но и от параметров этой силы, то есть собственные колебания в этом случае могут возникнуть не только из-за начальных условий, но и благодаря действию возмущающей силы даже при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим вынужденные колебания, определяемые формулой

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image412.gif

Частота  этих колебаний, как видно, равна частоте возмущающей силы, амплитуда

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image444.gif .

В зависимости от соотношения между частотами вынужденные колебания можно выразить в двух формах:

при 

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image396.gif ,

при 

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image451.gif .

Следовательно, при  фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой возмущающей силы. В этом случае сдвиг фаз между ними равен нулю, то есть вынужденные колебания и возмущающая сила достигают одновременно максимальных и минимальных значений.

При  сдвиг фаз  . Действительно, сдвиг фаз как разность фаз между возмущающей силой и вынужденными колебаниями

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image455.gif .

В этом случае вынужденные колебания находятся в противофазе по отношению к возмущающей силе, то есть, в частности, если возмущающая сила достигает максимума, то функция  достигает минимума и наоборот.

Итак, вынужденные колебания системы без сопротивления при  , возбуждаемые гармонической возмущающей силой:

1) являются гармоническими колебаниями с постоянной амплитудой;

2) их частоты совпадают с частотой возмущающей силы;

3) они не зависят от начальных условий.

2. Случай резонанса.

Резонансом называется случай совпадения частот собственных колебаний и возмущающей силыт. е.когда  .

Как и в предыдущем случае, дифференциальное уравнение движения определяется уравнением

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image381.gif

и оно имеет общее решение

 .

Здесь общее решение однородного уравнения

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image303.gif ,

по-прежнему имеет вид

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image394.gif .

А вот частное решение  неоднородного уравнения будем искать в виде

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image458.gif ,

-рассматривается случай  .

Постоянная  определяется из условия, что при подстановке  в рассматриваемое неоднородное дифференциальное уравнение это уравнение обращается в тождество.

Вычисляем производные:

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image461.gif ;

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image463.gif

и подставляем значения  и  в уравнение :

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image467.gif

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image469.gif ,

или

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image471.gif .

Приравнивая коэффициенты при синусе в левой и правой частях этого уравнения:

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image473.gif . 

Получаем, что частное решение

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image475.gif ,

а искомое общее решение уравнения

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image477.gif .

Уравнение показывает, что движение точки  при резонансе является результатом наложения свободных и вынужденных колебаний точки, так же, как и при  .

Рассмотрим вынужденные колебания при резонансе

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image479.gif .

Основной особенностью этих колебаний является зависимость их амплитуды от времени

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/1441278385197.files/image481.gif .

Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе увеличивается пропорционально времениЧастота и период вынужденных колебаний при резонансе равны частоте  и периоду  свободных колебаний точки. Фаза вынужденных колебаний отстает от фазы возмущающей силы величину 
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


написать администратору сайта