Главная страница
Навигация по странице:

  • Общее уравнение динамики

  • 4. Обобщенными координатами механической системы называются независимые между собой параметры q1, q2, …, qS

  • Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы.

  • Уравнения Лагранжа 2-го рода

  • Понятие о силовом поле. Потенциальное силовое поле и силовая функция.

  • .……………………………………………………………………………………………………………………

  • 1 вопрос. Динамика точки. Основные понятия и определения


    Скачать 1.54 Mb.
    Название1 вопрос. Динамика точки. Основные понятия и определения
    Дата19.06.2018
    Размер1.54 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаteor_mekh_ekz.docx
    ТипДокументы
    #47317
    страница9 из 11
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
    35-42 вопрос . Обобщенные координаты .Число степеней свободы. Возможные и виртуальные перемещения точки и системы.

    Принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю.  или в проекциях: http://ok-t.ru/studopediaru/baza15/4355894357075.files/image003.gif .

    Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для любой механической системы, дает общий метод решения задач статики.

    Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнение принципа возможных перемещений составляют для каждого из независимого перемещений в отдельности, т.е. будет столько уравнений, сколько система имеет степеней свободы.

    Принцип возможных перемещений удобен тем, что при рассмотрении системы с идеальными связями их реакции не учитываются и необходимо оперировать только активными силами.

    Принцип возможных перемещений формулируется следующим образом:

    Для того, чтобы матер. система, подчиненная идеальным связям находилась в состоянии покоя, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ, производимых активными силами на возможных перемещениях точек системы была положительная.

    Общее уравнение динамики  – при движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Дает общий метод решения задач динамики. Последовательность составления: а) к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силы и моменты пар сил инерции; б) сообщают системе возможные перемещения; в) составляют уравнения принципа возможных перемещений, считая систему находящейся в равновесии.

    Следует отметить, что общее уравнение динамики можно применять и для систем с неидеальными связями, только в этом случае реакции неидеальных связей, таких, например, как сила трения или момент трения качения, необходимо отнести к категории активных сил.

    Работа на возможном перемещении как активных, так и сил инерций, ищется также как и элементарная работа на действительном перемещении:

    Возможная работа силы: http://ok-t.ru/studopediaru/baza15/4355894357075.files/image008.gif .

    Возможная работа момента (пары сил): http://ok-t.ru/studopediaru/baza15/4355894357075.files/image010.gif .

    4. Обобщенными координатами механической системы называются независимые между собой параметры q1, q2, …, qSлюбой размерности, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени.

    Число обобщенных координат равно S – числу степеней свободы механической системы. Положение каждой ν-й точки системы, то есть ее радиус вектор в общем случае всегда можно выразить в виде функции обобщенных координат:

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza15/4355894357075.files/image012.gif (24)

    Общее уравнение динамики в обобщенных координатах выглядит в виде системы S уравнений следующим образом:

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza15/4355894357075.files/image014.gif ;

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza15/4355894357075.files/image016.gif ;

    ……..………. ;

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza15/4355894357075.files/image018.gif (25)

    ………..……. ;

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza15/4355894357075.files/image020.gif ,

    здесь  – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате  :

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza15/4355894357075.files/image026.gif (26)

    а  – обобщенная сила инерции, соответствующая обобщенной координате  :

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza15/4355894357075.files/image030.gif

    Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Например. шар на плоскости может перемещаться в любом направлении, но любое его возможное перемещение может быть получено как геометрическая сумма двух перемещений вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы.Обобщенные силы. Каждой обобщенной координате  можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Qk.Вычисление производится по такому правилу.

    Чтобы определить обобщенную силу Qk, соответствующую обобщенной координате qk, надо дать этой координате приращение  (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты  :

     (7)

    где –  перемещениеi-той точки системы, полученное за счет изменения k–той обобщенной координаты.

    Обобщенная сила определяется с помощью элементарных работ. Поэтому эту силу можно вычислить иначе:

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza15/4355894357075.files/image035.gif

    И так как  есть приращение радиуса-вектора  за счет приращения координаты  при остальных неизменных координатах и времени t, отношение  можно определять как частную производную  . Тогда

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza15/4355894357075.files/image041.gif (8)

    где координаты точек – функции обобщенных координат (5).

    Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых    , где  , а координаты точек – функции обобщенных координат, то

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza15/4355894357075.files/image046.gif (9)

    Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.

    Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат

    П = П(q1, q2, q3,…,qs). Замечания:

    Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

    Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты.

    Уравнения Лагранжа 2-го рода выводятся из общего уравнения динамики в обобщенных координатах. Число уравнений соответствует числу степеней свободы:

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza15/4355894357075.files/image048.gif (28)

    Для составления уравнения Лагранжа 2-го рода выбираются обобщенные координаты  и находятся обобщенные скорости  . Находится кинетическая энергия системы, которая является функцией обобщенных скоростей,и, в некоторых случаях, обобщенных координат. Выполняются операции дифференцирования кинетической энергии, предусмотренные левыми частями уравнений Лагранжа.Полученные выражения приравниваются обобщенным силам, для нахождения которых помимо формул (26) часто при решении задач используют следующие:

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza15/4355894357075.files/image054.gif (29)

    В числителе правой части формулы – сумма элементарных работ все активных сил на возможном перемещении системы, соответствующем вариации i-й обобщенной координаты –  . При этом возможном перемещении все остальные обобщенные координаты не изменяются. Полученные уравнения являются дифференциальными уравнениями движения механической системы с S степенями свободы.

    ……………………………………………………………………………………………………………………………….

    43 ,44вопрос. Понятие о силовом поле. Потенциальное силовое поле и силовая функция.

    Силовым полем называется часть пространства, в котором на материальную точку действует сила, зависящая от координат точки и времени

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza4/2180581324.files/image557.gif

    Если сила явно не зависит от времени, то силовое поле называется стационарным.

    Стационарное силовое поле называется потенциальным, если проекции силы на оси Ох, Оу, Ozможно выразить через скалярную функцию http://ok-t.ru/studopediaru/baza4/2180581324.files/image560.gifпо формулам

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza4/2180581324.files/image562.gif (I)

    т.е.

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza4/2180581324.files/image564.gif

    Функция http://ok-t.ru/studopediaru/baza4/2180581324.files/image560.gifназывается силовой функцией. Из (I) следует, что силовая ф-я U определяется с точностью до аддитивной постоянной.

    Потенциальной энергией материальной точки в данной точке потенциального силового поля называют работу, производимую силой, действующей на точку в потенциальном силовом поле, при её перемещении из рассматриваемой точки поляв начальную., условно принимаемую за нулевую

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza4/2180581324.files/image569.gif

    ……………….……………………………………………………………………………………………………………………

    45вопрос .Поверхность уровня и их свойства.

    Поверхность

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza4/2180581324.files/image571.gif

    на которой силовая функция U имеет постоянное значение, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью уровня.

    1. Если начальная и конечная точки расположены на одной и той же поверхности уровня, то работа силы стационарного потенциального по перемещению материальной точки из начального положения в конечное равна нулю.

    http://ok-t.ru/studopediaru/baza4/2180581324.files/image573.gif

    т.к. http://ok-t.ru/studopediaru/baza4/2180581324.files/image575.gif

    2. Сила потенциального поля направлена по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания силовой функции U.

    ……………………………………………………………………………………………………………………………

    46 вопрос Устойчивость положения равновесия механической системы. Теорема Лагранжа-Дирихле.

    Рассмотрим механическую систему с голономными, стационарными и неосвобождающими связями с n степенями свободы, движение которой определяется обобщенными координатами q1, q2, .., qn.

    В соответствии с принципом возможных перемещений в положении равновесия все обобщенные силы равны нулю: Q1=0, .., Qn=0.

    Для консервативной системы эти условия принимают вид:

    http://extm10.narod2.ru/sem4/ev/11_1.jpg (19.1)

    где П — потенциальная энергия системы.


    Поскольку П есть П(q1, q2, .., qn), (19.1) можно рассматривать как систему уравнений относительно обобщенных координат, представляющих собой условия экстремума потенциальной энергии. Решая их можно найти положения, в которых система будет находиться в равновесии.

    Однако положение равновесия может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным.

    Если существует такое достаточно малое отклонение системы от положения равновесия, при котором она стремится вернуться назад, то такое положение равновесия будет устойчивым. В случае, когда при любом начальном отклонении система удаляется от положения равновесия, положение равновесия будет неустойчивым. Если же при начальном отклонении система остается в отклоненном положении, то положение равновесия будет безразличным.

    На рис. 19.1 представлены устойчивое (см. рис. 19.1, а) и неустойчивое (см. рис. 19.1, б) положения равновесия математического маятника. Безразличное положение равновесия имеет система, приведенная на рис. 19.1, в.

    http://extm10.narod2.ru/sem4/ev/11_2.jpg

    При устойчивом положении равновесия система после достаточно малого начального возмущения совершает колебания около положения равновесия или возвращается в это положение без колебаний. При неустойчивом положении равновесия система после любого начального возмущения при дальнейшем движении все более удаляется от положения равновесия.

    Строгое определение понятия устойчивости положения равновесия было дано в конце XIX в. А. М. Ляпуновым. Условимся отсчитывать обобщенные координаты q1, q2, .., qn от положения равновесия, т.е. считать их в положении равновесия равными нулю. Выведем систему из положения равновесия, сообщив обобщенным координатам в начальный момент времени возмущения (отклонения q10, q20, .., qn0, и скорости http://extm10.narod2.ru/sem4/ev/11_3.jpg). Обозначим обобщенные координаты и их скорости при дальнейшем движении через http://extm10.narod2.ru/sem4/ev/11_4.jpg соответственно.

    По Ляпунову, равновесие системы называется устойчивым, если для любых сколь угодно малых положительных чисел http://extm10.narod2.ru/sem4/ev/11_5.jpg можно выбрать 2n других таких положительных чисел http://extm10.narod2.ru/sem4/ev/11_6.jpg что при начальных возмущениях системы, удовлетворяющих условиям http://extm10.narod2.ru/sem4/ev/11_7.jpg, при дальнейшем движении системы будут выполняться неравенства http://extm10.narod2.ru/sem4/ev/11_8.jpg.

    В противном случае равновесие будет неустойчивым. Безразличное положение равновесия в соответствии с данным определением относится к неустойчивым, поскольку при наличии начальной скорости система будет удаляться от начального положения.

    Если при устойчивом положении равновесия все обобщенные координаты и скорости с течением времени стремятся к нулю: http://extm10.narod2.ru/sem4/ev/11_9.jpg, то рассматриваемое положение равновесия называется 
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


    написать администратору сайта