13. сечения. 1. Задание 13

• Название: 1. Задание 13
• Дата: 11.05.2022
• Размер: 89.58 Kb.
• Имя файла: 13. сечения.docx
• Тип: Документы; #522827

1. Задание 13 № 507887

В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A₁C₁.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите периметр этого сечения.

2. Задание 13 № 508233

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового ребра AP.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.

б) Найдите площадь сечения.

3. Задание 13 № 509363

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E = 6EA. Точка T — середина ребра B₁C₁. Известно, что   AD = 12, AA₁ = 14.

а) Докажите, что плоскость ETD₁ делит ребро BB₁ в отношении 4 : 3.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD₁.

4. Задание 13 № 509580

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 5 : 3, на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F : FB = 5 : 11, а точка T − середина ребра B₁C₁. Известно, что   AD = 10, AA₁ = 16.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

5. Задание 13 № 509821

Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA'B'C'D' является квадрат ABCD со стороной   высота призмы равна   Точка K — середина ребра BB'. Через точки K и С' проведена плоскость α, параллельная прямой BD'.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.

6. Задание 13 № 509948

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

7. Задание 13 № 512357

Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9.

Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS₁, M — середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S₁LM — равнобедренная трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

8. Задание 13 № 512998

Дана правильная призма ABCA₁B₁C₁, у которой сторона основания AB = 4, а боковое ребро AA₁ = 9. Точка M — середина ребра AC, а на ребре AA₁ взята точка T так, что AT = 5.

а) Докажите, что плоскость BB₁M делит отрезок C₁T пополам.

б) Плоскость BTC₁ делит отрезок MB₁ на две части. Найдите длину меньшей из них.

9. Задание 13 № 513266

Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит апофему грани ASB в отношении 2 : 1, считая от вершины S.

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.

10. Задание 13 № 507202

Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64.

а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания.

б) Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды, если площадь сечения пирамиды плоскостью SAC равна 64.

11. Задание 13 № 513347

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 6. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS₁, M — середина ребра AS, точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC = 1 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S₁LM — равнобокая трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

12. Задание 13 № 513606

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания AB равна 3, а боковое ребро   На рёбрах AB, A₁D₁ и C₁D₁ отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A₁N = C₁K = 1.

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

13. Задание 13 № 513684

В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K делит боковое ребро AA₁ в отношении AK : KA₁ = 1 : 2. Через точки B и K проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD₁ в точке M.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD₁ в отношении DM : MD₁ = 2 : 1.

б) Найдите площадь сечения, если известно, что AB = 4, AA₁ = 6.

14. Задание 13 № 514654

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB = 4, BC = 3, AA₁ = 2. Точки P и Q — середины рёбер A₁B₁ и CC₁ соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B₁C₁ в точке U.

а) Докажите, что B₁U : UC₁ = 2 : 1.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью APQ.

15. Задание 13 № 515668

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ стороны основания равны 5, а боковые рёбра равны 11.

а) Докажите, что прямые CA₁ и C₁D₁ перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины C, A₁ и F₁.

16. Задание 13 № 516275

Точки P и Q — середины рёбер AD и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно.

а) Докажите, что прямые B₁P и QB перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 10.

17. Задание 13 № 519473

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребре AA₁ отмечена точка K так, что AK : KA₁ = 1 : 2. Плоскость α проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD₁ в точке M.

а) Докажите, что MD : MD₁ = 2 : 1.

б) Найдите площадь сечения, если AB = 4, AA₁ = 6.

18. Задание 13 № 519810

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, все рёбра которой равны 12. Точка N — середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 2 : 1, считая от вершины M.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения.

19. Задание 13 № 520496

В основании правильной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину В и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру.

а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию равен 60°.

б) Найдите площадь сечения пирамиды.

20. Задание 13 № 520974

На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ : QB = 1 : 2. Точка P — середина ребра AS.

а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.

21. Задание 13 № 520981

На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ : QB = 1 : 2. Точка P — середина ребра AS.

а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 

22. Задание 13 № 521995

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MC.

а) Докажите, что сечение плоскостью α пирамиды MABC является параллелограммом.

б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью α.

23. Задание 13 № 522123

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 4. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MС.

а) Докажите, что сечение плоскостью α пирамиды MABC является параллелограммом.

б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью α.

24. Задание 13 № 523376

В правильной треугольной пирамиде MABC боковые рёбра равны 10, а сторона основания равна 12. Точки G и F делят стороны основания AB и AC соответственно так, что AG : GB = AF : FC = 1 : 5.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MGF является равнобедренным треугольником.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MGF.

25. Задание 13 № 523995

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MC.

а) Докажите, что плоскость α параллельна ребру MD.

б) Найдите угол между плоскостью α и прямой AC.

26. Задание 13 № 525024

Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость α, перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как 1 : 3.

а) Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен 45°.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если боковое ребро пирамиды равно 4.

27. Задание 13 № 525408

В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 15 и BC = 9. Точка M — середина ребра AD. На ребре BC выбрана точка E так, что CE = 3, а на ребре AC выбрана точка F так, что CF = 5. Плоскость MEF пересекает ребро BD в точке N. Расстояние от точки M до прямой EF равно 

а) Докажите, что N — середина ребра BD.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MNF.

28. Задание 13 № 526332

В правильном тетраэдре ABCD точки K и M — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой AD.

а) Докажите, что сечение тетраэдра плоскостью α — квадрат.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если 

29. Задание 13 № 527159

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 5 : 1. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна SA.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью α — прямоугольник.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка A, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

30. Задание 13 № 530673

Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9. Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS₁, M — середина ребра SB, точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S₁LM — равнобедренная трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

31. Задание 13 № 530825

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через диагональ BD₁ проведена плоскость α, параллельная прямой AC.

а) Докажите, что прямая пересечения плоскости α с плоскостью основания A₁B₁C₁D₁ параллельна прямой A₁C₁.

б) Найдите угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания параллелепипеда, если AB = 6, BC = 8, CC₁ = 10.

32. Задание 13 № 531829

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром длины 1. Точка Р — середина А₁D₁, точка Q делит отрезок АВ₁ в отношении 2 : 1, считая от вершины А, R — точка пересечения отрезков ВС₁ и В₁С.

а) Найдите площадь сечения куба плоскостью PQR.

б) Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ АС₁ куба.

33. Задание 13 № 541261

Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Известно, что AB = BC. Точка K — середина ребра A₁B₁, а точка M лежит на ребре AC и делит его в отношении AM : MC = 1 : 3.

а) Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC .

б) Найдите расстояние между прямыми KM и A₁C₁, если AB = 10, AC = 8 и AA₁ = 3.

34. Задание 13 № 548384

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA = 14, а сторона AB = 8. Точка М середина стороны AB Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.

a) Докажите, что MK = KD.

б) Найдите объем пирамиды MCDK.

35. Задание 13 № 548403

Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB = 9, точка M лежит на ребре AB так, что AM = 8. Точка K делит сторону SB так, что SK : KB = 7 : 3. Ребро   Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.

а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.

б) Найдите площадь сечения α.

36. Задание 13 № 549032

Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB = 6, точка M лежит на ребре AB так, что AM = 5. Точка K делит сторону SB так, что SK : KB = 4 : 3. Ребро   Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.

а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.

б) Найдите площадь сечения α.

37. Задание 13 № 549114

Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, в которой сторона основания AB = 8, боковое ребро   Точка Q — точка пересечения диагоналей грани ABB₁А₁, точки M, N и K — середины ВС, СC₁ и А₁C₁ cответственно.

а) Докажите, что точки Q, M, N и K лежат в одной плоскости.

б) Найдите площадь сечения QMN.

38. Задание 13 № 552114

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S стороны основания равны 18, а боковые ребра 15. Точка R принадлежит ребру SB, причем SR : RB = 2 : 1.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки С и R параллельно BD делит ребро SA пополам.

б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

39. Задание 13 № 552511

В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит параллелограмм АВСD c центром О. Точка N — середина ребра SC, точка L — середина ребра SA.

а) Докажите, что плоскость BNL делит ребро SD в отношении 1 : 2, считая от вершины S.

б) Найдите угол между плоскостями BNL и АВС, если пирамида правильная, SA = 8, а тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен 

40. Задание 13 № 552931

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD через середины сторон АВ и AD параллельно боковому ребру АМ проведена плоскость. Сторона основания пирамиды равна 20, а боковое ребро — 

а) Докажите, что сечение пирамиды этой плоскостью является пятиугольником с тремя прямыми углами.

б) Найдите площадь этого сечения.

41. Задание 13 № 558929

В четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 6, точка M — середина отрезка AS.

а) Докажите, что прямая AS перпендикулярна плоскости BMD.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BMD.

42. Задание 13 № 559575

В правильной четырёхугольной пирамиде FABCD с вершиной F сторона основания равна   боковое ребро равно 15. Точка N делит высоту пирамиды в отношении 2 : 1, считая от вершины F. Через точки B и N параллельно прямой AC проведена плоскость γ, пересекающая ребро DF в точке M.

а) Докажите, что точка M — середина отрезка DF.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью γ.

43. Задание 13 № 560712

Плоскость α проходит через середины двух противоположных ребер треугольной пирамиды и параллельна медиане одной из ее граней.

а)  Докажите, что среди медиан граней этой пирамиды в точности две являются параллельными к плоскости α.

б)  Найдите площадь сечения данной пирамиды плоскостью α, если эти медианы перпендикулярны друг другу и равны 2.

44. Задание 13 № 561730

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA равно 12, а сторона основания AB равна 6. В боковых гранях SAB и SAD провели биссектрисы AL и AM соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью ALM делит ребро SC пополам.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ALM.

45. Задание 13 № 562034

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 2, SK = 1. Плоскость   перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K.

а) Докажите, что плоскость   содержит точку C.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью 

46. Задание 13 № 562176

В правильной восьмиугольной призме ABCDEFGHA₁B₁C₁D₁E₁F₁G₁H₁ сторона основания AB равна   а боковое ребро AA₁ равно 6. Ha pe6pe CC₁ отмечена точка M так, что   Плоскость   параллельна прямой H₁E₁ и проходит через точки M и A.

а) Докажите, что сечение данной призмы плоскостью α — равнобедренная трапеция.

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка F₁, а основанием — сечение данной призмы плоскостью α.

47. Задание 13 № 562250

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка P лежит на ребре AA₁, причём A₁P : PA = 3 : 4, BB₁ = 14, AD = 6. Плоскость DPB₁ пересекает ребро CC₁ в точке N, тангенс угла между прямой NP и плоскостью основания ABCD равен 

а) Докажите, что четырехугольник DPB₁N — ромб.

б) Найдите площадь сечения DPB₁N.

48. Задание 13 № 562709

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно   На ребрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем AM = 4, SK : KB = 1 : 3.

а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б) Найдите объём пирамиды BCKM.

49. Задание 13 № 562758

Точка E лежит на высоте SO, а точка F — на боковом ребре SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, причём SE : EO = SF : FC = 2 : 1.

а) Докажите, что плоскость BEF пересекает ребро SD в его середине.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BEF, если AB = 8, SO = 14.

50. Задание 13 № 562951

В правильном тетраэдре SABC точка M — середина ребра AB, а точка N расположена на ребре SC так, что SN : NC = 3 : 1.

а) Докажите, что плоскости SMC и ANB перпендикулярны.

б) Найдите длину отрезка MN, если длина ребра AB равна 8.

51. Задание 13 № 563298

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC₁ и пересекающая ребра BB₁ и DD₁ в точках F и E соответственно.

а) Докажите, что сечение AFC₁E — параллелограмм.

б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC₁E — ромб и AB = 3, BC = 2, AA₁ = 5.

52. Задание 13 № 563396

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребре BB₁ отмечена точка Q такая, что BQ : QB₁ = 2 : 7. Плоскость α проходит через точки A и Q параллельно прямой BD. Эта плоскость пересекает ребро CC₁ в точке M.

а) Докажите, что C₁M : CC₁ = 5 : 9.

б) Найдите площадь сечения, если   AA₁ = 18.

53. Задание 13 № 563614

Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB = 16, высота SH = 10, точка K — середина AS. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.

а) Докажите, что площадь PQBС относится к площади  как 3 : 4.

б) Найдите объем пирамиды KBQPC.

54. Задание 13 № 564703

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC₁ и пересекающая ребра BB₁ и DD₁ в точках F и E соответственно.

а) Докажите, что сечение AFC₁E — параллелограмм.

б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC₁E — ромб и AB = 3, BC = 2, AA₁ = 5.

55. Задание 13 № 620216

Две правильные четырехугольные пирамиды EABCD и FABCD имеют общее основание ABCD и расположены по разные стороны от него. Точки M и N — середины рёбер AB и BC соответственно. Все ребра пирамид равны.

а) Докажите, что угол между прямыми AE и BF равен 60°.

б) Найдите угол между прямыми EM и FN.

56. Задание 13 № 621469

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки K, L и M — середины ребер AB, B₁C₁ и DD₁.

а) Докажите, что сечение куба плоскостью KLM является правильным многоугольником.

б) Найдите расстояния от точки A до плоскости KLM, если ребро куба равно 2.

57. Задание 13 № 621776

На ребре BB₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка F так, что B₁F : FB = 1 : 6. Точка T — середина ребра B₁C₁. Известно, что   AD = 12, AA₁ = 14.

а) Докажите, что плоскость FTD₁ делит ребро AA₁ в отношении 2 : 5.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью FTD₁.

58. Задание 13 № 621854

Точка E лежит на боковом ребре SC правильной четырехугольной пирамиды SABCD и делит его в отношении 1 : 2, считая от вершины S. Через точку E и середины сторон AB и AD проведена плоскость α.

а) Докажите, что плоскость α делит высоту пирамиды в отношении 3 : 2.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если сторона основания пирамиды равна 12, а высота — 

59. Задание 13 № 626199

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SЕ и вершину С, делит ребро SВ в отношении 1 : 3, считая от вершины В.

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SА и SЕ и вершину С, делит ребро SF, считая от вершины S.

60. Задание 13 № 627925

В правильной четырехугольной призме MNPQM₁N₁P₁Q₁ сторона основания равна 11, а боковое ребро — 15. На ребрах M₁Q₁, M₁N₁ и PQ взяты точки X, Y, Z соответственно так, что 

а) Пусть C — точка пересечения плоскости XYZ c ребром PN. Докажите, что XYCZ — прямоугольник.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскость