ответы на экзамен с 10 по 20. 10. Вычисление и построение главного вектора и главного момента
![]()
|
| |
При криволинейном движении скорость направлена по касательной к траектории. ![]() Поскольку направление скорости постоянно изменяется, то криволинейное движение - всегда движение с ускорением, в том числе, когда модуль скорости остается неизменным | |
В общем случае ускорение направлено под углом к скорости. Составляющая ускорения, направленная вдоль скорости, называется тангенциальным ускорением ![]() | |
| |
Составляющая ускорения, направленная к центру кривизны траектории, т.е. перпендикулярно (нормально) скорости, называется нормальным ускорением ![]() | |
| |
Здесь R - радиус кривизны траектории в данной точке. Тангенциальное и нормальное ускорение взаимноперпендикулярны, поэтому модуль полного ускорения | |
|
17. Относительное, переносное и абсолютное движения. Теорема о сложении скоростей.
Согласно теореме Кориолиса, абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется как геометрическая сумма относительного, переносного и кориолисова ускорений (рис. 3)
aa = ar ⊕ ae ⊕ aC .
![](905499_html_60a2a9ff87031c79.png)
Рис. 3
Поскольку, в данном случае, относительное движение происходит по прямой линии, относительное ускорение ar направлено вдоль этой прямой и определяется выражением
![](905499_html_5419180623ef71ba.png)
Переносным ускорением точки M является ускорение точки Mдиска. Диск совершает вращательное движение, следовательно, переносное ускорение определяется выражением
ae= aeвр⊕ aeцс ,
где aeвр= ε⋅ OM - вращательное ускорение точки M, направленное перпендикулярно отрезку OM ;
aeцс= ω2⋅ OM - центростремительное ускорение точки M, направленное к центру диска.
Ускорение Кориолиса или поворотное ускорение определяется по формуле
aC = 2 ωe ⊗ νr, где ωe - переносная угловая скорость, νr - относительная скорость точки.
Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения или по правилу Жуковского.
Величина ускорения Кориолиса определяется выражением
aC = 2 ωe νr sinα ,
где α – угол между векторами ωe и νr.
Рассмотрим, какой физический смысл заложен в ускорение Кориолиса. Для простоты будем считать, что диск вращается с постоянной угловой скоростью, а точка Mдвижется относительно диска с постоянной относительной скоростью (рис.4).
![](905499_html_5fc46ea24eb36a4e.png)
Рис. 4
Пусть в момент времени t1 точка M занимала положение M1 и имела относительную скорость νr 1 . За промежуток времени Δt точка M переместится в положение M2 , при этом направление скорости νr изменится вследствие вращения диска. Векторνr получит приращение Δνr . Отношение Δνr/ Δt определяет среднее ускорение точки за промежуток времени Δt . Предел отношения Δνr/ Δt при Δt→ 0 есть производная dνr/dt , как производная от вектора постоянного по величине.
Рассмотрим, как изменяется переносная скорость в зависимости от относительного движения. В моменты времени t1 и t2 переносная скорость определяется выражениями νe1= ω⊗ OM1и νe2= ω⊗ OM2 . Тогда приращение вектора νe за счет относительного движения будет равно
Δνe = ω ⊗ OM2 - ω ⊗ OM1 = ω ⊗ (OM2 - OM1) = ω ⊗ νr⋅Δt
Отношение Δνe / Δt в пределе при Δt→ 0 дает производную dνe/ d t= ω ⊗ νr. Таким образом, ускорение Кориолиса с одной стороны характеризует изменение относительной скорости по направлению за счет переносного вращения и, с другой стороны, изменение величины переносной скорости за счет относительного движения.
![](905499_html_e4cd63a135d58ca9.png)
Рис. 5
Абсолютное ускорение точки в сложном движении в общем случае определяется геометрической суммой пяти слагаемых
![](905499_html_f8df0d553e97224d.png)
Для определения величины абсолютного ускорения удобнее пользоваться аналитическим методом сложения векторов:
![](905499_html_9f62e3aecedfaa3c.png)
18. Поступательное движение тела.
18. Поступательное движение твердого тела – это движение, при котором любая прямая, связанная с телом, при его движении остается параллельной своему начальному положению.
Примеры поступательного движения: движение педалей велосипеда относительно его рамы, движение поршней в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, движение кабин колеса обозрения относительно Земли (рисунок 1.1) и т.д.
![](905499_html_383b868653a17cd9.png)
Рис. 1.1
Теорема. При поступательном движении твердого тела траектории, скорости и ускорения точек тела одинаковы.
Доказательство.
Если выбрать две точки твердого тела А и В (рисунок 1.2), то радиусы-векторы этих точек связаны соотношением
![](905499_html_8fbe560bde5383d2.png)
Траектория точки А – это кривая, которая задается функцией rA(t), а траектория точкиB – это кривая, которая задается функцией rB(t). Траектория точки B получается переносом траектории точки A в пространстве вдоль вектора AB, который не меняет своей величины и направления во времени (AB = const). Следовательно, траектории всех точек твердого тела одинаковы.
Продифференцируем по времени выражение
![](905499_html_8fbe560bde5383d2.png)
Получаем
![](905499_html_f65ab7a397be77c5.png)
![](905499_html_99e212f658729215.png)
Рис. 1.2
Продифференцируем по времени скорость и получим выражение aB = aA. Следовательно, скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы.
Для задания поступательного движения твердого тела достаточно задать движение одной из его точек:
![](905499_html_84f807168588e1ec.png)
19. Вращательное движение тела. Угловая скорость и угловое ускорение.
19. Вращательное движение – это движение твердого тела, имеющего как минимум две неподвижные точки (рисунок 1.3). Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Положение тела определено, если задан угол φ между плоскостями П0 и П , одна из которых неподвижна, а другая жестко связана с телом.
φ=φ(t) – уравнение вращательного движения твердого тела.
![](905499_html_fb3437a5cfbe086f.png)
Рис. 1.3
За положительное направление отсчета принимается вращение против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу положительному направлению оси z. Траекториями точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.
Для характеристики изменения угла поворота с течением времени вводится величина, называемая угловой скоростью ω:
![](905499_html_817ded9053a27922.png)
В технике угловая скорость – это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту. За одну минуту тело повернется на угол 2π⋅ n, где n – число оборотов в минуту (об/мин). Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим
![](905499_html_90f04b047ecbea6d.png)
Вектор угловой скорости – это вектор, направленный по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки, с модулем, равным модулю алгебраической угловой скорости
![](905499_html_b772069cf7f70e60.png)
где k – единичный вектор оси вращения.
Угловое ускорение – мера изменения угловой скорости:
![](905499_html_b263ce56253898af.png)
Вектор углового ускорения – производная вектора угловой скорости по времени (рис. 1.4)
![](905499_html_af2fef237fcf5a11.png)
![](905499_html_c20545320e372fe9.png)
![](905499_html_339f10e9de5e9c07.png)
Рис. 1.4
Если ε >0 и ω >0 (рисунок 1.4), то угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону. Направление векторов ω и ε совпадают, оба они направлены в положительную сторону оси вращения Oz.
При ε <0 и ω <0 – тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. Направление векторов ω и ε совпадают, оба они направлены в отрицательную сторону оси вращения Oz .
Если ε <0 и ω >0, то имеем замедленное вращение в положительную сторону. Векторыω и ε направлены в противоположные стороны.
Если ε >0 при ω <0, то имеем замедленное вращение в отрицательную сторону. Векторыω и ε направлены в противоположные стороны.
Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным. Уравнение равномерного вращения
φ=φ0+ωt
Если угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным.
Уравнение равнопеременного вращения
![](905499_html_f5f2d819664f722.png)
и уравнение, выражающее угловую скорость в любой момент времени
ω=ω0+εt
представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.
20. Скорости и ускорения точек при вращательном движении.
Так как траектории точек вращающегося тела – окружности, при определении скорости и ускорения удобно воспользоваться естественным способом задания движения (рисунок 1.5). Дуговая координата, определяющая положение точки на траектории, связана с углом поворота равенством:
s = φR . Отсюда:
![](905499_html_4aa21b794db4896d.png)
![](905499_html_8a1eb0004206d1b3.png)
Рис. 1.5
Скорость ν = νττ еще называют линейной или окружной скоростью. Она направлена по касательной к траектории движения точки.
Ускорение (рисунок 1.6) определяется как сумма касательного и нормального ускорений:
![](905499_html_cdfd2abb36fce3e7.png)
модуль ускорения
![](905499_html_24e08085b164cb6a.png)
![](905499_html_3b885855d298c409.png)
Рис. 1.6
Угол α, образованный вектором ускорения точки с радиусом окружности OM, для всех точек тела в любой момент времени одинаков,
![](905499_html_c96d24152cc87539.png)
Касательное и нормальное ускорения при вращательном движении твердого тела также называют соответственно вращательным и центростремительным:
![](905499_html_a180f4bd65d00557.png)
Векторные выражения скорости и ускорения точек вращающегося тела
Модуль скорости точки вращающегося тела ν = ωR = ωr sinβ (рисунок 1.7) равен модулю векторного произведения ω⊗r.
![](905499_html_97033e09285d3c13.png)
Рис. 1.7
Следовательно:
ν = ω×r(формула Эйлера).
Определим ускорение точки, продифференцировав формулу Эйлера:
![](905499_html_7e1a888a24fe87ac.png)
Первое слагаемое является касательным ускорением aτ= ε ⊗ r,
а второе – нормальным an = ω ⊗ (ω ⊗ r) = ω ⊗ ν.