тлэц 4-хполюсникик теория. 12. Основы теории четырехполюсников

• Название: 12. Основы теории четырехполюсников
• Дата: 26.04.2023
• Размер: 394.59 Kb.
• Имя файла: тлэц 4-хполюсникик теория.docx
• Тип: Документы; #1092454
• страница: 3 из 3

12.5. Характеристические параметры четырехполюсника

Согласованное включение четырехполюсника. При передаче сигналов на расстояние может участвовать большое число каскадно соединенных четырехполюсников. На практике используется такое включение четырехполюсников, которое получило название согласованного. Если рассматривать четырехполюсник, включенный по схеме рис. 12.1, то это означает, что должны выполняться два условия: Zвx1 = Zг и Zвx2 = Zн, т. е. входное сопротивление четырехполюсника должно быть согласовано с сопротивлением генератора, а выходное - с сопротивлением нагрузки.

В случае каскадного включения нескольких четырехполюсников обеспечивают согласованное включение каждого из них.

Режим согласованного включения является наиболее благоприятным при передаче сигналов, поскольку при этом отсутствуют отражения электрической энергии (а значит, ее рассеяние) на стыках "генераторчетырехполюсник" и "четырехполюсникнагрузка" и искажение сигнала.

Характеристические сопротивления четырехполюсника. Остается не ясным, всегда ли можно включить четырехполюсник согласованно, т. е. всегда ли можно подобрать такие сопротивления Zг и Zн, при которых



Оказывается, для любого четырехполюсника всегда существует такая пара сопротивлений, для которой выполняется условие (12.16). Эти сопротивления называются характеристическими (собственными) сопротивлениями четырехполюсника и обозначаются Zс1 и Zс2. Индекс "l" указывает на то, что характеристическое сопротивление определяется со стороны зажимов 1-1', а индекс "2" - со стороны зажимов 2-2'.



Таким образом, если в качестве внутреннего сопротивления генератора выбрать Zг = Zс1, а в качестве сопротивления нагрузки Zн = Zс2, то Zвх1 будет равно Zс1, a Zвх2 = Zс2. Рисунок 12.15 иллюстрирует это свойство характеристических сопротивлений.

Можно теперь уточнить определение режима согласованного включения. Режимом согласованного включения четырехполюсника называется такой режим его работы, когда внутреннее сопротивление генератора выбрано равным характеристическому сопротивлению четырехполюсника Zс1, а сопротивление нагрузки равным характеристическому сопротивлению Zс2.

Положив в (12.16) Zвх1 = Zг = Zс1 и Zвх2 = Zн = Zс2, получим



Совместное решение этих уравнений относительно величин Zс1 и Zс2 дает выражение характеристических сопротивлений через апараметры:



Характеристическое сопротивление можно выразить через параметры XX и КЗ. Проще всего это получить из (12.17), если воспользоваться формулами (12.13)-(12.15), где параметры XX и КЗ выражены через апараметры:



Последние формулы удобны для экспериментального определения характеристических сопротивлений методами XX и КЗ.

Пример. Дан резистивный гобразный четырехполюсник (см. рис. 12.2, б) с элементами Z1 = 1600 Ом, Z2 =900 Ом. Включим его согласованно с генератором и нагрузкой. Для согласования четырехполюсника с генератором нужно выбрать его внутреннее сопротивление равным характеристическому сопротивлению четырехполюсника со стороны зажимов 1-1', т. е. Zг = Zс1. Чтобы согласовать четырехполюсник с нагрузкой, следует подключить к его зажимам 2-2' сопротивление нагрузки Zн = Zс2.



Матрица А четырехполюсника имеет вид



Зная апараметры, по формулам (12.17) определяем характеристические сопротивления четырехполюсника: = 2000 Ом и = 720 Ом. Их можно найти также по параметрам XX и КЗ из формулы (12.18). Последние можно определить непосредственно из схемы: Zхх1 = Z1 + Z2 = 2500 Ом, Zкз1 = Z1 = 1600 Ом и, следовательно, = 2000 Ом. Аналогично Zхх2 = Z2 = 900 Ом, Zкз2 = Z1Z2/(Z1 + + Z2) = 580 Ом и = 720 Ом.

Итак, внутреннее сопротивление генератора следует взять равным Zг = = 2000 Ом, а сопротивление нагрузки Zн = 720 Ом.

Схема согласованного включения четырехполюсника показана на рис. 12.16. Входное сопротивление четырехполюсника



Характеристическая постоянная передачи четырехполюсника. При согласованном включении на стыках "генераторчетырехполюсник" и "четырехполюсникнагрузка" рассеяние электрической энергии будет происходить только в четырехполюснике (например, она будет превращаться в тепловую энергию на резистивных элементах схемы).

Чтобы учесть эти потери, вводят меру передачи энергии - характеристическую (собственную) постоянную передачи четырехполюсника, определяемую через отношение произведения напряжения и тока на входе четырехполюсника к произведению напряжения и тока на его выходе, взятое в логарифмическом масштабе



причем все токи и напряжения измеряются или вычисляются в режиме согласованного включения четырехполюсника, т. е. при Zг = = Zс1 и Zн = Zс2.

Так как U1 = I1Zвх1 = I1Zс1 и U2 = I2Zвх2 = I1Zс2, характеристическую (собственную) постоянную передачи можно представить в иных формах записи



Если четырехполюсник симметричный, то из (12.17) следует, что Zс1 = Zс2 = Zс, а из (12.20)



Так же, как и характеристические сопротивления, характеристическую постоянную передачи можно выразить через параметрыкоэффициенты. Чтобы выразить Гс через апараметры, представим ток из (12.4) в виде I1 = А21U2 + А22I2. Так как при согласованном включении U2 = I2Zн = I2Zс2, то I1 = (А21Zс2 + А22)I2. Подставляя выражение для I1 в (12.20) и учитывая из (12.17), что



Приведем без вывода связь собственной постоянной передачи с параметрами XX и КЗ:



С собственной постоянной передачи Гс связаны конкретные физические представления. Воспользуемся выражением (12.19)



Величина



где S1 и S2 - полные мощности на входе и выходе четырехполюсника при согласованном его включении, называется характеристическим (собственным) ослаблением четырехполюсника. Она показывает в логарифмическом масштабе, на сколько уменьшилась мощность на выходе четырехполюсника по сравнению с мощностью на его входе при передаче энергии через четырехполюсник в режиме согласованного включения.

Для симметричного четырехполюсника из (12.21) получаем



В этом случае величина Ас показывает ослабление абсолютных значений напряжения и тока.

Единица измерения отношений величин в масштабе натуральных логарифмов называется непером (сокращенно Нп).

Ослаблению в 1 Нп соответствует уменьшение мощности в е2 = = 7,39 раза (так как при имеем S1/S2 = e2), а в симметричном четырехполюснике - уменьшение напряжения и тока в е = 2,718 раз (так как при



На практике принято вычислять и измерять ослабление в других единицах - белах (сокращенно Б). Ослаблению в 1 Б соответствует уменьшение мощности в 10 раз, ослаблению 2 Б - в 100 раз и т. д. Вместо формулы (12.25) в этом случае используют формулу



Бел достаточно крупная единица измерения. Вместо нее обычно применяют в 10 раз меньшую единицу - децибел (сокращенно дБ). Поскольку 1 Б = 10 дБ, то



Для симметричных четырехполюсников вместо (12.26) удобно пользоваться формулой



Между неперами и децибелами существует связь: 1 Нп = 8,7 дБ; 1 дБ = 0,115 Нп.

Пример. Несимметричный и симметричный четырехполюсники включены согласованно. Мощность на выходе первого из них уменьшается по сравнению с мощностью на входе в 1000 раз, на выходе второго по сравнению с его входом - в 10000 раз. Определим характеристические (собственные) ослабления четырехполюсников.

Характеристическое ослабление по мощности для несимметричного четырехполюсника согласно формуле (12.25) составляет Ас = 10 lg 1000 = 30 дБ, а для симметричного - Ас = 10 lg 10000 = 40 дБ. Кроме того, для симметричного четырехполюсника можно указать характеристическое ослабление по напряжению и току. В соответствии с (12.25) оно равно 20 lg 10000 = 80 дБ. Второе слагаемое в формуле (12.24)



учитывает изменение начальных фаз напряжений и токов при передаче энергии через согласованно включенный четырехполюсник и носит название характеристической (собственной) фазы или фазовой постоянной четырехполюсника.

Преобразование (12.21) для симметричного четырехполюсника приводит к характеристической (собственной) фазовой постоянной, равной разности фаз входного и выходного напряжений или токов:



Измеряется фазовая постоянная в радианах (сокращенно рад) или градусах (сокращенно град).

Величины Zc1, Zc2 и Гc образуют систему характеристических (собственных) параметров четырехполюсника. Она полностью описывает пассивный четырехполюсник.

Связь с другими системами параметров. Вычисление характеристических параметров по апараметрам осуществляется с помощью формул (12.17), (12.22), а по параметрам XX и КЗ - с помощью формул (12.18) и (12.23). Установим обратные соотношения, т. е. выразим апараметры и параметры XX и КЗ через характеристическое.

Из (12.22) следует:



Воспользовавшись формулой Эйлера, запишем



Параметр А11 определяется из произведения (12.27) и (12.29)



Чтобы найти параметр А12, необходимо перемножить (12.28) и (12.30)



Остальные два параметра получаются из отношений (12.28) к (12.30) и (12.27) к (12.29):



Уравнения передачи (12.4) в апараметрах после подстановки в них величин из (12.31)-(12.34) превратятся в уравнения передачи в характеристических параметрах:



Для симметричного четырехполюсника, где Zc1 = Zc2 = Zc эти уравнения примут вид



Запись уравнений передачи в форме (12.35) широко применяется для описания цепей с распределенными параметрами (см.13. Цепи с распределенными параметрами).

Формулы (12.13)-(12.15) и (12.31)-(12.34) позволяют выразить параметры XX и КЗ через характеристические параметры. Действительно,



Заметим, что из этих формул легко выводится формула (12.23), приведенная ранее без вывода.

Расчет каскадного согласованного соединения четырехполюсников. При расчете каскадного соединения четырехполюсников ранее был использован матричный метод, в котором матрица А результирующего четырехполюсника определялась произведением матриц А составляющих четырехполюсников. Если четырехполюсники соединены согласованно, то удобнее пользоваться характеристическими параметрами.

На рис. 12.17 показано каскадное согласованное включение трех четырехполюсников с характеристическими постоянными передачи Гc1, Гc2 и Гc3.



Согласование четырехполюсников состоит в том, что характеристические сопротивления со стороны их соединения выбраны равными друг другу, а внутреннее сопротивление генератора и сопротивление нагрузки - равными характеристическим сопротивлениям крайних четырехполюсников. Действительно, крайний справа четырехполюсник нагружен на сопротивление, равное его характеристическому Zc4, значит, входное сопротивление этого крайнего четырехполюсника будет равно характеристическому сопротивлению Zc3 предшествующего четырехполюсника. В свою очередь, входное сопротивление среднего четырехполюсника оказывается равным характеристическому сопротивлению Zc2 крайнего левого четырехполюсника. Следовательно, входное сопротивление крайнего слева четырехполюсника равно Zc1 и согласовано с внутренним сопротивлением генератора.

Аналогичным образом можно провести рассуждения, начиная с левого четырехполюсника.

На рис. 12.17 во избежание путаницы входные сопротивления четырехполюсников со стороны зажимов 2-2' названы выходными сопротивлениями четырехполюсников. Определим характеристическую постоянную передачи результирующего четырехполюсника. Согласно (12.20)



Таким образом, результирующий четырехполюсник, составленный из каскадно и согласованно соединенных отдельных четырехполюсников, имеет характеристические сопротивления, равные характеристическим сопротивлениям крайних четырехполюсников, и оказывается включенным согласованно с генератором и нагрузкой. Его характеристическая постоянная передачи равна сумме характеристических постоянных передачи соединяемых четырехполюсников. Учитывая, что Гс = Ас + jВс, можно записать:



 
12.6. Внешние характеристики четырехполюсника

Рабочее ослабление четырехполюсника. Режим согласованного включения четырехполюсника является наиболее благоприятным для передачи энергии. Однако обеспечить идеальное согласование четырехполюсника с генератором и нагрузкой в широкой полосе частот возможно только в том случае, когда внутреннее сопротивление генератора, сопротивление нагрузки и характеристические сопротивления четырехполюсника являются резистивными. Добиться же равенства комплексных сопротивлений на всех частотах рабочего диапазона, как правило, не удается. Возникающая вследствие этого несогласованность приводит к дополнительным потерям энергии.

Рассмотрим работу четырехполюсника в реальных условиях (см. рис. 12.1), когда Zг № Zс1 и Zн № Zс2. В этом случае Zвх1 № Zг и Zвх2 № Zн. Несогласованность на входе приводит к тому, что часть энергии отражается от входных зажимов четырехполюсника и возвращается к генератору. Изза несогласованности на выходе не вся энергия из четырехполюсника передается нагрузке: часть ее отражается от нагрузки и возвращается обратно в четырехполюсник. Очевидно, какаято часть энергии будет теряться за счет многократного ее отражения на входных и выходных зажимах четырехполюсника.

Чтобы учесть дополнительно возникающие в рабочих условиях потери энергии, пользуются рабочими мерами передачи, которые являются внешними характеристиками четырехполюсника.

К внешним характеристикам относится рабочее ослабление четырехполюсника, которое позволяет сравнить в логарифмических единицах полную мощность S2, выделяемую в нагрузке Zн на выходе четырехполюсника, с полной мощностью S0, которую генератор отдает в нагрузку, согласованную с его внутренним сопротивлением.

Мощность, выделяемая в нагрузке Zн (см. рис. 12.1)



Полная мощность S0 выделяется на сопротивлении, равном внутреннему сопротивлению генератора, т. е. на Zг, и подключенном непосредственно к его зажимам:



Рабочее ослабление четырехполюсника, выраженное в неперах (Нп), подсчитывается по формуле



В (12.36) и (12.37) входят действующие значения Uг и U2, которые могут быть измерены экспериментально, поэтому эти формулы лежат в основе большинства методов измерения рабочего ослабления четырехполюсника.

При теоретических расчетах пользуются другой формулой



где Ac - характеристическое ослабление четырехполюсника; DA1, DA2 - дополнительные ослабления изза несогласованностей на входе и выходе четырехполюсника:



DA3 - дополнительное ослабление за счет многократного отражения энергии от входных и выходных зажимов четырехполюсника:



При согласовании четырехполюсника с генератором Zг = Zc1 и DA1 = DA3 = 0. При согласовании четырехполюсника с нагрузкой Zн = Zc2 и DA2 = DA3 = 0.

Если согласование полное, т. е. Zг = Zc1 и Zн = Zc2, то Ар = Ас, т. е. рабочее ослабление четырехполюсника равно его характеристическому (собственному) ослаблению. Для пассивного четырехполюсника рабочее ослабление больше собственного ослабления вследствие рассогласования на входе и выходе.

Рабочее ослабление является вещественной частью комплексной величины Гр - рабочей постоянной передачи четырехполюсника:



где Вр - рабочая фазовая постоянная.

Передаточные функции четырехполюсника. Передаточной функ-цией нагруженного четырехполюсника (см. рис. 12.1) называется отношение выходной электрической величины к входной электрической величине, т. е. отношение реакции к воздействию (см.7.4. Операторные передаточные функции).

Если входным воздействием считать напряжение генератора с комплексным действующим значением Uг, а реакцией четырехполюсника на это воздействие - напряжение с комплексным действующим значением U2 или ток с комплексным действующим значением I2, то получаются комплексные передаточные функции общего вида:



В частных случаях, когда заданными воздействиями являются напряжение на входных зажимах четырехполюсника или ток, протекающий через эти зажимы, получают следующие четыре разновидности передаточных функций (см.7.4. Операторные передаточные функции):

Hu = U2/U1 - комплексный коэффициент передачи по напряжению (для активных четырехполюсников, например усилителей, он носит название коэффициента усиления по напряжению);

Hi = I2/I1 - комплексный коэффициент передачи по току (для активных цепей - коэффициент усиления по току);

HZ = U2/I1 - комплексное передаточное сопротивление;

HY = I2/U1 - комплексная передаточная проводимость.

Передаточные функции четырехполюсника выражаются через любую систему параметров и сопротивления нагрузки. Например,



Можно вычислять передаточные функции в различных режимах работы четырехполюсника (холостой ход, короткое замыкание, согласованное включение). Например, при холостом ходе на выходе (разомкнутые зажимы 2-2') комплексный коэффициент передачи по напряжению находится из (12.39) при Zн = Ґ



Коэффициент передачи по току в режиме короткого замыкания на выходе (замкнутые накоротко зажимы 2-2') получим из (12.40) при Zн = 0:



При согласованном включении симметричного четырехполюсника из (12.39) следует



Формула (12.43) устанавливает связь между передаточной функцией по напряжению согласованно включенного симметричного четырехполюсника с его характеристической (собственной) постоянной передачи. Аналогичным образом можно получить остальные передаточные функции в различных режимах работы и выражения их через интересующие нас параметры.

Часто используют так называемую рабочую передаточную функцию четырехполюсника:



Рабочая передаточная функция непосредственно связана с рабочей постоянной передачи четырехполюсника. Действительно, из (12.44) и (12.36) вытекает, что



Справедливы также более общие соотношения: или .

Если на входе четырехполюсника действует негармоническое (периодическое или непериодическое) воздействие, то, переходя от мгновенных значений напряжений и токов к их изображениям по Лапласу Uг(p), U1(p), U2(p), I1(p) и I2(p), получают операторные передаточные функции Н(р), которые представляются в общем виде (7.41):



где р01, р02, ..., р0n - нули передаточной функции; р1, р2, ..., рm - полюса передаточной функции; Н = ап/bт.

Пример. Найдем коэффициент передачи по напряжению и квадрат АЧХ четырехполюсника, изображенного на рис. 12.18, a, в режиме XX на выходных зажимах.

Коэффициент передачи по напряжению нагруженного четырехполюсника согласно (12.39)



В режиме XX Zн = Ґ и согласно (12.41) и (12.8)



Используя операторную форму записи, имеем





где H = 1; a0 = b0 = 1/LС; b1 = R/L.

Корни числителя этой рациональной дроби, т. е. нули передаточной функции,



Корни знаменателя, или полюсы передаточной функции,



На рис. 12.18, б показано расположение нулей и полюсов функции при .

По теореме Виета



Амплитудночастотная характеристика в данном режиме работы определяется из Huхх(р) путем замены р на jw и вычисления модуля полученной функции



Квадрат АЧХ запишется в виде



 
12.7. Вопросы и задания для самопроверки

1. Используя метод узловых напряжений, найти Y-параметры тобразного четырехполюсника, изображенного на рис. 12.19.



2. Определить Y-параметры тобразного четырехполюсника, показанного на рис. 12.20, при R = 100 Ом, L = 0,1 Гн, С = 10-5 Ф, w = 1000 с1.

Ответ: Y11 = Y22 = 0,01j;

Y12 = Y21 = -1,26Ч10-2exp(j1,25).

3. Объяснить, в каких случаях следует включать цепи согласованно?

4. Рассчитать характеристическое сопротивление четырехполюсника на рис. 12.21, если Z1 = 1000 Ом, Z2 = j500 Ом.



5. Чем отличается рабочее ослабление четырехполюсника от собственного (характеристического)?

6. Что такое комплексная передаточная функция? Какие виды комплексных передаточных функций четырехполюсника известны?

7. Определить коэффициент передачи по напряжению, АЧХ и ФЧХ цепи, изображенной на рис. 1.22, если выходным напряжением является напряжение на резисторе R. Построить графики АЧХ и ФЧХ.



8. Рассчитать передаточную функцию каскадного соединения цепей, изображенных на рис. 1.22 и 1.23. Построить график АЧХ полученной цепи.

9. Определить коэффициент передачи по напряжению при холостом ходе и коэффициент передачи по току при коротком замыкании для побразного четырехполюсника в продольную ветвь которого включена индуктивность L, а в поперечные ветви - емкость С.



10. Определить ослабление, вносимое цепью рис. 1.22, при R = = 31,8 кОм и = 10 кОм.

Ответ: 12 дБ.

11. Что такое операторная передаточная функция? Как она связана с комплексной передаточной функцией' Как определить нули и полюсы операторной передаточной функции?

12. Определить операторную передаточную функцию, комплексный коэффициент передачи по напряжению, АЧХ и квадрат АЧХ последовательного колебательного контура, изображенного на рис. 12.18, а, если выходным напряжением является напряжение на емкости С. Построить график АЧХ цепи.



13. Перечислить основные свойства операторных передаточных функций пассивных цепей.