2. Понятие функции. Основные свойства функций
![]()
|
2. Понятие функции. Основные свойства функций. Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению ![]() ![]() ![]() Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел. 2) Нули функции. Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. 3) Промежутки знакопостоянства функции. Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны. 4) Монотонность функции. Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. 5) Четность (нечетность) функции. Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого хиз области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любогох из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. 6) Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная. 7) Периодическость функции. Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы). Изучив данные свойства функции Вы без проблем сможете исследовать функцию и по свойствам функции сможете построить график функции. Также посмотрите материал про таблицу истинности, таблицу умножения, таблицу Менделеева, таблицу производных и таблицу интегралов. 3. Основные элементарные функции (степенная, показательная, логарифмическая, триго-нометрические, обратные тригонометрические). 2. Показательная функция: ![]() Наряду с введенным обозначением для показательной функции используют обозначение exp z. Заметим, что на вещественной оси показательная функция комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного. Непосредственная проверка убеждает, что на показательную функцию комплексного переменного переносится теорема сложения ![]() Показательная функция комплексного переменного является периодической функцией с основным периодом 2i, т. е. ![]() 3. Тригонометрические функции: ![]() ![]() Для тригонометрических функций сохраняются теоремы сложения, а следовательно, и остальные формулы, справедливые для тригонометрических функций действительного переменного. Они являются периодическими функциями с теми же периодами, что и соответствующие тригонометрические функции действительного переменного. Однако в случае комплексного переменного функции sinz, coszограниченными не являются. 5. Логарифмическая функция. Логарифмическая функция Lnz, при z ![]() ![]() Так как показательная функция – периодическая с периодом 2i,то логарифмическая функция является многозначной. В каждой точке z ![]() Функция ![]() где arg z – главное значение аргумента, называется главным значением логарифмической функции. Итак, ![]() Известные правила о логарифме произведения и частного сохраняют свою силу и для многозначного логарифма, а именно: при z1 и z2, отличных от нуля, верны формулы ![]() 7. Функции, обратные к тригонометрическим и гиперболическим, являются многозначными и выражаются через логарифмическую. Поясним сказанное на примере функций а) w=аrcsin z, б) w=аrthz. a)Имеем по определению ![]() Откуда ![]() (Знаки ± в формуле решения квадратного уравнения можно опустить, если понимать корень как двузначную функцию). Итак, ![]() б)По определению w=аrthz z=thw. Откуда получаем ![]() Таким образом, ![]() Для остальных обратных тригонометрических функций выполняются формулы: ![]() 5. Предел переменной величины и его свойства. Бесконечно малая и бесконечно большая величины. Число ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Переменная величина ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Предел бесконечно малой величины ![]() ![]() Разность между переменной величиной ![]() ![]() ![]() Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин и их произведение есть величина бесконечно малая. Произведение постоянной и ограниченной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая. (Величина ![]() ![]() ![]() ![]() Переменная величина ![]() ![]() ![]() Бесконечно большая величина предела не имеет, но иногда условно говорят, что предел ее есть бесконечность ![]() ![]() ![]() 6. Нахождение пределов. Замечательные пределы. |