2. Понятие функции. Основные свойства функций
 Скачать 320.74 Kb.
|
|
16. Общая схема исследования функции. Исследование функции можно проводить по следующей схеме: 1. Найти область существования функции. 2. Исследовать изменения функции при  , стремящемся к концам промежутков области существования. 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума. 4. Вычислить значения экстремумов. 5. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика, найти точки перегиба. 6. Найти точки пересечения графика с координатными осями. 7. Найти асимптоты графика функции. По результатам исследования можно построить математически грамотный эскиз ее графика. Если исследуемая функция четная или нечетная, достаточно исследовать функцию и построить ее график для положительных значений аргумента из области определения. Иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из конкретных особенностей данной функции. 17. Неопределенный интеграл и его свойства. Неопределенным интегралом от непрерывной функции  или от дифференциального выражения  называется общее выражение для всех первообразных функций .Обозначение:  (1)где  . Функция называется подынтегральной функцией, а выражение - подынтегральным выражением.Свойства неопределенного интеграла. 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:  . (2)2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:  . (3)3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:  (4)4. Неопределенный интеграл от алгебраический суммы непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых:  Таблица простейших неопределенных интегралов  (5)  (10) (5а)  (11) (5б)  (12) (6) (13) (7)  (14) (8)  (15) (9) 4.1. Свойства неопределенного интеграла.1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:  2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:  3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:  4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых:  Таблица простейших неопределенных интегралов               18. Методы интегрирования: интегрирование разложением. Метод подстановки. 4.2. Интегрирование разложением. Метод разложения основан на свойстве 4 неопределенного интеграла. Если  то  4.4. Метод подстановки. Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основано на формуле  где  -- дифференцируемая функция переменной  .Примеры. 1. Найти интеграл  .Положим  , тогда   . Подставляя полученные значения в подынтегральное выражение, получим   19. Методы интегрирования: метод интегрирования по частям. 4.5. Метод интегрирования по частям. Если  ,  -- дифференцируемые функции от , то из формулы для дифференциала произведения двух функций  получается формула интегрирования по частям  Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной функции. В качестве  обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве  -- оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая  , из которой можно определить  путем интегрирования.В некоторых случаях для сведения данного интеграла к табличному формула (18) применяется несколько раз. Иногда искомый интеграл определяется из алгебраического уравнения, получающегося с помощью интегрирования по частям. |