2. Понятие функции. Основные свойства функций
 Скачать 320.74 Kb.
|
|
Глава 3. Приложения производной. Понятие производной находит многочисленные приложения. С помощью производной можно найти касательную к кривой в данной точке, найти скорость и ускорение неравномерного движения в данный момент времени. Производная широко применяется при исследовании функций, являющихся переменными величинами. С переменными же величинами постоянно встречаются при изучении закономерностей природы.  3.1. Правило Лопиталя-Бернулли. Правило Лопиталя-Бернулли является эффективным средством нахождения предела функции в тех случаях, когда аргумент неограниченно возрастает или стремится к значению, которое не входит в область определения функции. I. Раскрытие неопределенностей вида  и  .Пусть функции  и  дифференцируемы при  , причем производная одной из них не обращается в нуль.Если  и  -- обе бесконечно малые или бесконечно большие при  , т.е. если частное  представляет в точке  неопределенность типа или , то  при условии, что предел отношения производных существует.Последняя формула и выражает правило Лопиталя-Бернулли: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных, если последний существует или равен бесконечности. Правило это применимо и в случае, когда  . Если частное  в точке вновь дает неопределенность одного из указанных типов,  и  , удовлетворяют требованиям, раннее сформулированные для и , то можно перейти к отношению вторых производных и т.д.  Замечание 1. Предел отношения функций может существовать в то время, когда отношения производных не стремятся ни к какому пределу. II. Раскрытие неопределенностей вида  ,  ,  ,  ,  .1. Для раскрытия неопределенности вида необходимо преобразовать соответствующее произведение  , где  ,  , в частности  2. В случае неопределенности вида необходимо преобразовать соответствующую разность  , где  , , в произведение  и раскрыть сначала неопределенность  ; если  , то следует привести выражение к виду  3. Неопределенности видов , , раскрываются с помощью предварительного логарифмирования и нахождения предела степени  . Эти неопределенности сводятся к случаю неопределенности , при этом используется тождество  Замечание 2. Выражение "раскрыть неопределенность типа " означает найти предел  при условии  .В некоторых случаях правило Лопиталя-Бернулли полезно комбинировать с нахождением пределов элементарными способами. 14. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Н. и д. условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функций. 2. Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции y = f(x), если существует интервал, содержащий точку x0, такой, что для всех x из этого интервала имеет место неравенство f(x0) ≥f(x), (f(x0) ≤ f(x)). Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума. 3. Необходимое условие экстремума: в точке экстремума функции ее производная либо равна нулю (f′(x)=0), либо не существует. 4. Первое достаточное условие экстремума: если в точкеx0 функция y = f(x) непрерывна, а производнаяf′(x) при переходе через точку x0 меняет знак, то точка x0 – точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «-», и минимума, если с «–» на «+». Если при переходе через точку x0 производная не меняет знак, то в точке x0 экстремума нет. 5. Второе достаточное условие экстремума: если в точке x0  , а  , то x0 является точкой максимума функции. Если , а  , то x0 является точкой минимума функции.Функция называется возрастающей в некотором промежутке (рис.2, а), если для любых  и  , принадлежащих этому промежутку, из неравенства  следует неравенство  Функция называется убывающей (рис. 2, б) в некотором промежутке, если для любых и  , принадлежащих этому промежутку, из неравенства  следует неравенство  Достаточное условие возрастания (убывания) функции: если в данном промежутке производная данной функции положительна, то функция в этом промежутке возрастает; если производная данной функции в данном промежутке отрицательна, то функция в этом промежутке убывает. Максимумом функции  называется такое ее значение  , которое больше всех других ее значений, принимаемых в точках  , достаточно близких к точке и отличных от нее (рис. 3), т.е.  где -- любая точка из некоторого интервала, содержащего точку .Минимумом функции называется такое ее значение  , которое меньше всех других ее значений, принимаемых в точках , достаточно близких к точке и отличных от нее, т.е.  где -- любая точка из некоторого интервала, содержащего точку .Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Точки, в которых достигается экстремум, называются точками экстремума. Функция может иметь экстремум только в тех точках области ее определения, в которых производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими точками аргумента функции. Наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции на данном отрезке  достигаются или в критических точках аргумента функции или на концах отрезка .Достаточное условие экстремума. Первое правило. Если в точке  производная функции обращается в нуль и меняет знак при переходе через эту точку, то  -- экстремум функции, причем:1) функция имеет максимум в точке  , если знак производной меняется с плюса на минус (т.е. при   , при   );2) функция имеет минимум в точке , если знак производной меняется с минуса на плюс (т.е.  при , при ).Второе правило. Если в точке первая производная функции равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то будет точкой экстремума, причем:1) -- точка максимума, если  ;2) -- точка минимума, если  .Замечание. Пусть первая из неравных нулю в точке  производных функции имеет порядок  . Тогда, если -- четное, то точка является точкой максимума, если  , и точкой минимума, если  . Если же -- нечетное, то точка не является точкой экстремума.15. Выпуклость и вогнутость функций. Н. и д. условия выпуклости и вогнутости. Асимптоты функции. 1. Функция  называется выпуклой вверх (вниз) на промежутке, если для любых двух значений x1, x2 из этого промежутка выполняется неравенство  .Точки, разделяющие интервалы выпуклости, называются точками перегиба. 2. Если вторая производная  f"(x) функции положительна (отрицательна) на промежутке, то функция является выпуклой вниз (вверх) на этом промежутке.3. Если x0 – точка перегиба функции и f"(x0) существует, то f"(x0) = 0.4. Если вторая производная f"(x) меняет знак при переходе через точку x0, то точка x0 является точкой перегиба функции .Таким образом, функция выпукла вниз на всем интервале (- ∞; 1), и точка х = 0 не является точкой перегиба. Не трудно увидеть, что это точка экстремума (максимума) функции. Точка х = 1 является точкой перегиба. На интервале (1; + ∞) функ ция является выпуклой вниз. 1. Прямая lназывается асимптотой графика функции у = ƒ(х), если расстояние от точки (х, ƒ(х)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклон ными. 2. Прямая х = xоявляется вертикальной асимптотой графика функции у= ƒ(х), если хотя бы один из пределов  ƒ(х) (правосторонний или левосторонний) равен  .Прямая х = xо может быть вертикальной асимптотой функции y = ƒ(х) в том случае, если xо – точка разрыва или граничная точка области определения. 3.Прямая у = bявляется горизонтальной асимптотой, если lim ƒ(х) = b.  Если lim ƒ(х) = b, то у = b — правосторонняя горизонтальная асимптота,  если lim ƒ(х) = b, то у = b — левосторонняя горизонтальная асимптота.  4. Если  =k  0 и   = b, то прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции y= ƒ(х). |