2. Понятие функции. Основные свойства функций
 Скачать 320.74 Kb.
|
6.3. Замечательные пределыК пределам 4-го типа отнесем примеры с неопределенностью вида  . В этом случае выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой степенно-показательную функцию, в основании которой необходимо выделить целую часть дроби (которая должна быть равна 1). Неопределенность устраняется при помощи выделения «второго замечательного предела» .При нахождении пределов могут встретиться неопределенности вида  и  .Эти случаи путем преобразования функции приводятся к одному из двух рассмотренных случаев, т.е. к неопределенностям вида  или  . Покажем на примерах, как находятся такие пределы.Примеры. 1. Найти  .При  данная функция представляет разность двух бесконечно больших величин, принимающих положительные значения (случай  ). Умножив и разделив данную функцию на  , получим    8. Непрерывность функции в точке и на отрезке (2 определения) Функция  называется непрерывной в точке  , если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента  соответствует бесконечно малое приращение функции  , т.е.  Функция называется непрерывной в точке , если при  , предел функции существует и равен ее значению в точке , т.е.  Эти два определения непрерывности функции в точке равносильны друг другу. Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна во всех точках этого интервала. 9. Дифференциальное исчисление функции 1 переменной. Производная функции Основ-ные правила дифференцирования. Производной функции в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:  или  Если меняется, то предел (А) будет также меняться (для некоторых он может не существовать), следовательно, производная данной функции есть некоторая функция.Функция, имеющая конечную производную называется дифференцируемой. Операция нахождения производной называется дифференцированием. Геометрическое значение производной. Производная функция для каждого значения равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в соответствующей точке, т.е.  , где  -- угол, образуемый касательной к графику с положительным направлением оси  прямоугольной декартовой системы координат; этот угол является функцией аргумента . Механическое значение производной. Для функции  , меняющейся со временем  , производная  есть скорость изменения функции в данный момент  , т.е.  где  -- скорость изменения  в момент  .Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной. Если  ,  ,  -- дифференцируемые функции от , а  -- постоянная величина, то имеют место следующие основные правила дифференцирования:       10. Производные степенных, тригонометрических, показательных, логарифмических функций. Производная сложной функции.  2.1. Производные степенных и тригонометрических функций. Основные формулы:         2.2. Производная сложной функции.Если  и  -- дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции  существует и равна произведению производной данной функции  по промежуточному аргументу  на производную промежуточного аргумента по независимой переменной :  или  2.3. Производные показательных и логарифмических функций. Основные формулы:     Если  -- дифференцируемая функция от , то формулы примут вид     2.4. Производные обратных тригонометрических функций. Основные формулы:     Для сложных функций     11. Производные обратных тригонометрических функций. Производные высших порядков. Производной второго порядка или второй производной функции называется производная от ее производной  . Она обозначается символами:  Аналогично определяются и обозначаются производные третьего, четвертого и других порядков:   Формула Лейбница для производной  -го порядка от произведения двух функций:  Производные п-го порядка называется производная от производной  -го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции:  ; …;  . (7.28)Если функция задана параметрически, то  ;  ; …; .12. Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике. 1. Предельные величины. Применение производной в экономике позволяет получать так называемые предельные характеристики экономических объектов или процессов. Предельные величины (предельная выручка, полезность, производительность, предельный доход, продукт и др.) характеризуют не состояние, а скорость изменения экономического объекта или процесса по времени или относительно другого исследуемого фактора. Издержки производства. Если издержки производства  рассматривать как функцию выпускаемой продукции  , т.е.  , то  будет выражать предельные издержки производства и приближенно характеризовать прирост переменных затрат на производство дополнительной единицы продукции. Средние издержки являются издержками на единицу выпуска продукции:  .2. Производительность труда. Пусть функция  выражает объем произведенной продукции за время  . Тогда производная объема произведенной продукции по времени  есть производительность труда в момент  .3. Функция потребления и сбережения. Если - национальный доход,  - функция потребления (часть дохода, которая тратится), а  - функция сбережения, то . (7.33)Дифференцируя, получим, что  , (7.34)где  - предельная склонность к потреблению;  - предельная склонность к сбережению.4. Эластичность. Эта мера реагирования одной переменной величины на изменение другой. Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится одна переменная в результате изменения другой переменной на 1%. Эластичность функции определяется с помощью соотношения:  или  , (7.35)где  (7.36)– относительная скорость изменения (темп) функции. Эластичность функции применяется при анализе спроса и предложения от цены (ценовая эластичность). Она показывает реакцию спроса или предложения на изменение цены и определяет, на сколько процентов приближенно изменится спрос или предложение при изменении цены на 1%. Если эластичность спроса  , то спрос считается эластичным, если  – нейтральным (с единичной эластичностью), а если  – неэластичным относительно цены.13. Дифференциал и его свойства. Приложение производной. Правило Лопиталя - Бернулли. Дифференциалом функции называется произведение ее производной на приращение независимой переменной:  В частности, при  , получаем  т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.Формулу (21) можно, следовательно, написать так  откуда  Дифференциал функции равен приращению  ординаты касательной  , проведенной к графику этой функции в точке  , когда аргумент получает приращение  Из определения производной и дифференциала вытекает, что  где  , когда  , т. е. дифференциал функции отличается от приращения на бесконечно малую высшего порядка, чем  .При малых справедлива приближенная формула  или  Если , , -- дифференцируемые функции от , а -- постоянная, то верны следующие свойства дифференциалов: ,  const; , const;  const; ; . |