доп билеты. 29. Интегрирование уравнения Эйлера для потенциального потока
![]()
|
29.Интегрирование уравнения Эйлера для потенциального потока. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 30.интегрирование в случае установившегося движения. Интеграл Эйлера-Бернулли. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 41. Определение компонент вихря и полного значения вихря при ламинарном движении. Существенно отметить, что ламинарное движение является вихревым. Чтобы убедиться в этом, найдем величину компонентов вихря ![]() ![]() ![]() ![]() в соответствии с чем: ![]() ![]() Но производные ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, вихрь ![]() Представим выражение для скорости ![]() ![]() Так как ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Максимальную скорость вращения имеют частицы у стенок трубы ![]() ![]() ![]() 31. Уравнение движения вязкой жидкости (уравнение Навье - Стокса.) ![]() ![]() Под действием сил вязкости (сил сопротивления смещению од них частиц жидкости относительно других, смежных с ними) возникают как тангенциальные (касательные), так и нормальные напряжения (напряжения сжатия или растяжения). Найдем силы F’x, F’y, F’z; предполагая, что жидкость движется слоями без перемешивания движущейся массы. В общем случае направление движения не совпадает с направлением координатных осей, вследствие чего не совпадает с направлением этих осей и сила вязкости. Рассмотрим площадку d площадью dydz, лежащую в плоскости y0z. Пусть в некоторой точке М этой площади действует сила вязкости R, отнесенная к единице площади (как напряжение). Разложим эту силу по координатным осям на три составляющих. Тогда получим силу рх нормальную к данной площадке d, и две касательные силы: y, z .В соответствии с этим для всей площадки d получим три силы: нормальную Рx=pхdydz (параллельную оси Ох) и две касательные Ty=ydydz и Tz=zdydz, соответственно параллельные осям Oу и Ох. Понятно, что из этих трех сил только сила Px проектируется на ось Ох в натуральную величину, а силы Тx и Ту проектируются на ось Ох в нуль. Сказанное справедливо для любой площадки, выбранной в любой координатной плоскости. Теперь выделим элемент жидкости в форме параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям, и определим сумму проекций сил вязкости, действующих только на те три грани параллелепипеда, которые образуют трехгранный угол с верши ной А. Отметим, что для каждой координатной оси мы получим проекции только трех сил (из девяти); остальные будут проектироваться в точку. Так, для оси Ох: Px=pxdydz; Tx,1=xdxdу и Тх,2=xdxdz. Для удобства дальнейших рассуждений введем двойную индексацию напряжений: например, для нормального напряжения рхх, для касательного напряжения ху и т. д.; здесь первый индекс указывает на то, что площадка, для которой определяется напряжение, расположена нормально к данной оси координат, а второй - направление действия напряжения. С учетом этого по лучим следующую запись проекции сил на ось Ох: Проекция нормальной силы на грань ABCD …. pxхdydz Касательной ABB’A’A …. yхdхdz AA’D’D …. zхdxdy Аналогичные выражения можем составить и для двух других координатных осей, в результате чего получим следующие выражения для проекций сил, действующих на грани трехгранного угла с вершиной А: Для оси Ох … pxхdydz; yхdхdz; zхdxdy Оу ... pyydxdz; хydydz; zydxdy Оz ... pzzdxdy; хzdydz; yzdxdz Переходя затем к проекциям сил, действующих на грани трехгранного угла с вершиной С', отметим, что напряжения на этих гранях будут отличаться от напряжений на гранях первого угла (с вершиной в точке А) на величину соответствующих частных дифференциалов этих напряжений. Следовательно: Для оси Ох … p’xхdydz; 'yхdхdz; 'zхdxdy Оу ... p'yydxdz; 'хydydz; 'zydxdy Оz ... p'zzdxdy; 'хzdydz; 'yzdxdz где для оси Ох: p'xх ![]() 'yх ![]() 'zх ![]() Аналогичные выражения можно получить и для двух других осей. Составим теперь выражение для силы F’x, представляющей собой, как сказано выше, сумму проекций на ось Ох всех сил вязкости, действующей на массу жидкости в объеме выделенного параллелепипеда. Полагая, что направление сил, действующих на грани угла с вершиной С, противоположно направлению сил, действующих на грани трехгранного угла с вершиной А, получим ![]() Но: pxx-p'xх ![]() yх -'yх ![]() zх -'zх ![]() в силу чего, делая соответствующую подстановку, найдем ![]() ![]() Сила ![]() представляет собой проекцию силы вязкости, отнесенную к единице массы жидкости, т. е. Fx=F’x/ρ∆W, где в данном случае ∆W=dxdydz, а поэтому для силы Fx, получим следующее выражение: ![]() Здесь ![]() ![]() ![]() Касательные напряжения ![]() одинаковыми для всех точек этой площадки, т. е. не зависят от координат х и z и изменяются только при перемещении этой площадки вдоль оси Оу, т. е. зависят от координаты у. Другими словами, ![]() градиента скорости ![]() ![]() ![]() Откуда ![]() ![]() Рассмотрим производную ![]() ![]() собой нормальиое к площади dydz напряжение, обусловленное влияннем вязкости (сжатия - в условиях торможения и растяжения - в условиях ускоренного движения) в зависимости от изменения скорости вдоль оси Ох, т. е. в зависимости от градиента скорости ![]() ![]() ![]() тогда ![]() Делах соответствующие подстановки в уравнение, получим ![]() ![]() ![]() ![]() Вводя теперь полученные выражения сил Fx, Fy, Fz в систему уравнений, после некоторой перестановки слагаемых в окончательной форме запишем дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости: ![]() |