доп билеты. 29. Интегрирование уравнения Эйлера для потенциального потока

• Название: 29. Интегрирование уравнения Эйлера для потенциального потока
• Дата: 08.02.2023
• Размер: 5.26 Mb.
• Имя файла: доп билеты.docx
• Тип: Документы; #926836

29.Интегрирование уравнения Эйлера для потенциального потока.





























30.интегрирование в случае установившегося движения. Интеграл Эйлера-Бернулли.

















41. Определение компонент вихря и полного значения вихря при ламинарном движении.

Существенно отметить, что ламинарное движение является вихревым. Чтобы убедиться в этом, найдем величину компонентов вихря , , для этого движения. Для ламинарного потока в цилиндрической трубе:



в соответствии с чем:





Но производные и не равны нулю, а потому для компонентов вихря найдем:







Следовательно, вихрь не равен нулю.

Представим выражение для скорости в функции координат .

Так как , то , откуда







Максимальную скорость вращения имеют частицы у стенок трубы , . Для частиц, расположенных на оси трубы,

31. Уравнение движения вязкой жидкости (уравнение Навье - Стокса.)

Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости могут быть составлены путем дополнения уравнений Эйлера теми слагаемыми, которые определяют собой силы сопротивления движению, обусловленные вязкостью жидкости.

Где Fx, Fy, Fz - проекции сил вязкости на координатные оси, отнесенные к единице массы жидкости, т. е. записанные в виде ускорений Fx=F’x/ρ∆W (здесь F’x -проекция силы, действующей на массу ρ∆W, а Fx - проекция ускорения).
Под действием сил вязкости (сил сопротивления смещению од них частиц жидкости относительно других, смежных с ними)
возникают как тангенциальные (касательные), так и нормальные
напряжения (напряжения сжатия или растяжения).
Найдем силы F’x, F’y, F’z; предполагая, что жидкость движется
слоями без перемешивания движущейся массы. В общем случае
направление движения не совпадает с направлением координатных осей, вследствие чего не совпадает с направлением этих осей и сила вязкости.

Рассмотрим площадку d площадью dydz, лежащую в плоскости y0z. Пусть в некоторой точке М этой площади
действует сила вязкости R, отнесенная к единице площади (как
напряжение). Разложим эту силу по координатным осям на три
составляющих. Тогда получим силу р_х нормальную к данной
площадке d, и две касательные силы: _y, _z .В соответствии с
этим для всей площадки d получим три силы: нормальную

Рx=p_хdydz (параллельную оси Ох) и две касательные Ty=_ydydz
и Tz=_zdydz, соответственно параллельные осям Oу и Ох. Понятно, что из этих трех сил только сила Px проектируется на ось
Ох в натуральную величину, а силы Тx и Ту проектируются на ось
Ох в нуль. Сказанное справедливо для любой площадки, выбранной в любой координатной плоскости.
Теперь выделим элемент жидкости в форме параллелепипеда
с ребрами, параллельными координатным осям, и определим сумму проекций сил вязкости, действующих только на те три грани
параллелепипеда, которые образуют трехгранный угол с верши ной А.

Отметим, что для каждой координатной оси мы получим проекции только трех сил (из девяти); остальные будут проектироваться в точку. Так, для оси Ох:
Px=p_xdydz; Tx,₁=_xdxdу и Тх,₂=_xdxdz.

Для удобства дальнейших рассуждений введем двойную индексацию напряжений: например, для нормального напряжения р_хх, для касательного напряжения _ху и т. д.; здесь первый индекс указывает на то, что площадка, для которой определяется напряжение, расположена нормально к данной оси координат, а второй - направление действия напряжения. С учетом этого по лучим следующую запись проекции сил на ось Ох:

Проекция нормальной силы на грань ABCD …. p_xхdydz

Касательной ABB’A’A …. _yхdхdz

AA’D’D …. _zхdxdy

Аналогичные выражения можем составить и для двух других
координатных осей, в результате чего получим следующие выражения для проекций сил, действующих на грани трехгранного угла с вершиной А:

Для оси Ох … p_xхdydz; _yхdхdz; _zхdxdy
Оу ... p_yydxdz; _хydydz; _zydxdy
Оz ... p_zzdxdy; _хzdydz; _yzdxdz
Переходя затем к проекциям сил, действующих на грани трехгранного угла с вершиной С', отметим, что напряжения на этих
гранях будут отличаться от напряжений на гранях первого угла
(с вершиной в точке А) на величину соответствующих частных
дифференциалов этих напряжений. Следовательно:

Для оси Ох … p’_xхdydz; '_yхdхdz; '_zхdxdy
Оу ... p'_yydxdz; '_хydydz; '_zydxdy
Оz ... p'_zzdxdy; '_хzdydz; '_yzdxdz

где для оси Ох:

p'_xх

'_yх

'_zх

Аналогичные выражения можно получить и для двух других осей.

Составим теперь выражение для силы F’x, представляющей собой, как сказано выше, сумму проекций на ось Ох всех сил вязкости, действующей на массу жидкости в объеме выделенного параллелепипеда.
Полагая, что направление сил, действующих на грани угла
с вершиной С, противоположно направлению сил,
действующих на грани трехгранного угла с вершиной А, получим

Но:
p_xx-p'_xх

_yх -'_yх

_zх -'_zх

в силу чего, делая соответствующую подстановку, найдем

Сила , входящая в уравнение Эйлера, как указано выше,
представляет собой проекцию силы вязкости, отнесенную к единице массы жидкости, т. е. Fx=F’x/ρ∆W, где в данном случае
∆W=dxdydz, а поэтому для силы Fx, получим следующее выражение:
Здесь - нормальные, а и - касательные напряжения.
Касательные напряжения в пределах грани dxdz остаются
одинаковыми для всех точек этой площадки, т. е. не зависят от
координат х и z и изменяются только при перемещении этой площадки вдоль оси Оу, т. е. зависят от координаты у. Другими словами, - это касательные напряжения, зависящие только от
градиента скорости . Поэтому в соответствии с законом Ньютона _yx=ϻ и по аналогии _zx=ϻ ,

Откуда и .

Рассмотрим производную . Здесь представляет
собой нормальиое к площади dydz напряжение, обусловленное
влияннем вязкости (сжатия - в условиях торможения и растяжения - в условиях ускоренного движения) в зависимости от
изменения скорости вдоль оси Ох, т. е. в зависимости от градиента скорости . Поэтому можно допустить, что напряжение может также определяться по закону Ньютона: p_xx=ϻ ; а
тогда _.

Делах соответствующие подстановки в уравнение, получим

или, так как ϻ/ρ=ν (кинематической вязкости),

Аналогично получим:

Вводя теперь полученные выражения сил Fx, Fy, Fz в систему уравнений, после некоторой перестановки слагаемых в
окончательной форме запишем дифференциальные уравнения
движения вязкой жидкости:

Эти уравнения именуются уравнениями Навье - Стокса.