Матан(Альтернативная версия). 3. Единственность предела сходящейся последовательности Последовательность называется сходящейся

• Название: 3. Единственность предела сходящейся последовательности Последовательность называется сходящейся
• Анкор: Матан(Альтернативная версия).docx
• Дата: 13.01.2018
• Размер: 1.19 Mb.
• Имя файла: Матан(Альтернативная версия).docx
• Тип: Документы; #13932
• страница: 2 из 3

15. Принцип Бореля-Лебега.

Определение. Говорят, что система множеств S = {X} покрывает множество Y , если любой y ∈ Y содержится, по крайней мере, в одном из множеств X, т.е. Y ⊂ ∪X.

Теорема. В любой системе интервалов, покрывающих отрезок [a, b], имеется конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.

Доказательство. Пусть S = {U} есть система интервалов U, покрывающих отрезок [a,b] = I₁. Если I₁ нельзя покрыть конечным числом интервалов U, то поделим I₁ пополам и выберем из двух отрезков тот, который не покрывается конечным числом интервалов U. Обозначим этот отрезок I₂. Продолжая этот процесс, получим последовательность I₁, I₂, . . . , I_n, . . . , причем длина отрезка I_n (обозначим ее |I_n|) равна По теореме Кантора о вложенных отрезках существует точка c ∈ I_n для любого n. Элемент c принадлежит также интервалу U = (α, β) из системы S. Пусть теперь ε = min (c − α, β − c) и |I_n| < ε. Тогда I_n ⊂ (α, β). Но это противоречит тому, что отрезок I_n нельзя покрыть системой интервалов {U}.

Замечание. Из доказательства видно, что принцип Бореля-Лебега вытекает из принципа Кантора о вложенных отрезках. Можно показать, что принцип Кантора является следствием теоремы Принцип Бореля-Лебега. Такие утверждения называются эквивалентными.

16.Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки у ограниченного числового множества.

Определение. Окрестностью точки x₀ ∈ R называется интервал, содержащий эту точку; δ-окрестностью (или окрестностью радиуса δ) точки x₀ называется интервал

(x₀ − δ, x₀ + δ).

Определение. Точка x₀ называется предельной точкой множества X ⊂ R, если любая окрестность этой точки содержит бесконечное подмножество множества X.

Определение. Точка x₀ называется предельной точкой множества X ⊂ R, если любая окрестность этой точки содержит, по крайней мере, одну точку множества X, не совпадающую с точкой x₀.

Пример. Пусть множество X есть интервал (1, 3). Все его предельные точки образуют отрезок [1, 3]. Предельные точки отрезка дают сам этот отрезок.

Определение. Множество всех предельных точек множества X обозначается X′ и называется производным множеством.

Теорема. Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

Доказательство. Пусть X - бесконечное ограниченное множество чисел из R. Из определения ограниченности множества X следует, что X содержится в некотором отрезке [a, b]. Обозначим отрезок [a, b] через σ₀ и покажем, что существует, по крайней мере, одна точка x₀ ∈ [a, b], которая является предельной для X. Разделим отрезок σ₀ на два равных отрезка и обозначим через σ₁ = [a₁, b₁] любой из них, содержащий бесконечное подмножество чисел множества X (по крайней мере, один из них обязательно содержит такое бесконечное подмножество). Теперь σ₁ разделим на два равных отрезка и обозначим через σ₂ = [a₂, b₂] любой из них, содержащий бесконечное подмножество чисел множества X. Рассуждая по индукции, получим последовательность вложенных друг в друга отрезков σ_n = [a_n, b_n] (n = 0, 1, 2, . . . ), длины которых стремятся к нулю. Согласно принципу Кантора о вложенных отрезках существует точка x₀, принадлежащая всем σ_n. Очевидно, что x₀ есть предельная точка множества X.

17. Эквивалентность двух определений предела функции в точке.

Соответствие между элементами множеств и называется функцией, если любому элементу поставлен в соответствие единственный элемент (это записывается следующим образом: или ).

Определение предела функции по Гейне. Пусть в каждой точке интервала , кроме, быть может, точки , определена функцияЧисло называется пределом функциипри стремлении к , если для любой последовательноститакой, что последовательностьзначений функциисходится к при .В этом случае пишут

Пример. Пусть

Предел функции при не существует, так как для значения функции , а для ,

.

Пример. Пусть Тогда так как

Определение предела функции по Коши. Пусть в каждой точке интервала , кроме, быть может, точки , определена функция . Число называется пределом функции при стремлении к , если для любого 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=15 BORDER=0>существует 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=88 HEIGHT=21 BORDER=0>такое, что для всех , удовлетворяющих условию, выполняется неравенство . Или, на формальном языке, 0\ \exists\ \delta(\varepsilon ) > 0\... ..._0\vert<\delta:\ \vert f(x)-A\vert<\varepsilon . \eqno(5.2.1) \end{displaymath}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=444 HEIGHT=19 BORDER=0>

Теорема. Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны

Доказательство.

Необходимость. Докажем от противного. Пусть по Гейне, но не по Коши, т. е. 0\quad \forall\ \delta > 0\quad \exists\ x_\delta \in (a,b), \ 0 < \vert x_\delta-x_0\vert < \delta: \end{displaymath}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=364 HEIGHT=19 BORDER=0> Пусть . Тогда найдутся и . Отсюда , и по свойству (Если для всех n и ,то) . Поэтому, по определению Гейне, , но по построению последовательность лежит вне окрестности , что противоречит тому, что .

Достаточность. Пусть    (по Коши). Согласно определению Гейне, возьмем любую последовательность . Для доказательства того, что , возьмем любое 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=18 BORDER=0>. Тогда из определения предела по Коши найдется соответствующее 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=19 BORDER=0>. Для 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=19 BORDER=0>, в силу сходимости , найдется номер такой, что для всех N:\ \vert x_n-x_0\vert<\delta$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=152 HEIGHT=21 BORDER=0>, но тогда по определению Коши , что доказывает, что , т. е.    (по Гейне).

Пример 5.2.3. Докажем, что по определению Коши Возьмем произвольное 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=18 BORDER=0>, рассмотрим левую часть основного неравенства в определении Коши поэтому Искомое . Здесь и Действительно, пусть для всех выполняется , тогда , поэтому

19.Критерий Коши предела функции в точке.

Говорят, что функция удовлетворяет условию Коши в точке , если она определена в , быть может, кроме самой точки , и выполнено0\quad \exists\ \delta(\varepsilon )>0... ...'}-x_0\vert<\delta\\ 0<\vert x^{''}-x_0\vert<\delta$} \right]: \end{displaymath}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=427 HEIGHT=46 BORDER=0>:Теорема. Для того чтобы существовал конечный предел необходимо и достаточно, чтобы в точке выполнялось условие Коши для функции

Доказательство.
Необходимость. Легко следует из определения предела по Коши( 0\ \exists\ \delta(\varepsilon ) > 0\... ..._0\vert<\delta:\ \vert f(x)-A\vert<\varepsilon . \eqno(5.2.1) \end{displaymath}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=150 HEIGHT=18 BORDER=0>

0\ \exists\ \delta(\varepsilon ) > 0\... ..._0\vert<\delta:\ \vert f(x)-A\vert<\varepsilon . \eqno(5.2.1) \end{displaymath}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=274 HEIGHT=18 BORDER=0>). Действительно, возьмем любое 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=19 BORDER=0>, тогда для найдется 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=59 HEIGHT=19 BORDER=0>.Возьмем любые , тогда

Достаточность. Пусть выполняется условие Коши (см. выше). Докажем, что существует    (по Гейне). Пусть дана любая последовательность Возьмем любое 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=19 BORDER=0>, по нему найдем 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=59 HEIGHT=14 BORDER=0>из условия Коши, тогда существует номер такой, что для всех N,\ 0<\vert x_n-x_0\vert<\delta(\varepsilon ),\ 0<\vert x_m-x_0\vert<\delta(\varepsilon )$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=365 HEIGHT=23 BORDER=0>, а следовательно, снова по условию Коши, выполняется неравенство . Отсюда фундаментальна (см. критерий Коши сходимости последовательностей), значит, последовательность сходится к некоторому числу .Остается доказать, что и для другой последовательности . Действительно, по изложенному выше существуетпри . Рассмотрев третью последовательностьбудем иметь . Следовательно,

20.Непрерывность сложной функции.

Теорема. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , где , то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство. Пусть . Тогда в силу непрерывности в точке функции последовательность сходится к . Но тогда, в силу непрерывности уже функции в точке ,последовательностьсходится к . Итак, из определения Гейне следует, что функция непрерывна в точке .

Замечание. Если считать, что существуют пределы при и при , то в теореме доказано, что

Это равенство можно понимать как правило замены переменной при нахождении пределов.

Пример.

21. Теоремы Вейерштрасса для непрерывных функций на отрезке.

Функция непрерывна на отрезке, если она непрерывна во всех точках интервала и непрерывна справа в точке и слева в точке .

Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем. (Необходимо доказать, что существует 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=49 HEIGHT=17 BORDER=0>, что для всех выполняется .).

Доказательство (от противного). Пусть для всякого 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=49 HEIGHT=18 BORDER=0>найдется такая точка , что M$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=92 HEIGHT=23 BORDER=0>: для найдется 1$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=158 HEIGHT=21 BORDER=0>; для найдется 2$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=158 HEIGHT=21 BORDER=0>и т. д..…для найдетсяn$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=162 HEIGHT=23 BORDER=0>и т. д. Итак, построена последовательность такая, что для всех: n$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=81 HEIGHT=18 BORDER=0>. Ясно, что . Последовательность, т. е. ограничена. Следовательно, по теореме Больцано – Вейерштрасса (!!!!), существует подпоследовательность такая, что . Так как функция непрерывна на отрезке , она непрерывна и в точке . Итак, имеем, но по построению , что является противоречием.
Пример. На интервале теорема, вообще говоря, неверна. Функция непрерывна на , но не ограничена на нем.
Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывная функция на отрезке достигает в некоторых точках отрезка своих точных верхней и нижней границ, т.е. существуют такие,что

Доказательство. Докажем существование точки максимума функции , т.е. точки , в которой значение функции равно точной верхней грани множества значений функции . По предыдущей теореме (первая теорема Вейерштрасса) непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке, следовательно, ограничена сверху, например, числом , т. е. для всех . Тогда существует точная верхняя граница множества значений функции на отрезке , т.е. такое число , что 1) для всех ;

2) для любого 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=19 BORDER=0>существует точка . Возьмем последовательные значения Тогда построена последовательность . Эта последовательность ограничена. Следовательно, по теореме Больцано – Вейерштрасса (!!!!) из нее можно выделить подпоследовательность такую, что . Функция непрерывна в точке .

Следовательно, , но, с другой стороны, для всех выполняется . В силу свойства (Если для всех n и ,то )  сходящихся последовательностей заключаем, что . Итак, .

Замечание 6.2.1. Если функция разрывна, то теорема (вторая теорема Вейерштрасса), вообще говоря, неверна. Например, , (см. рис.). Значение, равное , функцией не достигается.

22. Теорема Больцано-Коши о нулях функции.

Теорема 6.2.3. Если функция непрерывна на отрезке , ее значения на концах отрезка и не равны нулю и имеют разные знаки, то на интервале имеется по крайней мере одна точка такая, что .

Доказательство (метод Больцано деления отрезка пополам). Пусть (см. рис.).

Обозначим отрезок . Разделим его пополам. Если в середине отрезка функция равна нулю, то все доказано. Если нет, то обозначим за ту из половин отрезка , на концах которой функция имеет разные знаки: . Разделим отрезок пополам. Если в середине отрезка функция равна нулю, то все доказано. Если нет, то обозначим за ту из половин отрезка , на концах которой функция имеет разные знаки: . Рассуждая таким образом, мы либо на каком-то шаге получим точку, в которой функция обращается в нуль, и все доказано, либо построим систему вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, и для всех выполняются неравенства . Следовательно, по теореме Кантора (Пусть задана система вложенных отрезков на , т. е. таких, что и длины отрезков при . Тогда существует, и притом единственная, точка, одновременно принадлежащая всем отрезкам .) существует точка , принадлежащая всем отрезкам . Поэтому и . Тогда, с одной стороны, с другой стороны, в силу непрерывности функции в точке , Следовательно, .

25. Теорема о существовании обратной функции.

Пусть дана функция . Она отображает множество на множество , т. е. . Это означает, что для любого множество . Обратное соответствие определено на любом элементе , однако обратное соответствие может не быть функцией, т. е. однозначным соответствием. Выясним некоторые достаточные условия существования обратной функции.

Функция называется строго возрастающей на множестве , если для всех и . Аналогично определяется строго убывающаяфункция. Строго убывающие и строго возрастающие функции называются строго монотонными.

Теорема. Если функция и строго монотонная на множестве , то обратное соответствие однозначное, т. е. будет обратной функцией, и тоже строго монотонное.

Доказательство. Положим, для определенности, что функция строго монотонно возрастает на . Возьмем любое . Так как по условию теоремы прямая функция отображает на , то полный прообраз элемента не пуст, т. е. . Если предположить, что состоит более чем из одного элемента, то получим противоречие. Действительно, пусть . Тогда, если , то по условию строгого монотонного возрастания функции справедливо неравенство , но это противоречит тому, что . Если x_2$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=56 HEIGHT=15 BORDER=0>, получим аналогичное противоречие. Следовательно, состоит только из одного элемента, и поэтому соответствие есть обратная функция. Функция -- строго монотонно возрастающая на Действительно, пусть и , , тогда если , то , а у нас ; если x_2$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=56 HEIGHT=15 BORDER=0>, то f(x_2) =y_2$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=172 HEIGHT=19 BORDER=0>, а у нас . Следовательно, , т. е. функция строго монотонно возрастает на .

26. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.

Теорема. Пусть функция определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке . Тогда , и обратная функция определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке .

Доказательство. Докажем сначала, что .Пусть . Если или , то . Если , то по теореме (Если функция непрерывна на отрезке , причем , и -- произвольное число такое, что , то на интервале найдется по крайней мере одна точка , в которой (т. е. непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка).) найдется такая, что , т. е. . Пусть , тогда найдется такая, что . Следовательно, в силу строгого возрастания функции на отрезке имеем: . Таким образом, . Итак,и строго возрастает, следовательно, по теореме (Если функция и строго монотонная на множестве , то обратное соответствие однозначное, т. е. будет обратной функцией, и тоже строго монотонное.) существует обратная функция , и она строго возрастает на . Докажем теперь непрерывность функции на отрезке . Рассмотрим любое и любую последовательность , сходящуюся к . Обозначим . Надо доказать, что . Предположим противное. Тогда из условия следует, что существует ее подпоследовательность и . Из непрерывности функции в точке следует сходимость к . Но , а это дает противоречие.

Незначительно изменяя приведенные выше рассуждения, можно доказать следующий аналог предыдущей теоремы.

Теорема. Пусть функция непрерывна и строго монотонно возрастает на интервале и . Тогда образ интервала есть интервал , и обратная функция существует, непрерывна и строго монотонно возрастает на интервале . Теорема справедлива на .

Пример. Известно, что функция строго монотонна и непрерывна на отрезке . Тогда по теореме(1) существует обратная к ней функция на отрезке , и она непрерывна и строго монотонно возрастает; это известная функция .

Пример. . Эта функция определена, непрерывна и строго возрастает на луче . По теореме(2) для нее существует обратная функция и она непрерывна и строго возрастает.

29. Непрерывность дифференцируемой функции.

Функция  называется непрерывной в точке , если существует предел функции  при , и он равен ее значению в точке , т. е.  Можно записать развернутое определение непрерывности функции в точке, если воспользоваться определением предела функции по Коши или Гейне. Функция  называется непрерывной в точке  по Коши, если она определена в  и для любого 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=16 BORDER=0>существует 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=18 BORDER=0> такое, что для всех и  выполняется неравенство .  Функция  называется непрерывной в точке  по Гейне, если она определена в  и для любой последовательности  такой, что, выполняется .

Теорема. Если функция  имеет производную в точке  то она непрерывна в этой точке.