Матан(Альтернативная версия). 3. Единственность предела сходящейся последовательности Последовательность называется сходящейся
 Скачать 1.19 Mb.
|
|
Доказательство. Из существования следует, что разность есть бесконечно малая функция при . Отсюда и, следовательно, приращение функцииесть бесконечно малая функция при . Отсюда т.е. , что означает непрерывность функции в точке . Пример. Функция непрерывна в точке , но производная в точке не существует, так как не существует предел . Из непрерывности в данной точке не следует дифференцируемость в этой точке 30. Производная и дифференцируемость функции в точке. Производная: Важной характеристикой движения материальной точки является ее мгновенная скорость. Допустим, материальная точка движется по закону по прямой, т. е. находится в свободном падении под действием постоянной силы тяжести. Фиксируя произвольный момент времени и какое угодно его приращение 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=50 HEIGHT=16 BORDER=0>, получим среднюю скорость на отрезке времени Для нашего закона движенияСредняя скорость непостоянна, она зависит от момента времени и от приращения времени . Мгновенной скоростью (или просто скоростью) движущейся точки называется предел, к которому стремится средняя скорость при стремлении к нулю приращения времени, т. е.Итак, при нахождении скорости изменения какой-то переменной величины в точке нам нужно совершить предельный переход Число , если такой предел существует, называется производной функциив точке . Задача о проведении касательной к графику функции в точке тоже приводит к необходимости совершить подобного рода предельный переход. Рассмотрим квадратичную функцию и ее график. Проведем касательную к этой кривой в точке . Касательнойк кривой в точке называется предельное положение секущей (если оно существует) при стремлении точки вдоль кривой к точке (см. рис.). Придадим абсциссе приращение , получим соответствующее приращение функции и тангенс угла наклона секущей : В нашем случае. Предельное положение секущей существует при , и тангенс угла наклона ее есть Дифференцируемость: Рассмотрим приращение функции в точке Поведение этого приращения, как функции приращения аргумента при фиксированном , показывает, существует ли производная в этой точке у функции . В случае существования производной приращение может быть записано в виде (т.к. Если функцияимеет производную в точкето она непрерывна в этой точке) Если же приращение функции в точке может быть записано в виде то функция называется дифференцируемой в точке . Докажем, что если функция имеет производную в точке , то она дифференцируема в ней. Теорема. Функция имеет производную в точке тогда и только тогда, когда она дифференцируема в этой точке. Доказательство. Необходимость доказана выше. Достаточность. Рассмотрим . По определению имеемОтсюда следует, что при наличии дифференцируемости функции в точке главную роль в приращении играет линейная часть . Она называется дифференциалом функции в точке и обозначаетсяЗдесь Замечание. Если функция задана в виде , то и приращение ее, и дифференциал можно записать так: Пример. 31. Дифференцируемость функции в точке: правила дифференцирования, дифференцируемость сложной функции. Свойства производной. Пусть функции и имеют производные в точке . Тогда существуют производные в левых частях следующих равенств и имеют место соотношения:1)2) 3) . Докажем, например,свойство 2.Рассмотрим Производные элементарных функций 1) 2) ; 3) ; 4) . Доказательство Дифференциал функции в точке обладает важными свойствами. Пусть функции и дифференцируемы в точке , тогда имеют место равенства Доказательства этих свойств легко следуют из определения и свойств производных. Пример. Производная сложной функции Теперь можно установить важное в практических приложениях правило, позволяющее вычислить производную сложной функции, если известны производные составляющих ее функций. Теорема. Пусть задана сложная функция; функцияимеет производную в точке, а функцияимеет производную в точке Тогда функцияимеет производную в точкеи Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке , то где при . Если положить , то функция непрерывна в точке . Придадим переменной в точке малое приращение ; оно влечет приращение зависимой переменной :. Итак,Разделив на , получим Так как существует , то функция непрерывна в точке и, следовательно, при (Если функцияимеет производную в точкето она непрерывна в этой точке.), и так как , то функция непрерывна в точке . Отсюда сложная функция, как суперпозиция непрерывных функций , непрерывна в точке . Теперь, переходя к пределу при , получим Пример. Тогда Замечание. Из теоремы следует инвариантность формы первого дифференциала. Если задана функция от функции то дифференциал зависимой переменной равен произведению производной от нее по одной из переменных или на дифференциал по этой переменной, причем неважно, зависимая эта переменная или нет. Действительно, Пример. Найдем дифференциал функции : 33. Теоремы о среднем: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Теорема (Ферма). Если функция определена на интервале , в точке принимает наибольшее значение и производная существует, то Доказательство. По условию теоремы для всех выполняется неравенство . Тогда (см. рис.) (1)\xi$,\quad то} \quad \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\leq0. \eqno(7.6.2) \end{displaymath}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=188 HEIGHT=44 BORDER=0>(2). Так как существует производная то существуют и односторонние производные, и они равны производной . Поэтому из (1) следует, а из (2) следует. Отсюда имеем Теорема (Ролля). Пусть функция:непрерывна на отрезкеимеет в каждой точке интервалапроизводную;имеет на концах отрезка равные значения:.Тогда существует точкатакая, что. Доказательство. По второй теореме Вейерштрасса (Непрерывная функция на отрезке достигает в некоторых точках отрезка своих точных верхней и нижней границ, т. е. существуют такие, что ) непрерывная функция на отрезке принимает наибольшее и наименьшее значения в некоторых точках отрезка (см. рис.). ПустьЕсли , то , поэтому на .Если , т. е. , то из условия следует, что одно из значений, или , функцией не принимается на концах отрезка , а принимается внутри интервала . Пусть, для определенности, значение принимается внутри интервала , т. е. существует точка такая, что Так как производная функции существует в точке , то по теореме Ферма (см. выше) . Теорема (Лагранжа). Пусть функциянепрерывна на отрезкеи имеет производную в каждой точке интервала. Тогда существует точкатакая, что(см. рис.). Доказательство. Рассмотрим функцию , где параметр выберем так, чтобы , т. е.. Отсюда Для функции выполнены все условия теоремы Ролля (см. выще):1) непрерывна на ; 2)существует в ; 3) .Тогда по теореме Ролля существует такая, что , т. е. . Следовательно, Замечание. При , т. е. , получаем формулу конечных приращений Лагранжаили Следствие. Пусть функция : непрерывна на дифференцируема на существует , конечный или нет. Тогда существует правая производная , конечная или нет, и . Напомним, что , если функция непрерывна в точке справа и существует Доказательство. Пусть . Возьмем любое , тогда по теореме Лагранжа (см. выше), примененной к отрезку , существует точка такая, что выполняется равенство .Точка будет зависеть от , т. е. выбирается какое-то одно значение в . Итак, . Отсюда следует, что при . Следовательно, определена сложная функция и По правилу вычисления предела сложной функции имеем Следовательно, Пример. , вычислим , , : Теорема (Коши). Пусть функциии:непрерывны на отрезке дифференцируемы на интервалепроизводнаяво всех точках интервала.Тогда существует такая точка, что имеет место Доказательство. , иначе по теореме Ролля (см. выше) для функции существует точка такая, что . Рассмотрим функцию. Параметр подберем так, чтобы : следовательно,Итак, функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, поэтому существует точка такая, что . Отсюда и 35. Первое правило Лопиталя. Теорема (Лопиталя). Пусть функциии:дифференцируемы в выколотой окрестноститочкидля всехсуществует предел, конечный или бесконечный,Тогда существует и предели имеет место равенство Доказательство проведем для случая Функции и непрерывны на некотором интервале как дифференцируемые на нем функции. Доопределим функции и в точке : . Таким образом, они становятся непрерывными на отрезке . Возьмем любое , тогда на отрезке функции и удовлетворяют условиям теоремы Коши о среднем значении ( Пусть функции и : 1) непрерывны на отрезке 2) дифференцируемы на интервале 3) производная во всех точках интервала . Тогда существует такая точка , что имеет место ), поэтому существует точкатакая, что Заметим, что , иначе по теореме Ролля в некоторой точке . Ясно, что и здесь при . Поэтому, по правилу вычисления предела сложной функции, имеем Пример 1) 2)3) 36. Теорема Тейлора. Формула Тейлора для многочлена. Пусть дан некоторый многочлен -й степени (с действительными коэффициентами) . Зададим произвольное и проведем преобразования, заменив на . Получим Собрав подобные члены при одинаковых степенях, находим Это есть разложение многочлена по степеням разности . Дифференцируя его по , получим Итак, вычислены коэффициенты Следовательно, многочлен можно представить в видеЭто есть формула Тейлора для многочлена в окрестности точки . -- многочлен Тейлора степени от функции . Если степень многочлена Тейлора для есть , то Пример. Разложим многочлен по степеням , т. е. в окрестности точки :или по-другому: Тогда многочлен Тейлора степени для есть Замечание. В этом примере Формула Тейлора для произвольной функции. Если у функциисуществует, но функция не есть многочлен, то для нее можно записать многочлен Тейлораи остаточный член , который,вообще говоря,не нуль.Равенствов некоторой окрестности точки называется формулой Тейлора функциив окрестности точки; -- многочлен Тейлора степени функции , -- -й остаточный член формулы Тейлора. Теорема (Тейлора). Пусть функцияимеет-ю производную в выколотой окрестности точкии в самой точкеимеет непрерывную-ю производную.Тогда справедлива формула Тейлорагде ее-й остаточный членможет быть записан в форме Лагранжа:и в форме Коши:Доказательство проведем для x_0.$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=52 HEIGHT=14 BORDER=0>Фиксируем (см. рис.). Запишем формулу Тейлора функции : в которой -- остаточный член. Пусть -- произвольное натуральное число. Представим остаточный член в видегде - неизвестно. Ясно, что зависит от Введем новую переменную и рассмотрим функциюФункция обладает следующими свойствами:1) определена и непрерывна на отрезке , поскольку таковы функции на отрезке ;2) имеет производную на интервале , так как на нем имеет производную -го порядка функция ; 3)так как имеет место формула Тейлора для функции . Кроме того, .Следовательно, функция удовлетворяет на отрезке условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая промежуточная точка , между точками и , что в ней .Выпишем производную после всех сокращений и упрощений . Так как , то получим уравнение Отсюда найдем Следовательно, с учетом того, что остаточный член запишется в виде Получен остаточный член в общей формеПри получаем остаточный член в форме Лагранжа, а при -- остаточный член в форме Коши. Замечание. 1. Формулу Тейлора можно записать в виде 2. Формулу Тейлора функции в окрестности точки : иногда называют формулой Тейлора - Маклорена функции . Остаточные члены 3. Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную -го порядка, непрерывную в точке (следовательно, производная -го порядка непрерывна в окрестности точки ). Тогда справедлива формула Тейлора функции в окрестности точки с остаточным членом в форме Лагранжа:Таким образом, - остаточный член в форме Пеано. Пример.'>Формулы Тейлора основных элементарных функций 1. , , , .Получим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:и в форме Пеано: Пример. Вычислим число и оценим погрешность вычисления: Замечание. С помощью формулы Тейлора можно вычислять довольно точно значения функций и оценивать величину ошибки, если остаточный член берется в форме Лагранжа. Используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, такую оценку сделать невозможно (из нее следует лишь, что при и при фиксированном ). 2. и т. д., Следовательно, получим формулу Тейлора - Маклорена:для любых фиксированных . Но особенно быстро остаточный член стремится к при . В частном случае Пример.Необходимо рассмотреть Здесь понадобится формула Тейлора Следовательно, 37. Достаточные условия экстремума. |