Шпоргалки по сапромату. Шпоры по сопромату. Все определения, формулы и теория. 3. Интеграл Мора. Определение перемещений с его помощью
 Скачать 67 Kb.
|
|
1. Дифференциальное уравнение оси изогнутого бруса. Интегрирование дифференциального уравнения при наличии одного или нескольких участков загружения балки. 2. Перемещения в балках при изгибе. Порядок расчета методом начальных параметров. 3. Интеграл Мора. Определение перемещений с его помощью. 4. Определение перемещений в балках по формулам Верещагина и Симпсона. 5. Расчет статически неопределимых балок при изгибе. Раскрытие статической неопределимости. 6. Балки на упругом основании. Дифференциальное уравнение изгиба балки, лежащей на Винклеровом основании. 7. Порядок расчета коротких балок на упругом основании методом начальных параметров (функции Крылова) 8. Косой изгиб. Определение напряжений, условие прочности. 9. Определение величины и направления прогиба при косом изгибе. 10. Внецентренное сжатие. Определение напряжений. Понятие нулевой линии. Условие прочности. 11. Понятие о ядре сечения. Порядок его построения. 12. Изгиб с кручением стрежней круглого поперечного сечения. Определение расчетного напряжения и проверка прочности. 13. Расчет пространственных ломаных брусьев. Напряжение в поперечных сечениях. Оценка прочности. 14. Устойчивость сжатых стержней. Формула Эйлера для определения критических сил. Границы ее применимости. 15. Устойчивость сжатых стержней. определение критической силы в зависимости от гибкости стержня. Формула Ясинского. Диаграмма ?кр-?. 16. Условие устойчивости. Определение размеров поперечного сечения сжатого стержня. 17. Продольно-поперечный изгиб. Определение внутренних силовых факторов, напряжений и перемещений. 18. Динамическое действие нагрузок. Расчет каната при подъеме груза. 19. Динамическое действие нагрузок. Расчеты на удар. 20. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Определений круговой частоты и периода свободных колебаний. 21. Вынужденные колебания. Резонанс. Расчет с помощью динамического коэффициента. 22. Нормальные напряжения при чистом изгибе. Условие прочности. Три типа задач. 23. Касательные напряжения при изгибе. Условие прочности по касательным напряжениям. 24. Приборы и алгоритм опытного определения напряжений, деформацией и перемещений в балках при изгибе. 1. Дифференциальное уравнение оси изогнутого бруса. Интегрирование дифференциального уравнения при наличии одного или нескольких участков загружения балки. Уравнение изогнутого бруса: d^2V/dz=M/EI Правила интегрирования: - начало координат всегда брать в одной точке (крайне левой) и при рассмотрении моментов рассматривать левую часть балки; - продолжать распределенную нагрузку до конца балки и при необходимости прикладывать компенсирующую нагрузку; - интегрирование производить не раскрывая скобок; - момент брать с множителем z (расстояние от начала координат до точки приложения моментов). Интегрирование для одного участка: φ=dV/dz=$M*dz/EI+C; V=$$M*dz/EI+C*z+D; M=-F*(l-z); φ=$-F(l-z)*dz/EI+C=-F/EI*(l*z-z^2/2)+C;φmax=-F*l^2/2EI; Vmax=-F*l^3/3EI При интегрировании бруса с несколькими участками нагружения достаточно записать уравнения момента для последнего участка, поставив ограничители по участкам: φ=С+1/EI* M*(z-a)^1/1!+F*(z-b)^2/2!+q*(z-c)^3/3! V=D-C*z+1/EI* M*(z-a)^2/2!+F*(z-b)^3/3!+q*(z-c)^4/4! С и D находятся из граничных условий. 2. Перемещения в балках при изгибе. Порядок расчета методом начальных параметров. Одной из задач сопротивления материалов является оценка жесткости конструкции, т.е. степени ее искажения под действием нагрузки. Если балка под нагрузкой сильно прогибается, то при ее эксплуатации появятся затруднения. Метод начальных параметров - определить реакции (кроме заделок) - записать два уравнения методом начальных параметров для свой балки, соблядая правила: а) начало координат всегда брать в одной точке (крайне левой) и при рассмотрении моментов рассматривать левую часть балки, б) продолжать распределенную нагрузку до конца балки и при необходимости прикладывать компенсирующую нагрузку. - определить начальные параметры из граничных условий - определить перемещение в заданной точке путем подстановки в уравнение вместо z расстояние от начала координат до заданной точки. Учитывать только тот участок, которому принадлежит данная точка. E*I*φ=E*I*φo+M*(z-a)^1/1!+F*(z-b)^2/2!+q*(z-c)^3/3! E*I*V=E*I*Vo+E*I*φo*z+M*(z-a)^2/2!+F*(z-b)^3/3!+q*(z-c)^4/4! 3. Интеграл Мора. Определение перемещений с его помощью. Интеграл Мора: V =сумм$M(z)*M’(z)*dz/EI=V(φ), где M(z) – аналитическое выражение изгибающего момента от всей внешней нагрузки, M’(z) - аналитическое выражение изгибающего момента от единичного фактора в том же сечении z. пример M(2)=-q*z^2/2, M’1=-F’*z=-z, Vmax=$q*z^3*dz/2*E*I=(q/2*E*I)*$z^3*dz=q*l^4/8*E*I 4. Определение перемещений в балках по формулам Верещагина и Симпсона. Формула Верещагина: V(φ)=суммω*Mc/EI, где ω – площадь грузовой эпюры, Mc – ордината единичной эпюры, взятая под центром тяжести грузовой эпюры. Формула Симпсона-Карнаухова: V(φ)=сумм(Li/6*E*I)*(Mf*M’н+4*Mf*M’ф+ Mf*M’к), где Li – длина участка, Mf и M’ – значения моментов с грузовой и единичной эпюр, взятые в начале, середине и конце участка. 5. Расчет статически неопределимых балок при изгибе. Раскрытие статической неопределимости. Статическая неопределимость: n=R-Ш-3, где R – число всех реакций, Ш – число простых шарниров, 3 уравнения статики. Мы решаем один раз статическую неопределимую балку: - определить n; - выбрать основную систему, путем отбрасывания лишней связи; - зарисовать эквивалентную систему: к основной системе приложить всю внешню нагрузку и вместо отброшенной связи приложить неизвестную реакцию; - разложить эквивалентную систему на две: а)балка от всей внешней нагрузки, б)балка от неизвестной реакции; - в балке а любым методом найти перемещение Vf - перемещение от всей внешней нагрузки по направлению к отброшенной связи; - в балке б любым методом найти перемещение Vr - перемещение от неизвестной реакции в этой же точке; - из условия Vf+Vr=0 найти неизвестную реакцию; - найти остальные реакции и построить эпюры Q и M. -6. Балки на упругом основании. Дифференциальное уравнение изгиба балки, лежащей на Винклеровом основании. 7. Порядок расчета коротких балок на упругом основании методом начальных параметров (функции Крылова). - определить параметр β=4^√k/4EI, где k=k’*b; - составить 4 уравнения методом начальных параметров, учитывая известные начальные параметры; M=Mo*I1(z)+Qo*I2(z)/β+(qo-k*Vo)*I3(z)/β^2+(qo’-k*Vo’)*I4(z)/β^3 Q=-4*β*Mo*I4(z)+Qo*I1(z)+(qo-k*Vo)*I2(z)/β+(qo’-k*Vo’)*I3(z)/β^2 p=q-k*V=-4*β^2*Mo*I3(z)-4*β*Qo*I4(z)+(qo-k*Vo)*I1(z)+(qo’-k*Vo’)*I2(z)/β p’=q’-k*V’=-4*β^3*Mo*I2(z)-4*β^2*Qo*I3(z)-4*β*(qo-k*Vo)*I4(z)+(qo’-k*Vo’)*I1(z) Доп-е нагружения: Mn=M1+суммΔMi*I1(z-a)+суммΔQi*I2(z-b)/β+суммΔq*I3(z-c)/β^2+суммΔq’*I4(z-d)/β^3 Qn=Q1-4*β*суммΔMi*I4(z-a)+суммΔQi*I1(z-b)+суммΔq*I2(z-c)/β+суммΔq’*I3(z-d)/β^2 pn=qn-k*V1-4*β^2*суммΔMi*I3(z-a)-4*β*суммΔQi*I4(z-b)+ суммΔq*I1(z-c)+ суммΔq’*I2(z-d)/β pn’=qn’-k*Vn’-4*β^3*суммΔMi*I2(z-a)-4*β^2*суммΔQi*I3(z-b)-4*β*суммΔq*I4(z-c)+суммΔq’*I1(z-d) - определить неизвестные начальные параметры; - построить эпюры в табличной форме, разбивая балку на участки в 1 м (L<10 м) или 2 м (L>10 м). 8. Косой изгиб. Определение напряжений, условие прочности. Косой изгиб – такой вид изгиба, при котором суммарный изгибающий момент не совпадает ни с одной из главных осей инерции, т.е. в поперечном сечении возникают 2 изгибающих момента Мх и Му. Определение напряжений: σ=-Мх*y/Ix-My*x/Iy. Условие прочности при косом изгибе: σmax(прям)=|Мх*/Wx|+|My/Wy|<=R, σmax(круг)=√(Mx^2+My^2)/Wно<=R 9. Определение величины и направления прогиба при косом изгибе. Прогиб - перемещение при косом изгибе: f=√(U^2+V^2) V – прогиб по оси y от сил Fy, U – прогиб по оси x от сил Fx. V=Mx*M’, U=My*M’. Направление оценивается углом β: tgβ=U/V. Направление прогиба перпендикулярно нулевой линии и не совпадает с направлением действующих сил. 10. Внецентренное сжатие. Определение напряжений. Понятие нулевой линии. Условие прочности. Внецентренным растяжением (сжатием)называется такой вид нагружения, при котором равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как при обычном растяжении (сжатии), а смещена относительно продольной оси и остается ей параллельной. Определение напряжений: σ=±F/A*(1+Xf*x/iy^2+Yf*y/ix^2). «+» - если сила растягивает, «-» - сила сжимает. Xf, Yf – координаты точки приложения силы; x, y – координаты точки в которой определяется напряжение; ix^2, iy^2 – квадраты радиусов инерции. Нулевая линия – линия в поперечном сечении, напряжение в каждой точке которой равны 0, делит поперечное сечение на две зоны: зону сжатия и зону растяжения. Определяется координатами xo=-iy^2/Xf, yo=-ix^2/Yf. Свойства нулевой линии: а)если точка приложения силы лежит на координатной оси, то нулевая линия будет перпендикулярна этой оси, б) если эта точка перемещается по лучу то н.л. вслед за ней на эти же расстояния, в) если эта точка перемещается по прямой, пересекающей две оси, то н.л. поворачивается вокруг одной точки. Силовая линия – пересечение плоскости действия суммарно изгибающего момента с поперечным сечением. Наиболее удаленные точки от нулевой линии являются опасными, в них возникают самые большие напряжения. В них же оценивается прочность. Условие прочности: хрупкий материал σmin<=Rсж; σmax<=Rраст; пластичный Rсж=Rраст. 11. Понятие о ядре сечения. Порядок его построения. Ядром сечения называют часть плоскости поперечного сечения, расположенную в окрестности центра тяжести, причем в любой точке поперечного сечения возникают напряжения одного знака. Чтобы в поперечном сечении возникали напряжения одного знака, нулевая линия должна располагаться либо вне поперечного сечения, либо быть касательной к поперечному сечению, что используется при определении границ ядра сечения. Порядок построения: - принимаем крайние стороны за нулевые линии; - определяем точки xo и yo пересечения этих нулевых линий с осями координат; - по формулам Xf=-iy^2/xo; Yf=-ix^2/yo находим координаты вершин ядра; - соединяя полученные вершины получаем область ядра сечения. 12. Изгиб с кручением стрежней круглого поперечного сечения. Определение расчетного напряжения и проверка прочности. σ=√(Mx^2+My^2)/Wно; τ=Mкр/Wρ; По четвертой энергетической теории: σmax^IV=√(σ^2+3*τ^2) 13. Расчет пространственных ломаных брусьев. Напряжение в поперечных сечениях. Оценка прочности. При построении эпюр используется, как и в других случаях, метод усечений. При наличии заделки удобно обходить раму со свободного конца. Особенности построения эпюр для пространственных рам: - Используется скользящая система координат, при этом ось Z направлена всегда вдоль стержней Оси х, у, z связаны между собой жестко и при повороте оси Z поворачиваются вместе с ней. - Суммы проекций внешних сил, действующих на оставленную часть рамы, на продольные оси стержней, равны продольным силам Ni, на поперечные оси - поперечным силам Qi. - Правило знаков для продольной силы N прежнее, знак поперечной силы Q не определяется. Знак изгибающего момента также не определяем, эпюра строится на сжатом волокне. - Эпюры Ni строятся в любой плоскости с любой стороны стержней. Эпюры Q удобно строить в плоскости действия силы, которая вызывает поперечную силу Q. - На взаимно перпендикулярных стержнях, лежащих в одной плоскости, при наличии нагрузки, перпендикулярной плоскости расположения стержней, изгибающие моменты переходят в крутящие и наоборот. - Внешние силы нагружают все стержни, которые соединяют точку приложения силы с заделкой. Плоский изгиб (эп.Mизг): σ=Mmax/Wно; Сжатие/растяжение (эп.N): σ=N/A; Косой изгиб (эп.Mизг в 2 плоск-х): σ=√(Mx^2+My^2)/Wно; Кручение (эп.Mкр): τ=Mкр/Wρ. 14. Устойчивость сжатых стержней. Формула Эйлера для определения критических сил. Границы ее применимости. Если малые возмущения вызовут малые отклонения системы от расчетного состояния, то такое состояние называется устойчивым, если большие – не устойчивым. Продольный изгиб V, изгиб сжатого стержня, опасен тем, что при нем происходит очень сильное нарастание прогибов при малом нарастании сжимающей силы => быстрые нарастания напряжений от изгиба. Критическая сила – наименьшее значение сжимающей силы при которой стержень теряет устойчивость. Формула Эйлера: Fкр=п^2*E*I/μ*l^2. μ – коэффициент приведенной длины (два шарнира μ=1, шарнир и заделка μ=0,7, две заделки μ=0,5, одна заделка μ=2). Предел применимости формулы Эйлера: λ>λпред, гибкость стержня λ=√(п^2*E/σкр), λпред=√(п^2*E/σпц), (λпред(сталь)=100). 15. Устойчивость сжатых стержней. Определение критической силы в зависимости от гибкости стержня. Формула Ясинского. Диаграмма σкр-λ. Если малые возмущения вызовут малые отклонения системы от расчетного состояния, то такое состояние называется устойчивым, если большие – не устойчивым. Продольный изгиб V, изгиб сжатого стержня, опасен тем, что при нем происходит очень сильное нарастание прогибов при малом нарастании сжимающей силы => быстрые нарастания напряжений от изгиба. Критическая сила – наименьшее значение сжимающей силы при которой стержень теряет устойчивость. Гибкость стержня λ=√(п^2*E/σкр), λпред=√(п^2*E/σпц). Fкр=A*(a-b*λ)где a и b – из таблиц. Формула Ясинского: σкр=a-b*λ. Предел применимости формулы Ясинского: λ<λпред Диаграмма σкр-λ (λ<30,σпц «-»;λ=30-100 «\» - прямая Ясинского, λ>100 гипербола Эйлера. 16. Условие устойчивости. Определение размеров поперечного сечения сжатого стержня. σрасч=N/φ*A<=R, где φ – коэффициент продольного изгиба (0..1), который зависит от материала и от гибкости. Определение размеров поперечного сечения сжатого стержня: - определяем геометрические характеристики: A, Imin=Ix, imin=√(imin/A), λ=μ*l/imin; - подбор размеров: A=F/φ*R. Пусть φ1=.. -> A=.. -> d=.. -> λ=.. -> φ=..; - по таблице λ и φ должны сойтись до сотых; - при несовпадении φ2=φ1+φ/2 и так далее до совпадения. -17. Продольно-поперечный изгиб. Определение внутренних силовых факторов, напряжений и перемещений. 18. Динамическое действие нагрузок. Расчет каната при подъеме груза. Динамические нагрузки – нагрузки, которые сравнительно быстро меняют свою величину или направление. При расчете необходимо учитывать силы инерции, которые зависят от массы самого сооружения и от массы нагрузки. В инженерных расчетах влияние сил инерции заменяют динамическим коэффициентом, который определяется аналитически для различных нагрузок или экпериментально. μ – динамический коэффициент (Кдин), Sдин – любое усилие, Sдин=μ*Sст. Расчет каната при подъеме груза: G – вес груза, a – ускорение, q – вес одного метра каната. Если груз неподвижен, то в сечении возникает статическое усилие Nст=G+q*z. При подъеме груза нужно применить принцип Даламбера: движущуюся систему рассматривают, как находящуюся в равновесии, если ко всем точкам приложить силы инерции: Fин=m*a=(G+q*z)*a/g. Nдин=G+q*z+(G+q*z)*a/g=Nст*(1+a/g). μ=1+a/g (подъем груза), μ=1-a/g (опускание груза). 19. Динамическое действие нагрузок. Расчеты на удар. Динамические нагрузки – нагрузки, которые сравнительно быстро меняют свою величину или направление. При расчете необходимо учитывать силы инерции, которые зависят от массы самого сооружения и от массы нагрузки. В инженерных расчетах влияние сил инерции заменяют динамическим коэффициентом, который определяется аналитически для различных нагрузок или экпериментально. μ – динамический коэффициент (Кдин), Sдин – любое усилие, Sдин=μ*Sст. Расчет на удар. Удар – взаимодействие движущихся тел в результате их соприкосновения, связанного с резким изменением скорости точек этих тел за малое время. Падение одного тела на другое: μ=1+√(1+2*h/(λст*(1+Go/G))); если не учитывать вес тела Go: μ=1+√(1+2*h/λст)=1+√(1+V^2/g*λст); если высота значительно превышает λст, т.е. 2*h/λст>>1: μ=1+√(2*h/λст); если возникает внезапный удар (высота равна нулю): μ=2. Расчет коэффициента при сжатии: λст=Δl=N*l/E*A; при изгибе λст=V. 20. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Определений круговой частоты и периода свободных колебаний. Если массу m отклонить от положения равновесия и отпустить, то балка вместе с m начнет свободные колебания. Время Т – период за который совершается один цикл колебаний: T=2п/ω. ω – круговая частота свободных колебаний: ω=√(1/m*δ11), где δ11 – прогиб от единичной силы, приложенной в точке прикрепления массы. δ11=M’1*M’1; δ12=M’1*M’2. 21. Вынужденные колебания. Резонанс. Расчет с помощью динамического коэффициента. Если на балку действует сила изменяющаяся во времени, то колебания вынужденные. F(t)=F*sinθ*t, θ (тетта)- частота вынужденных колебаний [1/с]. Явление повышения амплитуды при совпадении частот собственных колебаний и приложенной силы называется резонансом, а само совпадение частот условием резонанса. Динамический коэффициент: μ=1/(1-θ^2/ω^2). σдин=σ*Sст. 22. Нормальные напряжения при чистом изгибе. Условие прочности. Три типа задач. Изгиб – такой вид деформации, при котором в поперечном сечении возникают изгибающие моменты. Если изгибающий момент является единственным силовым фактором, такой изгиб называется чистым. Чистый изгиб возникает в средней части балки, где момент по длине этого участка не меняет свою величину, а Q=0. Нейтральная ось при чистом изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения и совпадает с осью x. Нормальные напряжения: σ=Mx*y/Ix. Условие прочности при изгибе: σmax=Mmax/Wx<=R. Три типа задач: а)подбор поперечного сечения Wx>=Mmax/R; б) определение грузоподъемности (нагрузка которую может выдержать балка) Mmax<=Wx*R; в) оценка прочности σmax=Mmax/Wx<=R (подбор сечения). Rдер=20 Мпа, Rст=200 МПа. Wx(круга)=п*W^3/32, Wx(прям)=b*h^2/6. 23. Касательные напряжения при изгибе. Условие прочности по касательным напряжениям. формула Жуковского: τ=(Q*Sx^отс)/(Ix*b), где Q – поперечная сила, Sx^отс=yцт*F – статический момент отсеченной части, Ix – момент инерции всего поперчного сечения, b – ширина поперечного сечения. Наибольшие значения касательных напряжений значительно меньше максимальных значений нормальных напряжений. Поэтому, при l >> h, что имеет место в большинстве случаев, касательные напряжения по сравнению с нормальными пренебрежимо малы и при расчетах на прочность не учитываются. Условие прочности: σ<[σ]. 24. Приборы и алгоритм опытного определения напряжений, деформацией и перемещений в балках при изгибе. а) индикатор часового типа служит для определения линейных перемещений (угловых). Шкала деления 0,01 мм. Один полный круг – 1 мм. ho – показание без нагрузки, h1 – после нагружения, Δ=h1-ho. φ=Δ/r. б) измеритель деформаций ε, σ=E*ε. |