Ряды Фурье. 3. Решение задач по электротехнике

• Название: 3. Решение задач по электротехнике
• Анкор: Ряды Фурье
• Дата: 13.12.2021
• Размер: 0.49 Mb.
• Имя файла: Ряды Фурье.docx
• Тип: Реферат; #301746

СОДЕРЖАНИЕ:

Введение ………………………………………………………………………………….	3
1. Ряды Фурье …………………………………………………...………………………	5
2. Практическое применение рядов Фурье в электротехнике ………………………..	10
3. Решение задач по электротехнике ……………….…………………………………	12
Выводы по второй главе ………………………………………………………………...	18
Заключение ………….…………………………………………………………………...	19
Библиографический список …………………………………………………………….	20
Приложение А …………………………………………………………………………...	21

Введение
Математика является одной из немногих наук, которые широко используются на практике. Любой производственно-технологический процесс не обходится без фундаментальных математических закономерностей. Эффективное применение различных инструментов математического аппарата позволяет конструировать устройства и автоматизированные агрегаты, способные выполнять операции с высоким уровнем точности, выполнять сложные расчеты и вычисления при проектировании зданий и сооружений, производить необходимые вычисления при геодезических исследованиях. Подобная тесная связь, приводит к взаимному обогащению, как самой математики, так и прикладных дисциплин. Зачастую, идеи и  методы,  созданные  для  решения  частных  задач,  принимают  общий  характер  и  требуют  строгого  обоснования.  Те  методы,  которые  выдержали  всесторонние  проверки  и  весьма  длительные  испытания,  в  последствие  становятся  математическими  теориями.  В  дальнейшем эти  теории  используются  при  решении  более  широкого  круга  задач,  нежели  те,  на  основе  которых  они  были  созданы.  Инженерная  практика  в  значительной  мере  ориентирует  и  стимулирует  развитие  математического  аппарата. 

Именно  от  того,  что  элементы  математики  встречаются  на  производстве  практически  на  каждом  шагу,  специалистам  важно  знать  и  блестяще  ориентироваться  в  области  применения  тех  или  иных  инструментов  анализа  и  расчета. 

Тема представляет теоретический и практический интересы, потому что эффективное применение различных инструментов математического аппарата позволяет конструировать устройства и автоматизированные агрегаты, способные выполнять операции и с высоким уровнем точности, выполнять сложные расчёты и вычисления при проектировании зданий и сооружений, производить необходимые вычисления при геодезических исследованиях.

Анализ литературных данных и результаты ранее проведенных исследований позволили выявить проблему исследования: «Какие существуют способы практического применения рядов Фурье в электротехнике и радиоэлектронике?»

Актуальность и недостаточная научная проработанность данной проблемы обусловили тему исследования: «Применение рядов Фурье в электротехнике и радиоэлектронике».

^{Цель исследования:} выявить, теоретически обосновать и экспериментально проверить способы практического применения рядов Фурье в электротехнике и радиоэлектронике.
^{Объект исследования –} ряды Фурье.

^{Предмет исследования –} практическое применение рядов Фурье в электротехнике и радиоэлектронике. ^(п.1.2)

На основании литературы была сформулирована гипотеза: применения рядов Фурье в электротехнике и радиоэлектронике решат массу важных задач.

^{Исходя из цели и предмета исследования, для доказательства гипотезы были поставлены следующие задачи:}

1. 
   Провести анализ литературы. 1п.
   
2. 
   Выявить применение рядов Фурье в технических науках. 2п.
   
3. 
   ^{Провести опытно экспериментальную работу способов практического применения рядов Фурье в электротехнике и радиоэлектронике. п.3-4}
   

<sup>Для достижения цели и решения поставленных задач применен комплекс методов исследования:

– теоретические: изучение и анализ литературы и научно-исследовательских работ по теме исследования,</sup> анализ, сравнение<sup>;

– эмпирические: наблюдения, проведение опытно-экспериментальной работы.</sup>

Глава I. Практическое применение рядов Фурье в электротехнике и электронике
1.Ряды Фурье
Рядом Фурье периодической функции с периодом 2l, определённой на сегменте , где произвольное число, называется ряд

,

где

, ,

.

При этом пишут так:

).

Ряд Фурье функции f(x) не всегда имеет f(x) своей суммой, если даже сходится.

Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье
Терема Дирихле.
Пусть функция f(x) на сегменте имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва 1 рода. Тогда ряд Фурье для этой функции сходится в каждой точке сегмента и сумма S(x) этого ряда:

1) S(x)= f(x) во всех точках непрерывности функции f(x), лежащих внутри сегмента ;

2) , где - точка разрыва 1 рода функции f(x);

3) на концах промежутка, то есть при .
Ряд Фурье функции периода , определённой на сегменте
Если функция f(x)задана на сегменте , то при выполнении на этом сегменте условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде ряда Фурье
,

где



В точках разрыва функции f(x) и в концах интервала сумма ряда Фурье определяется аналогично тому, как это имеет место при разложении в интервале (-l;l).

ФункцияF(x), совпадающая с f(x) в интервале (- и удовлетворяющая для каждого х условию F(x+2 , называется периодическим продолжением функции f(x)на всю ось х.
Неполные ряды Фурье (Случаи упрощения ряда Фурье)
Выражение для ряда Фурье f(x) может быть записано более простым образом, если функция f(x), разлагаемая в ряд Фурье, удовлетворяет в промежутке некотором условиям.

1. 
   Случай чётной функции
   

Если функцияf(x) - чётная (то естьf (-x)= f (x)), то

,

2. 
   Случай нечётной функции
   

Если функция f(x) - нечётная (то есть f (-x)= f (x)), то

,

.
Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде

1. 
   Функция, заданная в интервале (0; , может быть разложена в зависимости от требований либо только в ряд косинусов, либо только в ряд синусов. Для этого она должна быть продолжена в интервале (- либо как чётная, либо как нечётная.
   
2. 
   Функция, заданная в интервале (0; , может быть разложена в ряд Фурье бесконечным числом способов, смотря по тому, как построено её продолжение в интервал (- .
   

Комплексная форма ряда Фурье
1. Если функция f(x) задана на сегменте , где произвольное число, то при выполнении на этом сегменте условий Дирихле указанная функция может быть представлена в комплексной форме в виде суммы ряда Фурье

f(x)= , где .

2. Если функция f(x) задана на сегменте , то при выполнении на этом сегменте условий Дирихле указанная функция может быть представлена в комплексной форме в виде суммы ряда Фурье

f(x)= где .
Такая форма записи тригонометрического ряда удобна своей краткостью.

Разложение в ряд Фурье - это когда в качестве базисных функций используются так называемые синусоидальные и косинусоидальные функции. Что это за функции, можно понять, если взглянуть на движение стрелок часов ( рис.1).



Рисунок 1.
Вот как выглядят косинусоидальные (слева) и синусоидальные (справа) функции разных частот. Частота увеличивается сверху вниз.



Рисунок 2.



Рисунок 3.
На этих рисунках видно, что с потерей своих высокочастотных синусоидальных составляющих объект начинает уширяться и терять четко очерченную форму. Про изображение мы говорим, что оно становится размытым, нечётким. Это явление хорошо знакомо всем, кто потерял остроту зрения и вынужден пользоваться очками. Очки способны в какой-то мере восстановить интенсивность высокочастотных компонент изображений, ослабляемых оптикой глаза людей с частичной потерей остроты зрения. Ухудшение слуха с возрастом тоже, как правило, объясняется тоже ослаблением чувствительности слухового аппарата к высокочастотным составляющим звуков. Степень такого ухудшения измеряется при подборе слуховых аппаратов.

Электротехника — область техники, связанная с получением, распределением, преобразованием и использованием электрической энергии.
Колебания – это движение тела, в ходе которого оно многократно движется по одной и той же траектории и проходит при этом одни и те же точки пространства. Примерами колеблющихся объектов могут служить - маятник часов, струна скрипки или фортепиано, вибрации автомобиля.

Колебания играют важную роль во многих физических явлениях за пределами области механики. Например, напряжение и сила тока в электрических цепях могут колебаться

Тригонометрические ряды Фурье имеют широкое применение в электротехнике и радиотехнике. С их помощью изучают периодические процессы.

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением:

Здесь x – смещение тела от положения равновесия, xm – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ0, поэтому φ0 называют начальной фазой. Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:


2. Применение рядов Фурье при решении задач в электротехнике

Рассмотрим на конкретном примере возможности практического применения разложения в ряд Фурье. На Рис.4 представлен график температуры атмосферы. Этот график отображает среднесуточную температуру, изменяемую в течение одного года, количество данных- 365.
Рисунок 4.
Представим в виде таблицы коэффициенты Фурье, полученные в результате вычислений (Табл. 5). В этой таблице записаны коэффициенты лишь 10-й гармоники, но в действительности они вычисляются для всех гармоник. Обозначим функцию, приближающую функцию f(t) с помощью nпервых гармоник как .



Рисунок 5.

В первую очередь попробуем аппроксимировать этот сигнал постоянной составляющей, т.е. константой В этом приближении функция f(t) будет равна и согласно выражению


Рисунок 6.
примет вид:



На Рис.4.б эта функция представлена графически в виде одной прямой линии, не зависящей от времени t. Кстати обратим внимание на то, что обязательно является действительным числом и отражает постоянную составляющую сигнала, в нашем случае- среднюю температуру в течение года.

На следующем этапе прибавим первую гармонику к функции и получим функцию ( первое приближение функцииf(t)):



Так как период T равен 365 дням, вычислим - угловую частоту основной гармоники:

(рад/день). Ранее в выражении (4б) мы уже представили функцию f(x) с помощью амплитуд коэффициентов Фурье и фаз гармоник :



Поэтому функцию можно выразить как



Следовательно , подставив значения коэффициентов Фурье из Табл.5, получим

.

График функции представлен на Рис.4.в в виде синусоиды, приблизительно отображающей общее изменение температуры в течение одного года.

В спектре амплитуд заключается информация о величине сигнала, а в спектре фаз- информация о положении волны на оси времени. Температура меняется в течение периода, равного одному году, поэтому естественно, что составляющая первой гармоники принимает большие значения. Обратим внимание на то, что форма основной гармоники явно отражает состояние летнего сезона в виде «горы» и зимнего- в виде «долины».

Итак, прибавим к первому приближению слагаемые с гармониками более высоких частот. В ряд Фурье рассматриваемой функции приближения



поставим значения коэффициентов Фурье из Табл.5 и графически изобразим функцию, представленную числом гармоники n (Рис.4). Из графиков становится понятно, что с увеличением числа гармоник прибавляются составляющие высоких частот, и форма сигнала постепенно приближается к исходной форме сигнала температуры. А приближение при n=100 (Рис.4.ж) практически неотличимо от исходной функции.

3. Решение задач

Задача 1: Разложить в ряд фурье сигнала на отрезке .

Решение: , ,



Следовательно, функцию можно представить в ряд Фурье следующим образом:


Заключение: Тема представляет теоретический и практический интересы, потому что эффективное применение различных инструментов математического аппарата в электротехнике позволяет конструировать устройства и автоматизированные агрегаты, способные выполнять операции и с высоким уровнем точности, выполнять сложные расчёты и вычисления.

Список литературы :

1. 
   Атабеков Г.И. А92 Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи: Учебное пособие. 7-е изд., стер. СПб.: Издательство «Лань», 2009. — 592 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература
   
2. 
   Гевелюк И. В. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИХ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ // Научное сообщество студентов XXI столетия. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ: сб. ст. по мат. XXII междунар. студ. науч.-практ. конф. № 7(22). URL: http://sibac.info/archive/technic/7(22).pdf (дата обращения: 16.10.2016)
   
3. 
   Сборник задач по математическому анализу. Том 2. Интегралы. Ряды [Электронный ресурс]/ Л.Д. Кудрявцев [и др.].— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 504 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/12900.— ЭБС «IPRbooks», по паролю