5ИНТТЕРПОЛЯЦИЯ ФУРЬЕ. 5 10. Тригонометрическая интерполяция рядами Фурье
 Скачать 27.22 Kb.
|
|
5.6.10. Тригонометрическая интерполяция рядами Фурье При тригонометрической интерполяции используются тригонометрические полиномы — линейные комбинации тригонометрических функций sin(nx) и cos(nx). Этот вид интерполирования применяется для процессов, которые отражают циклические процессы, связанные с периодическими функциями [52–54]. Известно, что такие функции удобно представлять в виде тригонометрического ряда или его частичной суммы с достаточной степенью точности. Функциональный ряд вида  (5.17)называется тригонометрическим. Его коэффициенты аn и bn — действительные числа, не зависящие от х. Если этот ряд сходится для любого х из промежутка [-?, ?], тогда он определяет периодическую функцию f(x) с периодом Т=2?. Ряд вида (5.17) называется рядом Фурье для интегрируемой на отрезке [-?, ?] функции f(х), если коэффициенты его вычисляются по следующим правилам:  (5.18) (5.19) (5.20)В практических расчетах, как правило, ограничиваются конечным числом первых членов ряда Фурье. В результате получается приближенное аналитическое выражение для функции f(х) в виде тригонометрического полинома N-го порядка  Но соотношения для вычисления коэффициентов Фурье (5.18)–(5.20) пригодны для случая аналитического задания исходной функции. Если функция задана в виде таблицы, то возникает задача приближенного отыскания коэффициентов Фурье по конечному числу имеющихся значений функции. Таким образом, формулируется следующая задача практического, гармонического анализа: аппроксимировать на интервале (0, T) тригонометрический полином N-го порядка функцию у=f(х), для которой известны m ее значений уk=f(хk) при хk=kТ/m, где k=0, 1, 2, …, m-1. Тригонометрический полином для функции, определенной на интервале (0, Т), имеет вид:  (5.21)Коэффициенты аn и bn определяются следующими соотношениями:  (5.22) (5.23)Применяя в соотношениях (5.22)–(5.23) формулу прямоугольников для вычисления интегралов по значениям подынтегральных выражений в точках хk=kT/m, где k=0, 1, 2, …, m-1, имеем  (5.24) (5.25)Таким образом, тригонометрический полином (5.21), коэффициенты аn и bn находятся по формулам (5.24)–(5.25), служит решением поставленной задачи. При этом, коэффициенты (2.44)–(2.45) минимизируют сумму квадратов отклонений  В случае, когда m=2N коэффициенты аn и bn для n=0, 1, 2, …, N определяется соотношениями (5.24)–(5.25), а коэффициент aN определяется соотношением:  Сам же полином QN(x) становится интерполяционным полиномом, так как в этом случае при любом bN выполняется соотношения QN(xk)=yk для всех хk=kТ/m, где k = 0, 1, 2, …, m-1. |