МатАнализОтветы. 7. Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения функций
 Скачать 5.14 Mb.
|
|
44. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие невозрастания дифференцируемой функции. Теорема (необходимое и достаточное словия убывания дифференцируемой функции на промежутке). Пусть функция непрерывна на промежутке I и дифференцируема вовсех его точках, за исключением, может быть конечного их числа. Если производная f’(x) отрицательна всюду где определена и не равна тождественно 0 ни на одном интервале I1 принадлежащем I, то функция убывает на I Из условия монотонности функции следует, что f(x) убывает на І. Пустьдля некоторых точек х1 и х2, x1 точки х𝜖(х1,х2) имеем f(x1)≥f(x)≥(x2). Это означает, что функция постоянна на (х1,х2) , и следовательно, f’(x) тождественно равна 0 на этом интервале, что противоречит условию теоремы. Таким образомf(x1)≠f(x2), а тогда f(x1)>f(x2)и функция возрастает на I. Теорема доказана. 45. Сформулируйте и докажите достаточное условие возрастания  дифференцируемой функции. Из условия монотонности функции следует, что f(x) не убывает наІ. Пусть  |