Высшая математика. Ларионов Д математика контрольная работа 2. Контрольная работа 2 По дисциплине математика Ларионов Дмитрий Дмитриевич
![]()
|
БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В.Г. ШУХОВА КАФЕДРА (Высшая математика) Контрольная работа № 2 По дисциплине: математика Выполнил: Ларионов Дмитрий Дмитриевич Студент 1 курса группы 38ЭТАзд-211 Института заочного образования Проверил: Белгород, 2022 г Найти предел функции: ![]() ![]() 1) ![]() 2) ![]() Имеем отношение логарифма к х, поделенное на синус. Учтем, что ![]() ![]() Видим, что отношение логарифма и х стремится к нулю при больших х. Однако это отношение еще делится на синус. Синус – периодическая функция, которая при аргументе, кратном π, равна нулю, в остальных точках ненулевая. Поэтому в указанных точках (кратных π) в пределе имеется неопределенность вида 0/0, а в остальных точках предел равен нулю. Вследствие этого однозначного значения предела не существует. 3) ![]() ![]() ![]() ![]() 4) ![]() ![]() Найти производную функции: а) ![]() ![]() ![]() ![]() в) ![]() ![]() ![]() ![]() N=6 и M=2. а) ![]() ![]() ![]() ![]() б) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() в) ![]() ![]() Отметим, что если имелось в виду, что нужно найти производную параметрически заданной функции, то у должна быть функцией t, а не х. А так у нас фактически сложная функция, а не параметрически заданная: ![]() ![]() Тогда ![]() Далее: ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() г) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Исследовать функцию и построить графики: а) ![]() ![]() б) ![]() ![]() а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Функция равна нулю в точках х =-6, 1, 2 При х=0 значение функции 12 Функция определена для всех действительных значений x. Функция непрерывна для всех х. Поскольку y(-x)≠y(x), то функция не является четной. Поскольку y(-x) ≠ -y(x), то функция не является нечетной. Функция непериодическая. Поскольку нет точек разрыва – то вертикальных асимптот нет. Выясним, имеет ли функция наклонные (или горизонтальные) асимптоты. Для этого вычислим пределы: ![]() ![]() ![]() ![]() Наклонные асимптоты ![]() ![]() ![]() ![]() поскольку эти пределы бесконечны, наклонных асимптот нет Найдем производную функции: ![]() Найдем корни уравнения ![]() ![]() ![]() ![]() Производная равна нулю в точках x = ![]() ![]() График производной представляет собой параболу с вершиной, направленной вниз. Поэтому: При x ![]() ![]() При x ![]() ![]() При x ![]() ![]() Тогда точка x= ![]() x= ![]() Найдем вторую производную функции: ![]() Вторая производная равна нулю при х=-1. При x ![]() ![]() При x ![]() ![]() Тогда точка х =1 – точка перегиба. График функции: ![]() б) ![]() ![]() ![]() ![]() Функция определена для всех действительных значений x, кроме х=1. Функция непрерывна для всех х ≠ 1, в точке х= 1 имеется разрыв. Поскольку y(-x)≠y(x), то функция не является четной. Поскольку y(-x) = -y(x), то функция является нечетной. Функция непериодическая. Точки пересечения графика с осью ОХ: y=0 => ![]() x=-1, x=2. Точка пересечения графика с осью ОУ: х=0=> ![]() Поскольку в точке х = 1 имеется точка разрыва – имеется вертикальная асимптота. Рассмотрим односторонние пределы: ![]() ![]() Таким образом, имеем вертикальную асимптоту х= 1. Выясним, имеет ли функция наклонные (или горизонтальные) асимптоты. Для этого вычислим пределы: ![]() ![]() ![]() ![]() Наклонные асимптоты ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, в данном случае имеем наклонную асимптоту у=6x. Найдем производную функции: ![]() Производная, как видим, нигде не равна нулю, и не существует в точке: x =1 При x ![]() ![]() При x ![]() ![]() Тогда точек экстремума нет Найдем вторую производную функции: ![]() Вторая производная не равна нулю ни при каких х – точек перегиба нет. При x ![]() ![]() При x ![]() ![]() График функции: ![]() Найти неопределенные интегралы: а) ![]() ![]() ![]() г) ![]() ![]() ![]() a) ![]() ![]() б) ![]() Учтем, что ![]() В итоге ![]() =(Используем табличный интеграл ![]() ![]() в) ![]() ![]() г) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() д) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() е) ![]() Учтем, что ![]() ![]() Тогда ![]() Кроме того, ![]() В итоге ![]() ![]() Вычислить определенные интегралы: а) ![]() ![]() ![]() ![]() а) учтем, что ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() б) ![]() Учтем, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Учтем, что ![]() Тогда ![]() тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() в) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Учтем, что ![]() тогда ![]() Следовательно ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() г) ![]() ![]() 6. Найти общее решение дифференциальных уравнений: а) ![]() ![]() Характеристическое уравнение: ![]() ![]() Тогда общее решение однородного уравнения: ![]() ![]() б) ![]() ![]() Обозначим ![]() Получаем ![]() ![]() Тогда ![]() в) ![]() ![]() Характеристическое уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда общее решение однородного уравнения: ![]() г) ![]() ![]() ![]() Характеристическое уравнение: ![]() ![]() Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: ![]() Учтем следующее правило для поиска частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: Если правая часть уравнения имеет вид f(x)=Pm(x)eγx, где Pm(x) – многочлен степени m, то частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид: ![]() Где s=0, если число γ не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения и s равно кратности корня уравнения, если число γ с ним совпадает, ![]() В данном случае γ=2i, m=0. Поскольку корни характеристического уравнения равны 1, то s=0 и частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: ![]() ![]() ![]() После подстановки в исходное уравнение имеем: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() Тогда ![]() Частное решение неоднородного уравнения: ![]() Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид: ![]() Производная ![]() Подставляем начальные условия: ![]() ![]() Тогда ![]() В итоге искомое частное решение ![]() Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Имеем треугольник, ограниченный осью ОХ и двумя прямыми. Найдем точку пересечения прямых: ![]() Тогда ![]() Учтем, что ![]() ![]() Площадь фигуры: ![]() ![]() б) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда ![]() ![]() Прямая пересекает ось ОХ в точке х =3, как это видно и из уравнения прямой. Найдем точку пересечения графиков экспоненты и прямой: ![]() Это трансцендентное уравнение, корень можно найти лишь приблизительно. Следовательно, и искомую площадь можно вычислить лишь приблизительно. Из графика: ![]() Видно, что точка пересечения графиков ![]() Тогда приблизительное значение искомой площади: ![]() ![]() |