Высшая математика. Ларионов Д математика контрольная работа 2. Контрольная работа 2 По дисциплине математика Ларионов Дмитрий Дмитриевич
 Скачать 168.57 Kb.
|
|
БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В.Г. ШУХОВА КАФЕДРА (Высшая математика) Контрольная работа № 2 По дисциплине: математика Выполнил: Ларионов Дмитрий Дмитриевич Студент 1 курса группы 38ЭТАзд-211 Института заочного образования Проверил: Белгород, 2022 г Найти предел функции:   1)  2)  Имеем отношение логарифма к х, поделенное на синус. Учтем, что   Видим, что отношение логарифма и х стремится к нулю при больших х. Однако это отношение еще делится на синус. Синус – периодическая функция, которая при аргументе, кратном π, равна нулю, в остальных точках ненулевая. Поэтому в указанных точках (кратных π) в пределе имеется неопределенность вида 0/0, а в остальных точках предел равен нулю. Вследствие этого однозначного значения предела не существует. 3)     4)   Найти производную функции: а)  б)  в)  г)  N=6 и M=2. а)   б)    в) Отметим, что если имелось в виду, что нужно найти производную параметрически заданной функции, то у должна быть функцией t, а не х. А так у нас фактически сложная функция, а не параметрически заданная:   Тогда  Далее:    Тогда   г)    Исследовать функцию и построить графики: а)  б)  а)      Функция равна нулю в точках х =-6, 1, 2 При х=0 значение функции 12 Функция определена для всех действительных значений x. Функция непрерывна для всех х. Поскольку y(-x)≠y(x), то функция не является четной. Поскольку y(-x) ≠ -y(x), то функция не является нечетной. Функция непериодическая. Поскольку нет точек разрыва – то вертикальных асимптот нет. Выясним, имеет ли функция наклонные (или горизонтальные) асимптоты. Для этого вычислим пределы:     Наклонные асимптоты  ,  существуют только тогда, когда соответствующие пары пределов существуют и конечны  поскольку эти пределы бесконечны, наклонных асимптот нет Найдем производную функции:  Найдем корни уравнения     Производная равна нулю в точках x =  и х = .График производной представляет собой параболу с вершиной, направленной вниз. Поэтому: При x  : – функция возрастает в этом интервале.При x  :  – функция убывает в этом интервале.При x  : – функция возрастает в этом интервале.Тогда точка x= – точка максимума.x= – точка минимума.Найдем вторую производную функции:  Вторая производная равна нулю при х=-1. При x  : – функция выпуклая.При x  :  – функция вогнутая.Тогда точка х =1 – точка перегиба. График функции:  б)   Функция определена для всех действительных значений x, кроме х=1. Функция непрерывна для всех х ≠ 1, в точке х= 1 имеется разрыв. Поскольку y(-x)≠y(x), то функция не является четной. Поскольку y(-x) = -y(x), то функция является нечетной. Функция непериодическая. Точки пересечения графика с осью ОХ: y=0 =>  x=-1, x=2. Точка пересечения графика с осью ОУ: х=0=>  Поскольку в точке х = 1 имеется точка разрыва – имеется вертикальная асимптота. Рассмотрим односторонние пределы:   Таким образом, имеем вертикальную асимптоту х= 1. Выясним, имеет ли функция наклонные (или горизонтальные) асимптоты. Для этого вычислим пределы: Наклонные асимптоты , существуют только тогда, когда соответствующие пары пределов существуют и конечны       ,  Следовательно, в данном случае имеем наклонную асимптоту у=6x. Найдем производную функции:  Производная, как видим, нигде не равна нулю, и не существует в точке: x =1 При x  : – функция возрастает в этом интервале.При x  : – функция возрастает в этом интервале.Тогда точек экстремума нет Найдем вторую производную функции:  Вторая производная не равна нулю ни при каких х – точек перегиба нет. При x : – функция вогнутая.При x : – функция выпуклая.График функции:  Найти неопределенные интегралы: а)  , б)  , в)  , г)  , д)  , е)  .a)   б)  Учтем, что  В итоге  =(Используем табличный интеграл  )= в)   г)        д)          е)  Учтем, что   Тогда  Кроме того,  В итоге   Вычислить определенные интегралы: а)  , б)  , в)  , г) б)  а) учтем, что   Тогда     б)  Учтем, что         Учтем, что Тогда  тогда       в)      Учтем, что  тогда  Следовательно       г)   6. Найти общее решение дифференциальных уравнений: а)  ,  Характеристическое уравнение:   Тогда общее решение однородного уравнения:   б)  ,  Обозначим  Получаем   Тогда  в)  , Характеристическое уравнение:     Тогда общее решение однородного уравнения:  г)  ,  . Характеристическое уравнение:   Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:  Учтем следующее правило для поиска частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: Если правая часть уравнения имеет вид f(x)=Pm(x)eγx, где Pm(x) – многочлен степени m, то частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:  Где s=0, если число γ не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения и s равно кратности корня уравнения, если число γ с ним совпадает,  многочлен степени m.В данном случае γ=2i, m=0. Поскольку корни характеристического уравнения равны 1, то s=0 и частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:    После подстановки в исходное уравнение имеем:      Тогда   Тогда  Частное решение неоднородного уравнения:  Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид:  Производная  Подставляем начальные условия:   Тогда  В итоге искомое частное решение  Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: а)  ,  ,  ;    Имеем треугольник, ограниченный осью ОХ и двумя прямыми. Найдем точку пересечения прямых:  Тогда  Учтем, что   Площадь фигуры:   б)  ,  ,  . Отсюда   Прямая пересекает ось ОХ в точке х =3, как это видно и из уравнения прямой. Найдем точку пересечения графиков экспоненты и прямой:  Это трансцендентное уравнение, корень можно найти лишь приблизительно. Следовательно, и искомую площадь можно вычислить лишь приблизительно. Из графика:  Видно, что точка пересечения графиков  Тогда приблизительное значение искомой площади:   |