8. Классификация форм взаимосвязей. Методы выявления зависимостей

• Название: 8. Классификация форм взаимосвязей. Методы выявления зависимостей
• Дата: 10.06.2022
• Размер: 233.6 Kb.
• Имя файла: 17Metody_modelirovania_i_prognozirovania_v_ekonomike.docx
• Тип: Документы; #584270
• страница: 2 из 4

Задание 3. Прогнозирование по однофакторным регрессионным моделям

По приведенным в табл. данным, построить однофакторную линейная модель типа у=a+bx.

Период	У	Х
1	10	0,5
2	12	1,2
3	13,975	2,8
4	15,38	4,38

Оцените качество модели с помощью коэффициента детерминации, средней ошибки аппроксимации и F-критерия Фишера. Табличное значение F-критерия Фишера (F_табл.) равно 10,13 при Р=0,95. Выполнить прогноз на следующие три периода и рассчитать ошибку прогноза, если х изменялся следующим образом:

Период	Изменение х в текущем периоде по сравнению с предыдущим	Фактическое значение переменной у
5	+5%	18
6	+7,1%	20
7	+1,7%	22

Сделать выводы.

Решение:

Для построения однофакторной линейной модели типа =a+bx, необходимо определить ее параметры. Для этого построим вспомогательную таблицу:

Период	Y	X	Х2	Х*Y	Y2
1	10	0,5	0,25	5	100
2	12	1,2	1,44	14,4	144
3	13,975	2,8	7,84	39,13	195,3
4	15,38	4,38	19,18	67,36	236,54
Итого	51,355	8,88	28,71	125,89	675,84

Составим и решим систему нормальных уравнений, для нахождения параметров уравнения регрессии.



Домножим первое уравнение на 2,22 и вычтем из него 2:



Однофакторная линейная модель примет вид:

= 9,91+ 1,32*х.

Экономическая интерпретация, полученной модели: при увеличении фактора х на 1 единицу своего измерения результативный признак Y увеличится на 1,32 единиц своего измерения.

Для того чтобы выполнить прогноз по данной модели, необходимо проверить ее качество.

Качество регрессионной модели считается высоким, если:

1. 
   коэффициент детерминации больше или равен 0,5;
   
2. 
   средняя ошибка аппроксимации менее или равна 10%;
   
3. 
   F_таблфакт.
   

Найдем перечисленные показатели.

Для нахождения коэффициента детерминации необходимо знать коэффициент корреляции, который определим по формуле:





R_xy = 0,975

Следовательно, связь между Y и Х прямая, т.к. R_xy > 0, а теснота связи весьма высокая (по шкале Чеддока).

Коэффициент детерминации равен R²_xy = (0,975)² = 0,95 (95,0%). Следовательно, 95,0% изменений результативного признака Y объясняется изменением фактора Х.

В нашем случае коэффициент детерминации больше 0,5, следовательно, первое условие, определяющие высокое качество модели выполнилось.

Для расчета средней ошибки аппроксимации построим вспомогательную таблицу:

Период	Y	X	= 9,91+ 1,32*х	(Y - ) / Y	|(Y - ) / Y|
1	10	0,5	10,57	-0,032	0,032
2	12	1,2	11,49	0,043	0,043
3	13,975	2,8	13,61	0,026	0,026
4	15,38	4,38	16,69	-0,085	0,085
Итого	51,355	8,88	52,36	-	0,186

Определим среднюю ошибку аппроксимации по формуле:



В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 4,65%. Ошибка аппроксимации небольшая (А<8%), регрессионная модель хорошо описывает изучаемую закономерность. Второе условие, определяющее высокое качество модели выполнилось.

Определим фактическое значение критерия Фишера по формуле:

По условию задачи F_табл = 10,13 при Р=0,95.



Если F_табл._факт., то гипотеза Н₀ – о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность с вероятностью 1-, следовательно, принимается гипотеза Н₁. Третье условие, определяющие высокое качество модели выполнилось.

Так как, все три условия, определяющих высокое качество модели выполнились, то модель вида = 9,91+ 1,32*х может быть использована для прогнозирования признака Y от фактора Х.

Прогнозирование по линейной однофакторной регрессии осуществляется путем подстановки ожидаемого значения х в уравнение регрессии. Определим ожидаемые значения х в прогнозных периодах.

Период	Изменение х в текущем периоде по сравнению с предыдущим	Ожидаемое значение х в прогнозном периоде
5	+5%	4,38*1,05 = 4,599
6	+7,1%	4,599*1,071 = 4,925
7	+1,7%	4,925*1,017 = 5,0

Выполним прогноз на следующие три периода:

5 = 9,91+ 1,32*4,599= 15,98

6 = 9,91+ 1,32*4,925 =16,411

7 = 9,91+ 1,32* 5,0=16,51

Рассчитаем ошибки прогноза по формуле:









Вывод: Однофакторная линейная модель примет вид:

= 9,91+ 1,32*х.

Следовательно, при увеличении фактора х на 1 единицу своего измерения результативный признак Y увеличится на 1,32 единиц своего измерения.

Данная модель может быть использована для прогнозирования признака Y от фактора Х, так как выполняются условия, определяющие ее высокое качество. Наиболее точным оказался прогноз на 5-ый период (соответствует минимальное значение ошибки прогноза).

Задание 4. Прогнозирование по многофакторным регрессионным моделям

По приведенным в табл. 4.12 данным построить уравнение многофакторной линейной регрессии, если а= , b₁= , b₂= , b₃= , b₄= , b₅=

Фактические значения х

	X1	X2	X3	X4	X5
266	146	67,5	57,1	25,2	2415

Рассчитать значения результативного показателя на следующие 2 периода.

На основе матрицы парных коэффициентов корреляции (табл.) (рассчитать) выявить и устранить мультиколлинеарные факторы. После их устранения построить уравнение регрессии по новым данным регрессионного анализа, характеризующее зависимость результирующего показателя (y) от факторных (x_i) в линейной форме.

	х1	х2	х3	х4	х5	у
х1	1
х2	0,8154	1
х3	0,42	0,378	1
х4	0,0673	0,7628	0,2211	1
х5	0,00041	0,0034	0,068	0,024	1
у	0,59033	0,76313	0,4001	0,2974	-0,004	1

Рассчитать прогнозные значения результативного показателя по скорректированной многофакторной модели на следующие 2 периода, если:

Период	Изменение хiв текущем периоде по сравнению с предыдущим, %					Фактическое значение переменной у
	х1	х2	х3	х4	х5
13	+5	0	0	0	+2,3		2020
14	0	+7,1	0	0	0		2760

Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза для обоих случаев. Сделать выводы.