НГ_ч2. 8. кривые линии и кривые поверхности
 Скачать 3.42 Mb.
|
|
8. КРИВЫЕ ЛИНИИ И КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 8.1. КРИВЫЕ ЛИНИИ Кривую линию можно рассматривать как след движущейся в пространстве точки или как совокупность точек, удовлетворяющих определенному уравнению. Кривая линия может являться результатом пересечения между собой кривых поверхностей или пересечения кривой поверхности плоскостью. Если все точки кривой линии лежат в плоскости, то она является плоской, в противном случае - пространственной. 8.2. ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ ЛИНИИ Среди плоских кривых выделим кривые, называемыми алгебраическими. Такие кривые линии могут быть заданы алгебраическим уравнением. Степень уравнения определяет порядок кривой линии. Линии первого порядка - прямые линии. Кривые линии второго порядка - линии, алгебраическое уравнение которых - уравнение второй степени. Линии второго порядка - это плоские кривые, определяемые: пятью точками, или четырьмя точками и одной касательной, или тремя точками и двумя касательными, или двумя точками и тремя касательными и т.д. Касательные могут проходить через задаваемые точки. Линии второго порядка подразделяются на три вида: эллипс, гиперболу и параболу. ЭЛЛИПС Эллипс определяется уравнением х2/а2 + y2/b2 =1 Эллипс имеет две оси симметрии, следовательно и центр. Наибольший диаметр эллипса - 2а называется большой осью, а малый диаметр - 2b - малой осью. Эти оси взаимно перпендикулярны. Поскольку эллипс обладает многими геометрическими свойствами, существует множество способов построения его очерков  Рис.8.1 1.Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух неподвижных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а (рис.8.1). М1F1+M1F2=2a R1+R2=2a AO=A1O=a; F1O=F2O; где: F1O= - эксцентриситет эллипса. ВF1=BF2=a.  Рис.8.22. С помощью двух концентрических окружностей (рис.8.2). Проводятся две концентрические окружности радиусами ОА и ОВ, а затем из центра О - произвольно выбранные лучи, пересекающие обе окружности в точках 1 и 2 соответственно. С помощью лучей: 11-М1 и 21-М1 соответственно находят точки М1 очерка эллипса. 3.по сопряженным диаметрам эллипса (рис.8.3).  Рис.8.3 Если заданы главные оси или два сопряженных диаметра эллипса, то есть такие диаметры, которые делят хорды, соответственно параллельные другому его диаметру пополам, то очерк эллипса можно построить по точкам, указанным на рис.8.3, способом ГИПЕРБОЛА. Гипербола определяется уравнением х2/а2 - y2/b2 =1  Рис.8.4 Гипербола обладает центром и двумя осями симметрии, имеет две несобственные точки. Ось симметрии, называемая действительной, пересекает ветви кривой в вершинах А1 и А2. Ось, перпендикулярная к действительной оси (и не пересекающую кривую), называют мнимой. Прямые линии, проходящие через центр и определяющие несобственные точки М и N, называются асимптотами. При построении гиперболы желательно определить ее центр, диаметр А1А2 и асимптоты. Гипербола, как и эллипс, обладает многими свойствами, на основании которых можно найти множество точек этой кривой. Гипербола - множество точек плоскости, разность расстояний (радиус-векторов) которых до двух данных точек (фокусов), есть величина постоянная равная 2а - действительной оси гиперболы (рис.8.4). Множество точек гиперболы находят так: Отмечают точки 1, 2, 3,... на действительной оси гиперболы, постепенно увеличивая расстояния между ними, и проводят из фокуса F1 дуги радиусами, равными отрезкам А1, А2, А3,..., а из F2 - отрезками А11, А12, А13,... Пересечение дуг А1 с А11, А2 с А12, А3 с А13,... - точки гиперболы: М1, М2, М3,... Для построения точек левой ветви кривой из точки F2 проводят дуги радиусами А1, А2, А3,..., а из F1 - радиусами А11, А12, А13, ... , но можно использовать осевую или центральную симметрию, как это сделано на чертеже. 2. Построение гиперболы по ее осям, вершинам и точке М. (рис.8.5).  Рис.8.5 Проводят через точку М прямые линии, параллельные осям гиперболы и получают прямоугольник МРА1Q, а затем диагональ PQ. Из вершины А проводят произвольный луч, пересекающий МQ в точке 11, а из точки 11 - прямую, параллельную PQ, получая точку 21. Луч А121 пересечет луч А1 в точке М1, принадлежащей гиперболе. Аналогично находятся другие точки гиперболы. Вторая ветвь гиперболы симметрично найденной. ПАРАБОЛА. Парабола определяется уравнением х2=2pz. (y2=2px). Парабола имеет одну ось симметрии и одну несобственную на ней точку.  Рис.8.6 Парабола - множество точек плоскости, равноудаленных от точки (фокуса) и прямой (директрисы), лежащих в плоскости. Величина р - расстояние между фокусом и директрисой - параметр параболы. На этом свойстве основано построение параболы по заданным фокусу и директрисе (рис.8.6). Парабола может быть построена по ее оси, вершине А и точке М одним из двух способов (рис.8.7). Построение точек указано стрелками.  Рис.8.7 Все диаметры параболы параллельны ее оси, так как центр параболы - несобственная точка. Хорды параболы, которые делятся одним из диаметров пополам, называются сопряженными с этим диаметром. Касательная в конце такого диаметра параллельна сопряженным с ним хордам. (рис.8.8).   Рис.8.8 Рис.8.9 Простой способ проведения касательной к параболе в данной точке дан на рис. 8.9. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ КРИВЫЕ. Трансцендентными называют кривые линии, заданные, неалгебраическими уравнениями. Например, синусоида. Ее уравнение у=sinx, характеризуют изменение синуса угла в зависимости от величины угла, или циклоида, параметрическое уравнение которой имеет вид: х=r(t – sin(t)), y=r(1+сos(t)). Более подробно построение кривых линий описано в учебниках по машиностроительному черчению. Литература. Левицкий В.С. Машиностроительного черчение: Учебник для студ. втузов - М.:Высш.шк., 1988. 8.3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ Пространственные кривые линии - это, главным образом, линии пересечения кривых поверхностей. Так, например, две поверхности второго порядка пересекаются по линии четвертого порядка, представляющей собой пространственную кривую. 8.4. ПРОЕЦИРОВАНИЕ КРИВЫХ ЛИНИЙ Кривая линия в общем случае проецируется кривой линией (рис.8.10).  Рис.8.10 Алгебраические кривые проецируются кривыми линиями того же порядка, что и сами кривые. Кривые второго порядка проецируются кривыми линиями второго порядка. При параллельном проецировании эллипс и окружность проецируются в эллипс или, в частном случае, в окружность; проекция параболы - парабола, проекция гиперболы - гипербола. При проецировании окружности любая пара ее взаимно перпендикулярных диаметров проецируется парой сопряженных диаметров эллипса. 8.5. ОСОБЫЕ ТОЧКИ КРИВОЙ ЛИНИИ Прямая, пересекающая кривую линию в двух и более точках, называется секущей. Если эти точки оказываются бесконечно близкими (совпадают), прямую, проходящую через эти точки, называют касательной к кривой. На рис.8.11 показано, как секущая l, вращаясь вокруг точки К, превращается в касательную t.    Рис.8.11 Рис.8.12 Рис.8.13. К особым точкам кривых линий относят:
8.6. СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ И ЗАДАНИЯ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Кривая поверхность может рассматриваться как совокупность всех положений некоторой линии, движущейся в пространстве. Движущуюся линию в этом случае называют образующей поверхности, а линии (иногда и точки), определяющие закон ее перемещения, - направляющими (Кинематический способ образования поверхности). Совокупность точек, линий и различных условий, определяющих закон перемещения образующей, называют также определителем поверхности. 8.7. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ Поверхность, образуемая движением прямой линии, называется линейчатой. На рис. 8.14 линейчатая поверхность образована движением прямой образующей l, постоянно проходящей через точку s и во всех своих положениях пересекающей некоторую направляющую m. Эта поверхность называется конической. На рис.8.15 линейчатая поверхность образована движением образующей l, перемещающейся параллельно самой себе и пересекающей направляющую кривую n. Такая поверхность называется цилиндрической. На рис.8.16 поверхность образуется движением прямой линии, пересекающей две кривые направляющие линии а и b, и параллельной плоскости параллелизма . Такая поверхность называется цилиндроидом. При этом направляющие линии могут быть как плоскими, так и пространственными.    Рис.8.14 Рис.8.15 Рис.8.16 Если одна из направляющих поверхности с плоскостью параллелизма - прямая линия, то поверхность называют коноидом, если обе направляющие - прямые линии, то - косой плоскостью или гиперболическим параболоидом. 8.8. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ На рис.8.17 поверхность образована вращением образующей l вокруг оси i. При этом точки образующей перемещаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения. Через любую точку на поверхности вращения можно провести только одну параллель и один меридиан. Наибольшую параллель называют экватором, а меридиан, параллельный плоскости проекций, - главным меридианом.   Рис.8.17 Рис.8.18 8.9. ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАВАЕМЫЕ КАРКАСОМ На рис.8.18 топографическая поверхность задана горизонталями. Любую точку на такой поверхности можно задать с помощью линии на этой поверхности, проходящей через эту точку. На рисунке точка М поверхности лежит на линии, пересекающей горизонтали этой поверхности. В авиационной промышленности, в судостроении и автомобилестроении теоретическая поверхность изделия задается плоскими сечениями, параллельными горизонтальной, фронтальной, профильной плоскостям проекций. На рис.8.19 изображен фрагмент такой поверхности. Плоские сечения теоретического каркаса горизонтальными плоскостями называют горизонталями, фронтальными плоскостями - батоксами, а профильными - шпангоутами. Если поверхность на чертеже задана своим определителем, то на ней можно построить сколь угодно плотный каркас. Например, на поверхности вращения - каркас параллелей, а на поверхности конуса - каркас его образующих  Рис.8.19 Фрагмент теоретического чертежа корпуса мини-яхты “Дюгонь”. Проекции: полуширота и бок (шпангоуты, батоксы, высоты от КВЛ) рис.8.20.  Рис.8.20 На рис.8.21 изображен фрагмент задания на чертеже фюзеляжа модели самолета-истребителя ЛА-11, заданного набором поперечных сечений (М1:50).  Рис.8.21 8.10. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Поверхности, выражаемые алгебраическим уравнением второй степени, называют поверхностями второго порядка. Порядок алгебраической поверхности равен степени ее уравнения. Поверхность, определяемая алгебраическим уравнением первой степени, есть плоскость. Среди поверхностей второго порядка выделим: 1.Эллипсоиды. Они имеют каноническое уравнение следующего вида х2/а2 + y2/b2 + z2/c2=1. Эллипсоиды подразделяются на: трехосные (аbса, рис.8.22), вращения (а=bса, рис.8.23) или (аb=с, или а=сb) и сферу (а=b=c).   Рис.8.22 Рис.8.23 2. Параболоиды. Параболоиды эллиптические (рис.8.24) имеют уравнение х2/р + y2/b=2z. Параболоид вращения имеет уравнение z2=2px. 3. Параболоиды гиперболические (рис.8.25) имеют уравнение вида: х2/р-y2/q=2z и являются линейчатыми поверхностями (косая плоскость).   Рис.8.24 Рис.8.25 Гиперболоиды. а) Гиперболоиды однополостные (рис.8.26) имеют уравнение вида: х2/а2+y2/b2-z2/c2=1 и являются линейчатыми поверхностями. б) Гиперболоиды двухполостные (рис.8.27) имеют уравнение вида х2/а2+y2/b2-z2/c2=-1. Гиперболоиды могут быть поверхностями вращения.   Рис.8.26 Рис.8.27 Поверхности второго порядка могут быть подобными. Два эллипсоида подобны, если отношение их полуосей одинаково: а:b:c=a1:b1:c1. Два эллиптических параболоида подобны, если подобны их сечения плоскостью, перпендикулярной к оси. Два гиперболических параболоида подобны, если их асимптотические плоскости составляют одинаковые углы. Два гиперболоида подобны, если они имеют одинаковые асимптотические конические поверхности. 8.11. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Все эти свойства поверхностей второго порядка могут быть обнаружены методом сечений данных поверхностей плоскостями При каноническом (нормальном) задании поверхностей исследование легко проводится с помощью проецирующих плоскостей. Метод плоских сечений является основным методом исследования и задания поверхностей сложной формы в технике. 8.12. СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ И ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ Чтобы построить сечение поверхности какой-либо проецирующей плоскостью, необходимо сначала построить каркас линий, принадлежащей этой поверхности. Каркас поверхности может быть образован дискретным множеством линий, образующих данную поверхность. Примером таких линий могут быть параллели на поверхности вращения, образующие линейчатой поверхности и тому подобное. Секущая плоскость, в данном случае проецирующая, пересечет линии каркаса в соответствующих точках, соединяя которые в определенной последовательности от одной линии каркаса к другой, следуя их расположению на каркасе, можно получить фигуру сечения поверхности заданной секущей плоскостью. Покажем это на примерах. Пример 1 (рис.8.30). Построить сечение цилиндра горизонтально проецирующей плоскостью (`). Решение: 1.Строим каркас образующих на поверхности заданного цилиндра - линии :t, t1, t2, t3,... 2. Заданная плоскость пересечет их соответственно в точках: 1, 2, 3,..., соединяя которые получим искомую линию пересечения. Подобные задачи решаются на комплексных чертежах аналогично этому примеру |