Конспекты лекций по математике. Лекция. Тема Система координат
 Скачать 61.14 Kb.
|
|
Лекция. Тема 1. Система координат. Координата точки — это величина, определяющая положение данной точки на плоскости, на прямой или кривой линии или в пространстве. Обычно применяется прямоугольная система координат. Она состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых — осей, точка их пересечения называется началом координат О, горизонтальная ось ОХ называется осью абсцисс, вертикальная ось ОY называется осью ординат. На осях выбирается некоторый одинаковый для обеих осей масштаб и для каждой оси выбирается положительное направление. Это и есть прямоугольная система координат. Оси координат образуют четыре координатных угла I, II, III, IV. Если точка находится в I координатном угле (квадранте), то и абсцисса, и ордината ее положительные, если во II квадранте, то абсцисса отрицательна, а ордината положительна, если в III квадранте, и абсцисса, и ордината отрицательны, если в IV квадранте, положительна абсцисса, а ордината отрицательна. У точки, лежащей на оси ординат абсцисса равна нулю, и наоборот, если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю. Иногда пользуются косоугольной системой координат (она аналогична прямоугольной, только оси координат пересекаются под углом не равным прямому). Прямоугольная и косоугольная системы относятся к декартовой системе координат. Кроме декартовой системы, часто употребляется полярная система координат. Она состоит из полюса О (в качестве него берется произвольная тока) и полярной оси ОХ (луч, проведенный из полюса). Положение точки в данной системе координат определяется тоже двумя числами: полярным радиусом ρ (отрезок ОМ в выбранных единицах измерения) и полярным углом ϕ(обычно в радианах). Обычно для полярного угла берется его главное значение (от –π до π). Числа ρ, ϕ называются полярными координатами точки М.  Практика: Плоскость Q проходит через точку   , перпендикулярно вектору n = ABC. В плоскости Q произвольно расположена точка  . Тогда вектор  (рис.2) имеет координаты: = ( )Синус угла ϕ между векторами  и  определяется по формуле:cosф =  =  Расстояние между точками и вычисляется по формуле: d =  Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и : Координаты точки А, которая делит отрезок [ ] в заданном отношении определяются по формуле: x =  , y= , z= Общее уравнение плоскости в пространстве: Ax + By + Cz + D = 0 Уравнение плоскости перпендикулярной заданному вектору n = (A,B,C) и проходящей через точку имеет вид:A (x -  ) + B (y -  + C ( ) = 0Пример. Составить уравнение плоскости перпендикулярной вектору MA и проходящей через точку М (3,-1,2), если A (-1,2,5). Решение: по формуле = ( ) найдём координаты вектора МА.МА = (-1-3,2-(-1),5-2) или MA = (-4,3,3). Так как искомая плоскость перпендикулярна вектору MA, он ее является нормалью и, следовательно, воспользовавшись уравнением Ax + By + Cz + D = 0, получим -4(x-3) + 3(y-(-1)) + 3(z-2) = 0 Искомое уравнение плоскости: -4x + 3y + 3z + 9 = 0 Лекция. Тема 3. Комплексные числа. Рассмотрим множество элементов вида a + bi , где a и b - вещественные числа, а i - символ, называемый мнимой единицей (смысл такого названия будет ясен позже). На множестве этих символов введем следующие операции: сравнение:  , тогда и только тогда, когда  сложение:  + =  + умножение:  =  + Элементы указанного вида с введенными операциями называются комплексными числами. Множество комплексных чисел обычно обозначают буквой C, а элементы этого множества – буквой z. Вещественное число a будем называть вещественной частью комплексного числа a + bi и обозначать Re(a +bi) или Rez , а b - его мнимой частью и обозначать Im (a +bi) или Imz. (Re и Im - начальные буквы латинских слов realis – действительный и imaginarius - мнимый). Например, Re(2-3i) = 2, Im(2-3i) = -3 Комплексно-сопряженные числа. Практический способ деления Числа a + bi и a − bi называются комплексно-сопряженными. Если обозначить число a + bi = z , то сопряженное ему число a − bi будем обозначать z. Таким образом, z и  - сопряженные тогда и только тогда, когда выполняются два условия:  Свойства комплексно-сопряженных чисел:  Доказательство. Пусть z= a +bi . Тогда = a − bi , следовательно, = a – (-b)i = a + bi Доказательство. Пусть  и  . Тогда  и  =  . Такой же будет и сумма  =  Следовательно, .Найдем частное  .Используем основное свойство дроби: величина дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и тоже число, отличное от нуля. Умножим числитель и знаменатель данной дроби на  :  Полученный результат совпадает с формулой, которая была приведена выше. Тригонометрическая форма комплексного числа. Используя выражения для вещественной и мнимой частей комплексного числа через его модуль и аргумент, получим  . Это представление называется тригонометрической формой комплексного числа. Запись z= a +bi называется его алгебраической формой. Пример. Найти произведение  двух комплексных чисел, если  и  .Решение. Модуль произведения равен  = 3 и аргумент произведения  . Поэтому  .Пример. Найти частное  двух комплексных чисел, если и . Решение. Модуль частного равен  и аргумент частного  . Очевидно, что это значение аргумента эквивалентно  . Поэтому =  . Возведение в степень с натуральным показателем  При возведении числа в степень с натуральным показателем, его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени. Эта формула называется формулой Муавра. Пример. Вычислить  .Решение. Переведем основание степени в тригонометрическую форму:  =  . Тогда =  = 1. Извлечение корня. Обозначать корень n-ой степени из z будем  .  Пример. Вычислить  . Решение. Переведем число, стоящее под корнем в тригонометрическую форму: 8 + 8  i = 16  . Тогда =  = 4 , где к принимает значения 0 или 1. При этих значениях мы получим И аналогично,  Показательная функция  Определим операцию возведения числа eв степень с комплексным пока-зателем следующей формулой  . Здесь число w =  определено в тригонометрической форме, где  и y - одно из значений аргумента. Следовательно, если произвольное комплексное число записать в тригонометрической форме , то его также можно записать и в виде  , который называется показательной формой комплексного числа. Очевидно, что  Из формул  и  следуют формулы  и  которые называются формулами Эйлера. Пример. Вычислить  .Решение.  Лекция. Тема 4. Предел последовательности, функция действительного переменного. Замечательные пределы Первый замечательный предел. Теорема.  Второй замечательный предел Теорема.  Лекция. Тема 5-1. Числовые ряды, признаки сходимости, сравнение рядов. Теорема. Гармонический ряд всегда расходится. |