9 mavzu 1 mustaqil ish 10 mavzu 2 mustaqil ish
 Скачать 1.16 Mb.
|
|
Hurmatli talabar! quyida keltirilgan o’z guruhingizga tegishli ro’yxatdan tartib raqamingiz bo’yicha variantlaringizni olib mustaqil ishlarni bajaring va moodle tizimiga joylang 9 – mavzu 1 – mustaqil ish 10 – mavzu 2 – mustaqil ish ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СВЯЗИ, ИНФОРМАТИЗАЦИИ И ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ТАШКЕНТСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ КАФЕДРА ФИЗИКИ Сборник задачи методические указания к практическим занятиям по физике ЧАСТЬ III КОЛЕБАНИЯ, ВОЛНЫ, ОПТИКА И АТОМНАЯ ФИЗИКА Ташкент Страница 2 Сборник задачи методические указания к практическим занятиям по физике ЧАСТЬ III КОЛЕБАНИЯ, ВОЛНЫ, ОПТИКА И АТОМНАЯ ФИЗИКА Утверждено и рекомендовано к тиражированию НМС ТУИТ протокол № 28 от 6.05 2010 г. Ответственный редактор доктор физмат. наук, проф. Абдурахманов К.П. Составители доц. Хайдаров К.Х. асс. Кормильцев СВ. Данное методическое пособие составлено в соответствии с программой курса общей физики и содержит методические указания и задачи, распределенные по темам курса физики. По каждой теме подобрано порядка двухсот задач, в которые включены также задачи повышенной сложности. Данное методическое пособие предназначено для студентов первого курса бакалавриата по направлениям Информатика и информационные технологии, Телекоммуникация, Радиотехника, Телевидение, радиосвязь и радиовещание, Информационная безопасность, Электронная коммерция, Почтовая служба, Сервис, Профессиональная педагогика, для студентов Специального факультета, а также может быть использовано студентами других технических ВУЗов. Для самостоятельной подготовки студентов по каждой теме приведены контрольные вопросы по теории. Страница 3 ПРЕДИСЛОВИЕ Сборник задач составлен в соответствии с программой курса общей физики и содержит методические указания и задачи, распределенные по темам курса физики, рассматриваемым во втором семестре. По каждой теме подобрано порядка двухсот задач, в которые включен ряд задач повышенной трудности, они отмечены звездочкой Знание законов физики предполагает умение не только формулировать эти законы, но и применять их при решении конкретных практических задач. Умение решать задачи способствует приобщению студентов к самостоятельной творческой работе, учит анализировать изучаемые явления, выделять главные факторы, их обусловившие. Наибольшую пользу приносит процесс решения задач при условии самостоятельности этого процесса, которую и призвано обеспечить данное методическое руководство. Задачи для домашних заданий распределены по вариантам, каждый вариант содержит четыре задачи. Перед каждой темой приводятся краткие методические указания и рекомендации по решению задач, рассматриваются примеры решения задач в соответствии с разделением на темы в пределах каждой темы. Самостоятельное решение задач возможно при условии усвоения соответствующего теоретического материала. Для этого по каждой теме приводятся контрольные вопросы, позволяющие помочь студентам при подготовке к занятиям. Пользуясь данным пособием, студент должен целенаправленно, по контрольным вопросами указанной литературе, изучить предлагаемый раздел самостоятельно, опираясь на изученную теорию, методические указания и примеры, выполнить домашнее задание, номер варианта которого соответствует последним двум цифрам рейтинговой книжки студента. При решении задач целесообразно руководствоваться следующими правилами 1. Прежде всего, внимательно прочесть условие, вникнуть в него. Если характер задачи позволяет, обязательно сделать пояснительный рисунок. 2. Произвести анализ задачи, выяснить, о каких объектах или процессах идет речь, какие величины его определяют, каким физическим закономерностям подчиняются рассматриваемые явления. 3. Выбрать оптимальный метод решения задачи. 4. Решение задачи проводить сначала в общем виде, при этом искомая величина должна быть выражена через заданные в условии величины. 5. Подстановка числовых данных должна производиться водной системе единиц – системе СИ. 6. В конце решения производиться проверка соответствия единиц измерения. Страница 4 7. При оформлении домашнего задания используемые законы и формулы должны быть кратко, но исчерпывающе пояснены. 8. Если представляется возможным, оценить правдоподобность полученного численного ответа. Страница 5 ТЕМА № 9 СОБСТВЕННЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Контрольные вопросы 1. Какие колебания называются гармоническими Дайте определение основных характеристик гармонического колебательного движения смещения, амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты. 2. Как зависит смещение колеблющейся точки от времени Запишите закон гармонических колебаний. Какое дифференциальное уравнение описывает гармоническое колебание 3. Как графически можно задать гармонические колебания 4. Какова закономерность изменения смещения, скорости и ускорения колеблющейся точки Чему равны максимальные значения этих величин 5. Что называется возвращающей силой Какими свойствами она определяется Какое условие необходимо для осуществления гармонического движения 6. Как определяется период собственных колебаний математического и физического маятника Что называется приведенной длиной физического маятника 7. Как определяется амплитуда результирующего колебания при сложений колебаний, направленных вдоль одной прямой, если периоды колебаний одинаковы Как определяется начальная фаза 8. Разберите уравнение траекторий для случаев когда точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинакового периода и разности фаз равной 0, /2, . При каких условиях возникают биения Чему равна частота биений Амплитуда биений Как графически изображаются биения Какова частота результирующего сложного колебания 9. Как выражается энергия колебательной системы От каких параметров она зависит Как происходит взаимопревращения энергии при гармонических колебаниях МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ В качестве гармонической функции в законе движения используются синус или косинус причем выбор функции определяется начальными условиями. При решении задач часто требуются найти параметры, характеризующие гармонические колебания по заданному уравнению смещения. Это делается сравнением данного уравнения с законом гармонического колебания и дальнейшим учетом связи между частотой, циклической частотой и периодом, а также с применением известных кинематических закономерностей. В задачах другого типа требуется найти параметры процесса по известным мгновенным или максимальным значениям смещения, скорости, ускорения. Здесь надо помнить, что максимальному смещению (равному Страница 6 амплитуде) соответствует нулевое значение скорости и максимальное ускорение, направленное в сторону равновесия. Если известно, что смещение в некоторый момент максимально, то фаза колебания в этот момент равна /2; при максимальной скорости смещения фаза и ускорение равны нулю. Целый ряд задач предполагает составления уравнений движения, использования связей между динамическими характеристиками, знаний динамических законов, применение законов сохранения и превращения энергии. В задачах на нахождение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, следует исключить время в уравнениях складываемых колебаний. В тех случаях, когда требуется найти период колебаний физического маятника, не следует забывать, что ось вращения не проходит через центр масс и при определении моментов инерции надо использовать теорему Штейнера о переносе осей вращения. В основном же решение задач на колебательные процессы требует четкого знания формул и правильного использования связей между смещением, скоростью и ускорением. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. Точка совершает гармонические колебания. Максимальные смещения и скорость точки соответственно равны А 0,05 ми мс . Найти величину максимального ускорения, а также скорость и ускорение точки в момент, когда смещение ее равном. Решение. Зависимость смещения колеблющейся точки для гармонического колебания выражается = ( + где А - максимальное смещение, то есть амплитуда колебаний ( + фаза колебаний. Так как нет указаний в условии, то начало отсчета выбираем произвольно положим = 0 при = 0, тогда = (1) Мгновенная скорость точки равна первой производной от смещения повремени) где = - максимальное значение скорости. Мгновенное значение ускорение равно второй производной от смещения повремени) где = - максимальное значение ускорения. Сравнивая значения ив уравнениях (2) и (3), получим Страница 7 = (4) Если задано смещение точки в момент времени t, то из соотношения (1) находим = . Подставляя значения в уравнение (3) получим мгновенное значение ускорения = − (5) и из уравнения (2) – мгновенное значение скорости = − ( ) = − (6) Подставим числовые значениям см см м см = м∙с ∙м мм с Задача 2. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных уравнениями = 2 = − . Найти и построить уравнение траектории точки определить скорость точки в момент = 0,5 с смещения даны в сантиметрах. Решение. Так как циклические частоты слагаемых колебаний одинаковы, то траекторией движения точки будет эллипс. Исключим время t из заданных уравнений, для чего возведем в квадрат оба уравнениях Воспользуемся формулой + = 1 и получим 1 + 1 = Это каноническое уравнение эллипса с полуосями а = 2 см и = 1 см. Для определения направлений движений точки учтем, что в момент = 0 ; = 0 ; y = −1 , следовательно точка находиться в положении А . при увеличении t увеличивается значение , значит точка движется против часовой стрелки. Скорости точки при ее движении по эллипсу равна векторной сумме скоростей слагаемых колебаний, итак как они перпендикулярным Рис 1 Страница 8 Задача 3. Частица массой = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом = 2 с . Полная энергия колеблющейся частицы = 0,1 мДж . Определите амплитуду m колебаний и наибольшее значение силы F , действующей на частицы. Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы = 1 Подставив сюда выражение = и выразив амплитуду, получим = (1) Подставим числовые значения величин и произведём вычислениям м = 45 мм. Так как частица совершает гармонические колебания, то сила , действующая на него, является квазиупругой и, следовательно, быть может выражена соотношением = − , где – коэффициент квазиупругой силы, - смещение колеблющейся точки. Максимальное значение силы приобретает при максимальном смещении m , равном амплитуде, те. = (2) Коэффициент выразим через период колебаний = = (3) Подставив в уравнение (2) выражения для из формулы (3) и из формулы (1), после сокращений и упрощений получим Подставим числовые значения величин и произведём вычисления : = 2 ∙ 3,14 2 2 ∙ 10 ∙ 10 = 4,44 ∙ 10 = 4,44 мН Задача 4. На стержне длиной ℓ укреплены 2 одинаковых грузика: один в середине стержня, другой – на одном из концов. Стержень с грузиками колеблется относительно оси, проходящей через другой конец стержня. Найти период маятника и приведенную длину. Массой стержня пренебречь. Решение. Период физического маятника определяется по формуле = 2 , где – момент инерции маятника , d -расстояние от центра масс до оси вращения. Страница 9 Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции грузиков, которые можно рассматривать как материальные точки с массой, те. = + = ℓ + ( ℓ ) = 1,25 ℓ Масса маятника = 2 . Центр тяжести будет находиться на середине расстояния между грузиками, те. = ℓ + ℓ = Таким образом = 2 , ℓ , ℓ ∙ = 2 ℓ , пр 0,75ℓ = 5ℓ 6 ℓ Рис 2 Страница 10 Таблица вариантов к теме 9 № вар -та Номера задач №в ар- та Номера задач Задачи для сам. работы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 140 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 150 178 179 180 208 207 206 205 204 203 202 201 200 199 198 197 196 195 194 193 192 191 190 189 188 187 186 185 184 Страница 11 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени t 1 смещение y = 5 см . При увеличении фазы вдвое смещение y = 8 см. Найти амплитуду колебания. 2. Координата частицы удовлетворяет уравнению B + y = 0 . Найдите период колебания. 3. Записать уравнение гармонических колебаний, если амплитуда А = 10 см, частота ν = 2 Гц и известно, что в начальный момент времени смещение максимально. 4. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение точки А 10 см, наибольшая скорость υ = 20 см/с. Найдите циклическую частоту ω колебаний и максимальное ускорение точки. 5. Скорость тела, совершающего гармонические колебания, изменяется по закону υ = 6 ∙ 10 sin(100t) мс . Записать уравнение гармонических колебаний. Найти максимальные значения для скорости и ускорения тела. 6. Уравнение колебаний материальной точки в единицах системы СИ имеет вид х = 0,05 cosωt . Определить амплитуду А, период колебаний Т, начальную фазу и значения скорости и ускорения в начальный момент времени. 7. Уравнение колебаний точки имеет вид x = 0,05 cosω(t + τ) , где ω = π c , τ = 0,2 с . Определить период Т и начальную фазу φ колебаний. 8. Определить период Т, частоту ν и начальную фазу φ колебаний, заданных уравнением y = A sinω(t + τ) , где ω = 2,5 π c , τ = 0,4 c 9. Точка совершает колебания по закону y = Asin (ωt + φ) , где А = 4 см. Определить начальную фазу, если y ( ) = 2 см, y ( ) , < 0. 10. Точка coвершает колебания по закону = Acos (ωt + φ), где А = 2 смрад. Построить графики зависимости от времени 1) смещение х) ; 2) скорости υ(t) ; 3) ускорения (t) . 11. Точка совершает, колебания с амплитудой А = 4 см и периодом Т = 2 с. Написать уравнение этих колебаний, считая, что в момент t = 0 смещения (0) = 0 и ′(0) < 0 . Определить фазу (ωt + φ) для, момента времени, когда скорость ′ = − 6 см/с и < 0. 12. Точка равномерно движется по окружности против часовой стрелки с периодом Т = 6 с. Диаметр окружности d = 20 см. Написать уравнение движения проекции точки на ось проходящую через центр окружности, если в момент времени, принятый за начальный, проекция на ось равна 0. Найти смещение , скорость υ и ускорение а, проекции точки в момент t = 1 c. 13. Дано уравнение гармонического колебания у = 2sin(πt/2 + π/4). Найдите амплитуду, период, частоту, циклическую частоту и начальную фазу колебаний, также значение максимальной скорости и скорости, а момент времени t = Т. 14. Уравнение колебаний материальной точки имеет вид Страницам. Определить амплитуду, период, начальную фазу и значение скорости и ускорения для момента времени t = 0,5 с. 15. Уравнение колебаний материальной точки имеет вид y = 0,1sin π (t + 1/3 ) (в единицах системы СИ. Определить амплитуду, период, начальную фазу и значение скорости и ускорения в начальный момент времени. 16. В начальный момент гармонического колебательного движения точка имеет максимальное смещение. Амплитуда равна А 2 см, частота ν = 3 c . Написать уравнение колебания. Чему равна скорость через t = 0,4 c после начала колебаний 17. Уравнение колебаний материальной точки массой 25 г имеет вид = 0,05sin3π t (в единицах СИ. Определить амплитуду, период и начальную фазу. Чему равна величина упругой силы в тот момент, когда смещение равно х 4 см 18. Уравнение движения точки х = sin t . Найти моменты времени, в которые достигается максимальная скорость и максимальное ускорение. 19. Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний Т с, амплитуда А = 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда смещение точки от положения равновесия x = 25 мм. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. При смещении точки от положения равновесия x = 2,4 см , скорость точки υ = 3 см/с, а при смещении x = 2,8 см, скорость точки υ = 2 см/с. Найти период и амплитуду этого колебания. Точка совершает колебания по закону = Acos(ωt + φ ) , где А см. Определить начальную фазу φ, если (0) = 2 см, υ = ′(0) > 0. Построить векторную диаграмму для момента t = 0. 22. Точка совершает колебания по закону = Acos(ωt + φ) где А 4 см. Определить начальную фазу φ, если (0) = −2√2 см, и υ(0) = ′(0) < 0. Постройте векторную диаграмму для момента t = 0. 23. Точка совершает колебания по закону = Acos(ωt + φ) , где А 4 см. Определить начальную фазу φ, если (0) = −2√3 см, и υ = ′(0) > 0. Построите векторную диаграмму для момента t = 0. 24. Точка свершает колебания с амплитудой А 4 см и периодом Т = с. Написать уравнение этих колебаний, считая, что в момент времени t = 0 смещение (0) = 0 , ′(0) < 0. Определить фазу (ωt + φ) для момента времени, когда смещение х = см и υ = ′(t) > 0. 25. В начальный момент колеблющаяся точка имеет максимальную положительную скорость. Определить смещение, скорость и ускорение точки спустя t = 1/12 с после начала колебания, если амплитуда колебаний А = 2 см, циклическая частота ω = 4 π c . Запишите уравнение колебаний точки с числовыми коэффициентами. 26. Определить смещение скорость и ускорение гармонически колеблющиеся точки через t = 0,01 с после начала движения, если амплитуда колебаний А = см и частота ν = 5c . В момент, выбранный за начальный, Страница 13 точка имела максимальное положительное смещение, Запишите уравнение колебаний точки с число ими коэффициентами в двух видах (через sinφ и cosφ ). 27. Точка совершает гармонические колебания с периодом Т си амплитудой А = 0,1 м. Определить скорость и ускорение в тот момент, когда смешение равном. Уравнение колебаний материальной точки имеет вид = 0,04sinπ t + м. Найти амплитуду, период, начальную фазу, значение скорости и ускорения в начальный момент, запишите уравнение этих колебаний через cosφ. 29. Точка совершает гармонические колебания с частотой ν = 10 Гц. В момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение = 1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить график. 30. Материальная точка совершает колебания по закону синуса. Наибольшее смещение точки А = 20 см наибольшая скорость υ = 40 см/с . Написать уравнение колебаний и найти максимальное ускорение точки. 31. В начальный момент колеблющаяся точка имеет максимальное положительное смещение. Определить смещение, скорость и ускорение спустя 0,4 периода после начала колебаний. Амплитуда колебания А = 5 см, период T = 0,1 с. Запишите уравнение колебаний точки в двух видах (через sinφ и cosφ) c числовыми коэффициентами. 32. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине её максимального значения 33. Определить максимальную скорость и максимальное ускорение точки, колеблющейся по закону х = 2cosπ(t + 1) см. 34. Oпределить максимальное значение скорости υ и ускорения точки, совершающей гармонически колебания с амплитудой А = 3 см и циклической частотой ω = π/2 c , 35. Материальная точка совершает колебания по закону х = Asinωt , где А = 6 см, ω = 2 c . Определить ускорение точки в момент времени, когда её скорость υ = 5 см/с. 36. Колебания точки происходят по закону х = Asinωt. В некоторый момент времени смещение х точки равно х = 2,5 см, её скорость υ = 10 см/с, ускорение a = −40 см/с . Найти амплитуду, циклическую частоту ω, период Т и фазу ωt колебания в рассматриваемый момент времени. 37. Смещение материальной точки описывается уравнением х Acosωt. Максимальное смещение точки А = 10 см . Через t = 1c после начала колебаний оно равно x = 5 см , через t = 2 с − 0 . Найти период колебания, уравнение смещения с числовыми, коэффициентами, максимальные скорость и ускорение, скорость и ускорение через t = с после начала движения. Страница 14 38. Материальная точка гармонически колеблется. Через t = 0.1 с после начала движения смещение течки от положения равновесия х = 5 см, скорость υ = 62 см/с, ускорение = −540см/с . Определить амплитуду, циклическую частоту и начальную фазу колебаний. 39. Амплитуда гармонического колебания А = 5 см, период Т = 4 с. Определить максимальные скорость и ускорение колеблющейся точки, если в начальный момент времени точка находилась в положении максимального смещения. 40. Через сколько времени после начала гармонических колебаний точки с периодом Т = 12 си безначальной фазы, она сместится от положения равновесия на расстояние, равное половине амплитуды 41. Максимальная скорость υ точки, совершающеё гармонические колебания, равна υ = 10 см/с, максимальное ускорение = 100 см/с Найти циклическую частоту ω колебаний, и период Т и амплитуду А . Написать уравнение колебаний, приняв начальную фазу равной нулю. Определить начальную фазу колебания тела, если через t = сот начала движения смещение было равно половине амплитуды. Период колебаний Т = 6 с. Колебания точки совершаются по закону хм. Определить наибольшее значение скорости и ускорения. Чему равна фаза колебаний спустя t = 5 сот начала движения. 44. Через сколько времени от начала движения точка, совершающая колебательное движение по закону х = 7sin0,5πt , проходит путь от положения равновесия до максимального смещения 45. Материальная точка, совершая гармонические колебания, имеет наибольшее значение отклонение от положения равновесия x = 5 см и совершает 30 полных колебаний за t = 1 мин 30 сек. Составьте уравнение колебаний. 46. Частица совершает гармонические колебания с периодом Т, амплитудой A. Найти t , за которое смещение частицы изменяется от 0 до A/2? 47. Частица колеблется вдоль оси х по закону x = 0,1sin6,28t (м. Найти среднее значение модуля скорости частицы за период Т. 48. Частица колеблется по закону хм. Найти среднее значение модуля скорости частицы за первую 1/8 часть периода. 49. Точка колеблется по закону x = 0,6cos( t + ). Найти амплитуду, период, начальную фазу, атак же смещение и скорость точки в момент t = 0. 50. Найдите амплитуды скорости и ускорения материальной точки, которая гармонически колеблется по закону x = 8cos( , t + ). Чему равны смещение и скорость в начальный момент времени 51. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, равна W = 2 ∙ 10 Дж, максимальная сила, действующая на тело, F = 10 ∙ 10 H. Написать уравнение движения этого тела, если период колебаний Т 2 си начальная фаза φ = 30°. Страница 15 52. Чему равно отношение кинетической энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии для моментов времени 1) t = T/12 c; 2) t = T/8 c; 3) t = T/6 c. Начальная фаза колебаний равна нулю. 53. Какую часть от своего максимального значения составляет упругая сила, действующая при гармоническом колебательном движении на материальную точку в тот момент, когда ее кинетическая энергия равна четверти от полной механической энергии колеблющейся точки 54. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид x = 0,05sin2t (ед. СИ. Найти момент времени (ближайший к началу отсчета) в который потенциальная энергия W = 10 Дж , а возвращается сила F = 5 ∙ 10 H . Найти также фазу колебаний в этот момент времени. 55. Тело массой m = 5 г совершает колебаний, которые в системе СИ описывается уравнением x = 0,1sin(π/2(t + 1/3)) . Найти численные значения кинетической и потенциальной энергии тела через t = 20 сот начала движения. Чему равна полная энергия тела 56. Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, W = 5 ∙ 10 Дж , амплитуда колебаний А = 2 ∙ 10 м . Определить 1) смещение, при котором на тело действует сила F = 2,25 ∙ 10 H; 2) максимальную силу, действующую на тело. 57. Тело массой m = 5 г совершает колебание, которое в системе СИ описывается уравнением x = 0,1cos (t + 1/2). Найти численные значения кинетической и потенциальной энергии тела через t = 10 сот начала движения. Чему равна полная энергия тела 58. Колебания материальной точки m = 0,1 г происходят по уравнению x = Acosωt , где A = 5 см, ω = 20 Найти максимальное значение возвращающей силы. 59. Материальная точка совершает гармоническое колебательное движение с амплитудой A = 5 см . Определить значения кинетической, потенциальной и полной энергии для того момента, когда на точку действует максимальная упругая сила, равная F = 0,2 H. 60. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид x = 5sin2t (длина – в сантиметрах, время – в секундах. В момент, когда возвращающая сила впервые приняла значение F = 5 мН , точка обладала потенциальной энергий П 0,1 мДж. Найти этот момент времени t и соответствующую ему фазу φ колебания. 61. Тело массой m = 5 г совершает колебание, которое описывается уравнением x = 0,1sin t +Найти значения кинетической и потенциальной энергии тела через t = 20 сот момента времени (0) = 0 . Чему равна полная энергия тела 62. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, равна W = 3 ∙ 10 Дж, максимальная сила, действующая на тело, равна F = 1,5 ∙ 10 H . Написать уравнение движения этого тела, если Страница 16 период колебаний равен T = си начальная фаза φ = 60° . Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 2 см ., полная энергия колебаний W = 3 ∙ 10 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 2,25 ∙ 10 H? 63. Чему равно максимальное значение упругой силы, действующей на материальную точку, колеблющуюся с амплитудой А = 12 см , если полная механическая энергия точки равна W = 0,03 Дж 64. Какую часть от своего максимального значения составляет упругая сила, действующая при гармоническом колебательном движении материальной точки, в тот момент, когда ее кинетическая энергия равна одной трети от полной механической энергии колеблющейся точки 65. Уравнение колебаний материальной точки массой m = 0,01 г имеет вид x = 0,05sinπ(0,2t + 0,25) м . Найти закон изменения силы и значение ее, когда точка находится в крайнем положении. 66. Материальная точка массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2 си начальной фазой, равной нулю. Полная энергия колеблющейся точки W = 0,1 мДж. Найти амплитуду колебаний и смещение точки в момент t = 3 c. 67. Чему равна кинетическая энергия колебаний материальной точки в тот момент, когда смещение хм Амплитуда колебаний A = 0,15 м, масса точки m = 0,2 кг. 68. На математический маятник длиной = 1 ми массой m = 10 г момент t = 0 действует максимальная квазиупругая сила. Найти мгновенное значение силы для момента времени t = 1,5 с , а также значение полной энергии. 69. Грузик массой m = 250 г подвешенный к пружине, колеблется с периодом Т = 1 си с амплитудой А = 2 см . Найти полную энергию и максимальное значение возвращающей силы, действующей на грузик. 70. Материальная точка массой m = 50 г совершает колебания по закону x = Acosωt, где А = 0,1 м, ω = 5 c . Найти силу, действующую на точку, когда фаза ωt = 2π/5 , а также в положении наибольшего смещения. 71. Гиря, подвешенная на пружине, колеблется по вертикале с амплитудой А = 4 см . найти полную энергию W колебаний гири, если жесткость пружины k = 1 кН/м? 72. Уравнение колебаний материальной точки массой m = 16 г имеет вид x = 2sin( t + ) см. Найти максимальную силу, действующую на точку и кинетическую и потенциальную энергию точки для моментов времени t = 0; t = ; t = ; t = ; t = Т. Построить график зависимости каждой энергии от времени. Чему равно отношение кинетической энергии к потенциальной для точки, совершающей гармонические колебания, в моменты, когда смещение от положения равновесия х Ах А Страница 17 74. Уравнение движения точки массой m=20 г дано в виде х 2sin ( t + ) см . Найти моменты времени, в которые кинетическая энергия максимальна. Чему равно значение кинетической и потенциальной энергии точки в моменты, когда 1) смещение максимально 2) равно одной восьмой от максимального значения 75. Определить массу тела, совершающего гармонические колебания с амплитудой и А 0,10 м, частотой ν = 2,0 Гц и начальной фазой φ = 30°, если полная энергия колебаний W = 7,7 мДж. Через сколько секунд от начала отсчета времени кинетическая энергия будет равна потенциальной 76. Найти величину скорости, ускорения и силы, действующей на точку в момент, когда смещение равно х 1,5 см, если ее масса m = 10 г. частота колебаний ν = 1 Гц, амплитуда А = 5 см. 77. Найти силу, действующую на точку, если ее масса m=60 г, ν = 5 c , уравнение колебаний имеет вид х Acosωt для момента времени, когда фаза равна t = . Амплитуда колебаний А = 0,06 см. 78. Колебания материальной точки m=0,1 г происходят по уравнению x = Acosωt , где А = 5 см , ν = 20 c . Найти максимальное значение возвращающей силы Fm, а также мгновенное значение для момента времени t = с. 79. На тело массой m = 0,1 кг действует силах (Н, где х – смещение. В начальный момент времени смещение тела x = 1,72 см , а через t = 0,3 с оно стало максимальным. Напишите кинематическое уравнение движения, найдите также скорость и ускорение точки. 80. Чему равно максимальное значение упругой силы F, действующей на материальную точку, колеблющуюся с амплитудой А = 0,12 м , если полная механическая энергия точки W = 0,03 Дж 81. Какую часть от своего максимального значения составляет упругая сила, действующая при гармоническом колебательном движении материальной точки в тот момент, когда ее кинетическая энергия равна половине от полной механической энергии колеблющейся точки. 82. Чему равно для гармонически колеблющейся точки отношение кинетической энергии к потенциальной для момента времени, когда смещение точки то положения равновесия х = А, где А – амплитуда колебаний 83. Чему равно для гармонически колеблющейся точки отношение кинетической энергии и потенциальной для момента времени, когда смещение точки от положения равновесия х = А А – амплитуда колебаний. 84. Точка колеблется по закону хм) Определить смещение, скорость, возвращающую силу и потенциальную энергию для t = 1/6 c от момента начала колебаний. 85. Какова масса тела, если она совершает гармонические колебания с амплитудой А 0,2 м, частотой ν = 2c , начальной фазой φ = π/6 , если полная энергия W = 5,4 мДж Через сколько времени кинетическая энергия станет равна потенциальной Страница 18 86. В начальный момент времени смещение точки x = 4,2 м, а скорость υ = 3,2 мс . Масса частицы m = 4 кг , полная энергия W = 79,5 Дж . Написать закон гармонического колебания точки. 87. Материальная точка массой m = 10 кг колеблется по закону x = 5sin( t + ) см. Найти максимальную силу, действующую на точку и полную энергию колеблющейся точки, амплитуду скорости и амплитуду ускорения. 88. Материальная точка массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вед х = Asinωt , где A = 0,2 м , ω = 8π c . Найти возвращающую силу F в момент времени t = 0,1 с, а также полную энергию точки. 89. Шарик массой m = 0,010 кг совершает гармонические колебания с амплитудой А = 0,03 ми частотой ν = 10 c . Начальная фаза колебании равна нулю, получите закон изменения силы, действующей на шарик. Определите а) полную энергию шарика б) значение действующей силы и отношение потенциальной энергии к кинетической для момента времени, когда шарик удален от положения равновесия на хм. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 5 см . Найти значения кинетической, потенциальной и полной энергии для того момента, когда на тело будет действовать максимальная упругая сила F = 0,2 Н. 91. В некоторый момент времени упругая сила, действующая на колеблющуюся точку, равна половине ее максимального значения какую часть от ее максимального значения составляет в этот момент кинетическая энергия точки 92. Колеблющаяся точка массы m = 0,02 кг имеет амплитуду колебаний Ас. Определить, чему равна кинетическая, потенциальная и полная энергия, в тот момент, когда смещение X точки составляет половину амплитуды. Период колебаний точки Т = с. 93. Материальная точка массой m = 0,1 г колеблется согласно уравнению x = 5sin20t (длина - в сантиметрах, время - в секундах. Определить максимальное значение возвращающей силы F и кинетической энергии W точки. 94. Материальная точка массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид x = 0,2sin8πt (длина в сантиметрах, время – в секундах. Найти возвращающую силу в момент t = 0,1 с, а также полную энергию точки. 95. К пружине подвешен груз. Зная, что максимальная кинетическая энергия колебания груза равна W = Дж, найти коэффициент деформации пружины. Амплитуда колебаний А 5 см. 96. В некоторый момент упругая сила, действующая на гармонически колеблющуюся точку, равна половине ее максимального значения. Какую часть от максимального значения составляет в этот момент кинетическая энергия точки Страница 19 97. Точка совершает колебаниях мВ момент, когда возвращающая сила впервые достигла значение F = 10 H , точка обладает энергией W = 2 ∙ 10 Дж . Найти этот момент времени t и соответствующую ему фазу колебаний. 98. Точка совершает колебания, описываемые уравнением x = 5sin2t мВ некоторый момент времени сила, действующая на точку, и её потенциальная энергия соответственно равны F = 5 ∙ 10 H и W = 10 Дж. Чему равна фаза колебаний и кинетическая энергия точки в этот момент времени 99. Определите значение кинетической, потенциальной и полной энергии колеблющейся материальной точки массой m = 25 г для того момента времени, когда смещение равно х 3 см . Амплитуда колебаний А = 3 см, период Т = 2 с. 100. Скорость тела, совершающего гармонические колебания, изменяется по закону v = 300sin100t (мс. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию тела для момента t = с, если масса тела m = 16 г. 101. Амплитуды и периоды двух совершаемые одновременно вдоль одной прямой, гармонических колебаний материальной точки одинаковы, фазы же различаются на 2/3 π. Уравнение результирующего колебания имеет вид x = 0,2cos(ωt + π) м. Определить амплитуды и начальные фазы слагаемых колебаний и написать их уравнения. 102. Уравнение биений материальной точки имеет вид x = (0,1cos0,01t)cos0,99t . Написать уравнение слагаемых колебаний и определить частоту биений. 103. Точка совершает 2 взаимно перпендикулярных колебаний происходящих по закону x = 1/2sint, x = 2cost. Найти уравнение траектории точки. 104. Складываются 2 взаимно перпендикулярных колебания x = A sinω t , y = A cos ω t , где A = 3 см, A = 4 см , ω = ω = 2 c . Написать уравнение траектории точки. 105. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых имеют вид хи в системе СИ. Определите траекторию движения точка по кривой. Рассчитайте и укажите на чертеже скорость и ускорение точки в момент t = T/3. 106. Складываются два колебания одинакового направления и одинакового периода x = A sinω t и x = A sinω (t + τ) , где A = A = 3 см ω = ω = π c ; τ = 0,5c . Определить амплитуду Аи начальную фазу φ результирующего колебания. Написать его уравнение. Построить векторную диаграмму для момента времени t = 0. 107. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях происходящих согласно уравнениям хи, где A = см , ω = 1 c , Страница 20 A = 4 см , ω = 2 c . Определить траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба, указать направление движения точки. 108. Точка совершает, одновременно два колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениями выражаемых уравнениями x = A sinω t и y = A cosω t , где A = 2 см, ω = 1 c , A = 2 м, ω = 2 c . Найти уравнение траектории, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. 109. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями хи, где A = 4 см , A2=6 см ω = 2 ω Найти уравнение траектории точки и построить её на чертеже показать направление движения точки. 110. Материальная точка участвует в двух колебаниях, проходящих по одной прямой и выражаемых уравнениями x = A sinω t , x = A cosω t , где A = 3 см , A = 4 см , ω = ω = 2 c . Найти амплитуду А сложного движения, его частоту ν и начальную фазу φ написать уравнение движения. Построить векторную диаграмму для момента времени t = 0. 111. Материальная точка участвует в двух колебаниях, происходящих по одной прямой и выражаемых уравнениями x = sint и x = 2cost амплитуда в сантиметрах, время - в секундах. Найти амплитуду сложного движения, его частоту и начальную фазу написать уравнение движения. 112. Складываются два колебания одинакового направления и одинакового периода x = sinπt и x = sinπ(t + 0,5) (длина - в сантиметрах, время - в секунде. Определить амплитуду Аи начальную фазу φ результирующего колебания. Написать его уравнение. 113. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениями выражаемых уравнениями х = sin , y = cost (длина в сантиметрах, время в секундах. Найти уравнение траектории, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. 114. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно, перпендикулярных колебаниях, происходящих согласно уравнениям хи (длина в сантиметрах, время - в секундах. Определить траекторию точки траекторию с соблюдением масштаба, узнать направление движения точки. 115. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярны колебаниях, уравнения которых имеют вид : хи. Определить траекторию движения точки и начертить ее с соблюдением масштаба. Если точка движется по замкнутой кривой, то укажите направление движения. Если же траектория движения незамкнута, то покажите пределы ее. 116. Материальная точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одной прямой и имеющих одинаковые амплитуды и частоты, но отличающиеся по фазе на π/3 . Уравнение смещения результирующего колебания в единицах системы СГС имеет вид Страницах. Определить амплитуды и начальные фазы слагаемых колебаний и написать уравнение этих колебаний. 117. Материальная точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одной прямой. Уравнения слагаемых колебаний в единицах системы СИ имеют вид x = 0,08cosπ + , x = 0,12cos (2πνt + π/3). Написать уравнение результирующего колебания и определить его амплитуду и начальную фазу. 118. Материальная точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одной прямой и имеющих вид x = cos 10t + , и x = cos 9t +Написать уравнение результирующего колебания и определить частоту биений. 119. Материальная точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одной прямой и имеющих вид хи. Написать уравнение результирующего колебания и определить частоту биений. 120. Материальная точка участвуем одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одной прямой и имеющих вид хи у = 3cosπ ( t + Написать уравнение результирующего колебания и определить частоту биений. 121. Материальная точка участвует, одновременна в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одной прямой и имеющих вид хи. Написать уравнение результирующего колебания и определить частоту биений. 122. Точка совершает 2 взаимно перпендикулярных колебания, происходящих по закону х = sint, y = 2 cost . Найти уравнение траектории точки. 123. Складываются два гармонических колебания одного направления с периодами Т = 0,5 си амплитудами А = 2 см. Начальные фазы φ = π/2 и φ = π/3. Определить вид результирующего колебания. 124. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями хи где A = 2 см, A = см. Найти уравнение траектории и построить ее. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях происходящих по взаимно перпендикулярным направлениями описываемых уравнениями хи у = A cos2ωt. Найти уравнение траектории точки, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление, движения. Принять A = 2 см , A = 3 см. 126. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям описываемых уравнениями хи. Найти уравнение траектории точки, построить eё с соблюдением масштаба к указать направление движения Принять A = 2 см, A = 5 см. Страница 22 127. Точке участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих но взаимно перпендикулярным направлениями описываемых уравнениями хи. Найти уравнение траектории точки, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять A = 2 см, A = 3 см. 128. Два камертона звучат одновременно. Частоты ν и ν их колебаний соответственно равны 440 Гц и 440,5 Гц . Определить период биений и период сложных колебаний. 129. Движение точки задано уравнениями хи у = A sinω(t + τ) , где A = 10 см , A = 5 см, ω = 2 c , τ = π/4 . Найти уравнение траектории и скорости точки в момент времени t = 0,5 с. 130. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями x = A cosωt и у = A sinωt , где A = см, A = 1 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения. 131. Точка одновременно совершает два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениями выражаемых уравнениями хи у = A cosωt, где A = 0,5 см, A = 2 см . Найти уравнение траектории точки и построить её указав направление движения. 132. Тоже что в задаче 131 если уравнения колебаний имеют вид хи у = − cosπ(t + 0,5). 133. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, происходящих согласно уравнениям х = A cosω t , у = A sinω t , где A = см , ω = 1 c , A = 2 см , ω = 1 c . Определить траекторию точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба, указав направление движения, точки. 134. Точка совершает одновременно две гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениями выражаемых уравнениями хи у = A cosω t, где A = 1 см, ω = 0,5 c , A = 1 см , ω = 1 c . Найти уравнение траектории, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. 135. Складываются два колебания одинакового направления и одинакового периода x = A sinω t и x = A sinω(t + τ) , где A = 4 см, A = 1 см, ω = ω = π c , τ = 0,5. Определить амплитуду Аи начальную фазу φ результирующего колебания. Написать его уравнение. 136. Точка участвует одновременно а двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнение которых хи у = A cosω t , где A = 2 см, A = 1 см, ω = ω = 1 c . Написать уравнение траектории и построить ее не чертеже показать направление движения точки. 137. Материальная точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одной прямой. Уравнения слагаемых колебаний в единицах системы СГС имеют вид x = 5cosπt и x = 12cosπ(t + 0,5) . Написать уравнение результирующего колебания и определить его амплитуду и начальную фазу. Страница 23 138. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых имеют вид хи у = 0,10cos3πt в системе СИ. Определите траекторию движения точки, начертите ее с соблюдением масштаба и указанием ее пределов. Рассчитайте и укажите на чертеже скорость и ускорение точки в начальный момент. 139. Тоже, если уравнения колебаний имеют вид хи у = 0,10sin в системе СИ. Тоже, если уравнения колебаний имеют вид хи у = − cosπ(t + 0,5) в системе СИ. 141. Тоже, если уравнения колебаний имеют вид хи у = 0,30cosπt в системе СИ. 142. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых имеют вид х = sinπt, у = sinπ(t + 0,5) . Определите траекторию движения точки и начертите ее с соблюдением масштаба. Если точка движется по замкнутой кривой, то укажите направление движения. Если же траектория движения незамкнута, то покажите пределы ее. 143. Тоже что в задаче 142, если уравнения колебаний имеют вид хи ум. Тоже что в задаче 142, если уравнения колебаний имеют вид хи ум. Тоже что в задаче 142, если уравнения колебаний имеют вид хм и ум. Тоже что в задаче 142, если уравнения колебаний имеют вид хм и ум. Тоже что в задаче 142, если уравнения колебаний имеют вид хм и ум. Тоже что в задаче 142, если уравнения колебаний имеют вид хм и ум. Тоже что в задаче 142, если уравнения колебаний имеют вид хм, ум. Маятник длиной = 50 м подвешен в кабине самолета, летящего горизонтально. Определить частоту колебаний маятника при ускорении самолета = 3 мс . 151. Маятник, представляющий собой грузна невесомой нити длиной = 1 м, совершает колебательное движение с амплитудой А = 50 см. При этом максимальная сила напряжения подвески F = 100 Н. Найти массу m груза. 152. Н какую часть надо уменьшить длину массу математического маятника, чтобы периоды его колебаний на высоте h и на поверхности Земли были равны. 153. На концах стержня, масса которого m = 60 г, и длина = 49 см , укреплены два шарика массами m = 70 г и m = 90 г, и стержень подвешен так, что может совершать колебания около Страница 24 горизонтальной оси, проходящей черва его середину. Определить период малых колебаний стержня. 154. Математический маятник глиной = 40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной = 60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние d центра тяжести стержня от оси колебаний. 155. Период колебаний тонкого однородного стержня относительно горизонтальной оси перпендикулярной стержню и проходящей на расстоянии от его середины, равен периоду колебаний того же стержня относительно параллельной оси, проходящей через конец стержня. Какую часть составляет от длины стержня. 156. Один конец пружины закреплен неподвижно, к другому ее концу подвесили гирьку массой m = 250 г. После того, как гирьку оттянули вниз и затем отпустили, она начала колебаться е частотой равной ν = 2 Определить жесткость пружины. Какой массы грузик следует прикрепить к этой пружине, чтобы его колебания были с периодом Т = с 157. Обруч радиусом R =10 см подвешен на гвозде, вбитом в стену. С какой частотой будет колебаться обруч, если его отклонить на небольшой угол в направлении, параллельном стене, и затем отпустить Плоскость обруча параллельна стене. 158. Верхний конец пружины закреплен неподвижно. К нижнему его концу подвесили грузик, вследствие чего пружина растянулась на 5 см. С каким периодом будет совершать колебания грузик, если его немного оттянуть вниз и зятем отпустить 159. На концах легкого стержня длиной = 70 см. укреплены два одинаковых груза. Стержень с грузами совершает колебания около оси перпендикулярной стержню и проводящей между грузами на расстоянии d = 25 см от одного из них. Определять период колебаний. Массой стержня и размерами грузов пренебречь. 160. Математически маятник длиной = 8 см. в начальный момент имеет максимальную скорость, равную υ = 20 см/с . Определить амплитуду, круговую частоту, начальную фазу и написать уравнение смещения, подставки в него найденные значения в единицах системы СИ. 161. Математический маятник длиной = 180 м совершает гармонические колебания амплитудой А = 17 см . При каком смещении скорость маятника равна υ = 33 см/с? 162. Однородный тонкий стержень длиной = 1,2 м совершает гармоническое колебательное движение. Горизонтальная ось колебаний проходит через конец стержня. Определить период колебаний Т. 1бЗ. Шарик, подвешенный на нити длиной = 2 м , отклоняют на угол φ = 4° и наблюдают колебания. Полагая колебания незатухающими гармоническими, найти скорость шарика при прохождении им положения равновесия. Проверить полученное решение, найдя скорость шарика при прохождении им положения равновесия из уравнений механики. Страница 25 164. К пружине подвешен груз Р = 100 Н. Зная, что пружина под влиянием силы F = 10 Н растягивается на ∆x = 1,5 см, определить период вертикальных колебаний груза. 165. За какое время маятник отклонился от положения равновесия наполовину амплитуды, если период Т = 7,2 с Начальная фаза равна нулю. 166. К спиральной пружине подвесили груз, масса которого m = 0,1 кг знaчитeльно больше массы пружины, при этом пружина удлинилась на ∆x = 5 см. Потом груз оттянули на ∆x = 3 см и отпустили. Определить уравнение смещения груза, скорость в момент прохождения равновесия, полную энергию колеблющегося груза, соотношение между периодом колебаний кинетической (потенциальной) энергии периодом свободных колебаний 167. Математический маятник длиной = 180 см совершает гармонические колебания с амплитудой А = 17 см. При каком смешении скорость маятника равна υ = 35 см/с? 168. Чему равна скорость колебаний математического маятника длиной = 125 см в тот момент, когда смешение равно х = 5 см Амплитуда колебаний А = см. 169. Математический маятник длиной = 0,4 ми физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной = 0,6 м синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние d цент масс стержня от оси колебаний. 170. На математический маятник длиной = 1,25 ми массой m = 5 г в начальный момент действует максимальная квазиупругая сила F = 2 Н . Определить амплитуду, начальную фазу, написать уравнение смещения. 171. К пружине подвешен груз массой m = 10 г. Зная, что пружина под влиянием силы F = 2,45 Н растягивается на величину = 1,5 см , найти период вертикальных колебаний груза. 172. Определить скорость колебаний математического маятника длиной = 140 см в тот момент, когда ускорение колебаний равно = 35 см . Амплитуда колебаний А = 11 см. Однородный диск радиусом R = 30 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности писка. Определить период колебаний диска. 174. На стержне длиной = 30 см укреплены два одинаковых грузика: один - в середине стержня, другой - на одном из его концов. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину L и период Т колебаний. Массой стержня пренебречь. 175. Стержень длиной = 40 см колеблется около пси, перпендикулярной стержню и проходящей через его верхний конец. Определить период колебаний такого маятника. 176. Диск радиусом R = 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно к Страница 26 плоскости диска. Определить приведенную длину L и период колебаний Т такого диска. 177. Качаясь, маятник проходит расстояние х = 4 см от одного крайнего положения до другого и другого и достигает средней точки скорости = 10 мс. Найти период его колебаний Т. 178. Амплитуда колебаний математического маятника А = 0,04 м, длинам. Определить ускорение в тот момент, когда скорость равна = 0,1 мс. 179. Математический маятник за Т смещается на х = см. С какой амплитудой колеблется маятник Начальная фаза колебаний равна π. Точка колеблется по закону косинуса. 180. Шарик повешен на невесомой нити длиной = 36 см . Определить период этого маятника, если он помещен в электрическое поле напряженностью Е = 3 ∙ 10 В/м, направленной вертикально вниз. Заряд шарика Q = −7 нКл, масса m = г. 181. Определить ускорение свободного падения на Луне, если маятниковые часы идут на её поверхности враз медленнее, чем на земле. 182. Стержень длиной = 50 см совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку, которая расположена на расстоянии, = 12,5 см от конца стержня. Определись частоту колебаний стержня. 183. Как относятся длины математических маятников, если за одинаковое время один из них совершает N = 30 , а второй N = ? колебаний 184. Один из двух маятников совершает заодно и тоже время ∆N = 30 колебаний меньше другого. Отношение их длин = 9: 4 , Определить количество колебаний каждого маятника за это время. 185. Ареометр массой m и поперечным сечением S помещен в жидкость плотностью ρ . Ареометр погружают в жидкость несколько глубже, чем при равновесии, а затем отпускают. Определите период малых колебаний и укажите, как будет меняться период колебаний при изменении массы и плотности. 186. Маятниковые часы, идущие точно на уровне моря, подняты на высоту h = 2 км. Сколько потребуется времени для тог, чтобы по часам на этой высоте прошли одни сутки 187. Маятниковые часы находятся на высоте h = 3 км. Над уровнем моря. Насколько будут уходить вперед за сутки маятниковые часы, выверенные на этой высоте, если их перенести на уровень моря 188. Секундный маятник длиной = 1 м отрегулирован при температуре T = 273 К. Период колебании секундного маятника Т = 2 с, а коэффициент его линейного расширения α = 1,2 ∙ 10 K . Насколько секунд изменится этот период летом при температуре T = К 189. Математический маятник совершает колебания, амплитуда которых А = 0,03 м, а период колебаний Т = 3,9 с . Определить наибольшую скорость маятника. Страница 27 190. Маятник колеблется с периодом Т. Во сколько раз изменится период маятника в лифте, который движется с ускорением = 4,8 м : а) направленным вниз, б) направленным вверх 191. Как изменится период колебаний математического маятника при перемещении его точки подвеса а) в горизонтальном направлении с ускорением = 1,4 м ; б) в вагоне, движущимся со скоростью v = 90 мс на повороте железнодорожного пути радиусом R = 90 м 192. Маятник периодом T = 1 с представляет собой шарик массой m = г . Шарик, подвешенный на нитке из диэлектрика, заряжают отрицательным зарядом и помещают в электрическое поле, вектор напряжённости которого направлен вертикально вверх. Период колебаний маятника Т = 0,8 с. Вычислить силу действия электрического поляна шарик. 193. Определить ускорение силы тяжести на поверхности Юпитера, если математический маятник длиной = 0,66 м колеблется там с периодом Т = с. 194. Математический маятник подвешен к потолку электропоезда. Во сколько раз изменится его период колебаний, если вагону сообщить горизонтальное ускорение " а "? 195. Однородный диск радиусом R = 0,1 м совершает колебания вокруг горизонтальной оси, которая проходит через точку, расположенную на расстоянии R /2 от центра диска, и перпендикулярна плоскости диска. Определить частоту колебаний диска. 196*. Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к параллельному соединению 197*. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый такого же радиуса 198*. К пружине подвешена чашка весов с гирями. При этом период вертикальных колебаний равен Т = 0,5 с. Посте того, как на чашку весов положили еще добавочные гири, период вертикальных колебаний стал равен T = с . Насколько удлинилась пружина от прибавления этого добавочного груза 199*. К резиновому шнуру длиной = 40 см и радиусом R = 1 мм подвешена гиря весом Р = Н. Зная, что модуль Юнга этой резины равен Е = 0,3 ∙ 10 Н , найти период вертикальных колебаний гири. Точка участвует одновременно в трек колебаниях, происходящих по одной прямой и выраженных уравнениями x = 2cost, x = −2sin(t − ), x = 2cos(t + ) (смещение дано в сантиметрах. Определить амплитуду A и начальную фазу φ результирующего колебания. 201*. Путь, равный амплитуде, колеблющаяся точка проходит от положения равновесия за четверть периода. Найти отношение путей, которые проходит точка за первую и вторую половины этого времени. Начальная фаза равна нулю. Страница 28 202*. На чашу весов, подвешенную на пружине, падает с высоты h груз массы m и остается на чашке. Коэффициент жесткости пружины k .Мааса пружины и чашки по сравнению с массой груза мала. Удар груза о чашку считать абсолютно неупругим. Определить зависимость смешения груза на чашке от времени. За начало наблюдения принять момент наинизшего положения груза. 203*. Однородный прямоугольный стержень длиной колеблется вертикальной плоскости около горизонтальной оси, которая может перемазаться вдоль длины стержня. Определить зависимость периода и колебаний от расстояния между осью вращения и центром массы наименьший период колебаний стержня при малых отклонениях от положения равновесия. 204*. Из однородного диска радиусом R сделали физический маятник. Вначале ось проходит через одну из образующих диска, потом на расстоянии R/2 от центра диска, параллельно первой оси. Определить отношение периодов колебаний диска расстояние т центра до оси, перпендикулярной к плоскости диска, относительно которой период колебаний наименьший. 205*. Чему равна при гармоническом колебании работа А квазиупругой силы за время, рваное периоду колебаний 206*. Найти уравнение, связывающее значение импульса p = mx со значениями координаты х одномерного гармонического осциллятора. Масса осциллятора m, частота ω , амплитуда колебаний А. 207*. На каком расстоянии хот центра нужно подвесить тонкий стержень заданной длины , чтобы получить физический маятник, колеблющийся с максимальной частотой Чему равно значение этой частоты 208*. В кабине лифта подвешен маятник, период колебаний которого, когда лифт неподвижен, равен T . а) Каков будет период Т колебаний маятника, если лифт станет опускаться с ускорением, равным 0,75g ? б) С каким ускорением a нужно поднимать лифт чтобы период колебаний маятника был равен 0,5 T ? Страница 29 ТЕМА № 10 МЕХАНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ Контрольные вопросы 1. Какие колебания называются затухающими Почему происходит затухание В чем заключается физический смысл коэффициента затухания, как он определяется Как выражается частота затухающих колебаний Как изменяется амплитуда свободных (затухающих) колебаний 2. Какие колебания называются вынужденными Как определяется их амплитуда Чему равен сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой В чем заключается явление резонанса и когда оно возникает Чему равна резонансная частота 3. Опишите колебательные процессы, происходящие в колебательном контуре без сопротивления. Как меняются мгновенные значения заряда, напряжения и тока Как определяется период собственных электромагнитных колебаний в контуре Как преобразуется энергия в контуре 4. Получите дифференциальные уравнения для случая собственных и вынужденных колебаний (механических и электрических. 5. Как меняются заряд, напряжение и сила тока стечением времени в случае затухающих колебаний Чему равен логарифмический декремент колебания, в чем его смысл Что характеризует коэффициент затухания 6. Разберите методом векторных диаграмм вынужденные электрические колебания. Чему равно максимальное значение тока при вынужденных колебаниях Как связаны между собой максимальные значения напряжения, тока, заряда 7. В чем заключается резонанс напряжений Резонанс токов Методические указания к решению задач. При решении задач на свободные затухающие колебания учитывается, что их период зависит от величины коэффициента затухания и больше собственного, а частота – соответственно меньше собственной. Во многих задачах, когда сопротивление среды незначительно, его влиянием на частоту и период пренебрегают ( ≪ ) и рассчитывают эти величины слабозатухающих колебаний как для собственных. Во многих задачах необходимо выразить логарифмический декремент колебаний системы или коэффициент затухания, это достигается, если записать выражения для амплитуд колебаний в равные моменты времени, и взять отношение этих амплитуд. Тоже относится к электрическим колебаниям, где речь идет об отношении амплитудных значений заряда, тока, напряжения. При определении параметров электрических колебаний, как ив случае механических, сравниваются заданное уравнение колебаний с законом изменения соответствующей величины – заряда, напряжения или тока (в соответствии с условием задачи. При этом используются связи между Страница 30 амплитудными значениями заряда, напряжения и тока, а также частотой и периодом. В основном же методы решения задач на электромагнитные колебания сходны с методами решения задач на механические колебания в силу одинаковой структуры уравнений и основных закономерностей. При этом, заряд соответствует смещению, индуктивность – массе, емкость – величине, обратной коэффициенту квазиупругой силы, омическое сопротивление – коэффициенту сопротивления среды. Примеры решения задач Задача 1. Определите логарифмический декремент колебаний маленького шарика, подвешенного на длинной невесомой нити данной = 0,5 м, если за время = 8 мин. он теряет 99% своей энергии. Решение. Полная энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды. Амплитуда затухающего колебания = (1) Из отношения конечной ( по истечении = 8 мини начальной энергии можно найти величину коэффициента затухания. Для определения логарифмического декремента надо знать период колебаний математического маятника. Используя соотношение (1), можно написать ≈ ; ≈ ( ) , (2) где t – заданный промежуток времени, Е и E2 - значения энергий маятника в моменты времени, разделенные промежутком τ . Из условия = 0,01. Подставив сюда выражения (2), получим = 0,01 Отсюда − 2 = ln 0.01; −2 = −4,6 = 4,8 ∙ с Период колебаний шарика рассчитываем по формуле математического маятника = 2 ℓ = 1,46 Логарифмический декремент = δ = 4,8 ∙ 10 ∙ 1,4 = 6,7 ∙ 10 Задача 2. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 5 мкФ и катушки индуктивностью 0,2 Гн. Определить максимальную силу тока в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора 90 В. Сопротивление контура пренебречь. Решение. Страница 31 При пренебрежимо малом сопротивлении колебания в контуре будут незатухающи и заряд на обкладках конденсатора изменяется со временем по формуле = ( + ) (1) где - амплитуда колебания заряда, - начальная фаза, - циклическая частота свободных незатухающих колебаний = √ (2) Сила, тока есть производная от заряда повремени. Поэтому, дифференцируя обе части (1) повремени, получим для силы тока в контуре ℐ = = cos( + ) Величина = является амплитудным или максимальным значением тока в контуре. Подставив из формулы (2), и учитывая, что = определим искомую величину ℐ = = √ = = В ∙ 10 Ф Гн = 0,45 Этот же результат легко получить на основании закона сохранения энергии. Полная энергия контура (в случае незатухающих колебаний равна сумме энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки ℐ ) остается постоянной. При этом, в те моменты, когда конденсатор максимально заряжен ( = ), сила тока равна нулю. Следовательно, полная энергия контура В то время, когда конденсатор заряжен ( = 0 ) сила тока достигает максимальное значение ℐ . Полная энергия контура при этом = ℐ Приравнивая правые и левые части (3) и (4), мы получим ℐ = Задача. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 5,0 Гни конденсатора емкостью C = 0,2 мкФ. При этом логарифмическом декременте энергии колебательного контура уменьшиться на один порядок затри полных колебания Решение. Полная энергия контура, в котором происходят электромагнитные колебания, прямо пропорциональна квадрату амплитуды, например, напряжение на обкладках конденсатора. За счет омического сопротивления колебания будут затухающими и амплитуда напряжения (а также силы тока в других величин) – монотонно убывает со временем = sin(ωt + α) (1) где - постоянная величина, зависящая от начальных условий, то есть амплитудное значение напряжения в момент t=0. Амплитуда напряжения Страница 32 = (2) по определению, логарифмический декремент = ( ) ( ) = (3) Выражая из (3) коэффициент затухания * и подставляя его (3), получим (t) = (4) В соответствии с условием, за время = энергия системы уменьшилась враз, следовательно, амплитуда напряжения уменьшилась в √10. Запишем это условие, используя выражение (4) = (t) (t + τ) = ( ) = √10 Тогда = 10 или = = 0,38. Задача. В электрической цепи, содержащей последовательно соединенные сопротивлением, емкость C = 0,1 мкФ, катушку и индуктивностью L = 1 мГн , действует переменная ЭДС, меняющаяся по закону синуса. Определить частоту ω рез, при которой возникает резонанс. Найти также максимальные значения тока и напряжения на всех элементах цепи при резонансе, если максимальное значение ЭДС = 30 В. Решение. Под действием переменой ЭДС в данной цепи, представляющей собой колебательный контур, установятся вынужденные электромагнитные колебания. При этом амплитудные значения тока ℐ и ЭДС связаны соотношением ℐ = ( ) (1), где ω – частота вынуждающей ЭДС. Максимальному току при резонансе соответствует такое значение частоты внешней ЭДС, при котором выражение, стоящее в скобках, обратиться в нуль. Тогда резонансная частота ω = рез 1,0 ∙ рад с При этом сила тока равна рез − √ = = 1,5 . Найдем значения максимального напряжения на элементах контура = рез ℰ = 30 В = рез 150 В С = рез 150 В Страница 33 Максимальные значения напряжения и тока не реактивных элементах равны друг другу при последовательном резонансе (резонансе напряжений. Страница 34 Таблица вариантов к теме 10 |