МИМЭП_Mathcad. А. А. Мицель математическое и имитационное
 Скачать 5.84 Mb.
|
|
Пример 2. Проведено N независимых опытов, в каждом из которых наблюдается значение СВ X . Вычисляется оценка среднего значения x m по формуле (3.6). Найти вероятность x x P m m того, что оценка x m отклоняется от математического ожидания x m не больше чем на заданную величину 0 . Как и в предыдущем примере 2 2 ( ) x x x x N P m m m , (9.9) где x – среднеквадратичное отклонение СВ . X Если величина x неизвестна, то вместо нее можно использовать соответствующую оценку 111 2 1 1 1 N x x i i x m N (9.10) Обычно на практике точность характеризуют величиной относительной среднеквадратической ошибки x x m , которая уменьшается с ростом N как N 1 9.3. Лабораторное задание 1. Разработать алгоритм вычисления площади заданной фигуры методом Монте-Карло и написать для него программу в пакете Mathcad. Определить величину относительной средне-квадратичной ошибки вычисленной оценки для различных прямоугольных областей , содержащих заданную фигуру G (см. рис. 9.2). Найти точное значение площади заданной фигуры и сравнить полученные результаты. Рис. 9.2 Фигура задана следующей кривой 2 2 4 ( ) 2 b b a y x x x x a a (9.11) Площадь фигуры равна 0 2 ( ) 3 a S y x dx ab Значения параметров , a a и , b b приведены в таблице 9.1. № варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112 a 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 b 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 a 3 3 5 5 7 7 6 6 4 4 b 5 5 6 8 8 10 10 10 10 10 2. Разработать алгоритм вычисления объёма заданной фигуры методом Монте- Карло и написать для него для него программу в пакете Mathcad. Определить величину относительной средне-квадратичной ошибки вычисленной оценки для различных прямоугольных областей , содержащих заданную фигуру G (см. рис. 1.3). Найти точное значение объема заданной фигуры и сравнить полученные результаты. Фигура представляет собой прямоугольный параллелепипед с размерами a b h , срезанный сверху параболоидом вращения 2 2 ( , ) 2 x y y x y h p (9.12) Вершина параболоида совпадает с центром верхнего основания. Объём фигуры равен / 2 / 2 2 2 / 2 / 2 ( , ) ( ) 24 a b a b ab V z x y dxdy abh a b p Значения параметров , p h , , a b и , , a b h приведены в таблице 9.2. № варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 p 1 1,5 2 2,5 3 4 0,5 0,1 1 2 h 10 12 15 18 11 13 8 9 6 7 a 1 2 3 4 5 5 2 1 2 1 b 4 5 5 6 5 6 1 0,5 2 5 a 2 3 4 5 6 6 3 2 3 2 113 b 5 6 6 7 6 7 2 1 3 6 h 11 13 16 20 12 15 10 10 7 8 Указания. Для вычисления объема G V (площади G S ) заданной геометрической фигуры G необходимо разыграть координаты N случайных точек с равномерным распределением в прямоугольной области . Тогда оценки величины объема G V (площади G Sˆ ) можно вычислить по формулам: / G G V a b h N N , / G G S a b N N , где G N – число точек, попавших в область G . Если в математическом пакете отсутствует равномерный датчик случайных чисел из интервала ] ; [ q p , то значение СВ z с равномерной плотностью вероятности в заданном интервале ] ; [ q p можно получить с помощью линейного преобразования ( ) z p x q p , (9.13) где x обозначает СВ с равномерной плотностью вероятности в интервале [0; 1]. Величину относительной среднеквадратической погрешности оценок объема G V (площади G S ) можно вычислить по формуле: G G N N NN Контрольные вопросы 1. Что можно сказать о точности результатов, полученных методом численного моделирования, и как они зависят от объема выборки? 114 2. Определите величину интервала , в котором находится найденная оценка площади (объема) заданной фигуры с вероятностью 0,9. Значения функции Лапласа приведены в таблице 9.3. Таблица 9.3. Значения функции Лапласа x t dt e x 0 2 2 2 1 ) ( [2] x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x 0,00 0,0000 0,31 0,1217 0,62 0,2324 0,93 0,3238 0,01 0,0040 0,32 0,1255 0,63 0,2357 0,94 0,3264 0,02 0,0080 0,33 0,1293 0,64 0,2389 0,95 0,3289 0,03 0,0120 0,34 0,1331 0,65 0,2422 0,96 0,3315 0,04 0,0160 0,35 0,1368 0,66 0,2454 0,97 0,3340 0,05 0,0199 0,36 0,1406 0,67 0,2486 0,98 0,3365 0,06 0,0239 0,37 0,1443 0,68 0,2517 0,99 0,3389 0,07 0,0279 0,38 0,1480 0,69 0,2549 1,00 0,3413 0,08 0,0319 0,39 0,1517 0,70 0,2580 1,01 0 3438 0,09 0,0359 0,40 0,1554 0,71 0,2611 1 02 0,3461 0,10 0,0398 0,41 0,1591 0,72 0,2642 1 04 0 3485 0,11 0,0438 0,42 0,1628 0,73 0,2673 1,04 0,3508 0,12 0,0478 0,43 0,1664 0,74 0,2703 1,05 0,3531 0,13 0,0517 0,44 0,1700 0,75 0,2734 1,06 0,3554 0,14 0,0557 0,45 0,1736 0,76 0,2764 1,07 0,3577 0,15 O,O596 0,46 0,1772 0,77 0,2794 1,08 0,3599 0,16 0,0636 0,47 0,1808 0,78 0,2823 1,09 0,3621 0,17 0,0675 0,48 0,1844 0,79 0,2852 1,10 0,3643 0,18 0,0714 0,49 0,1879 0,80 0,2881 1,11 0,3665 0,19 0,0753 0,50 0,1915 0,81 0,2910 1,12 0,3686 115 0,20 0,0793 0,51 0,1950 0,82 0,2939 1,13 0,3708 0,21 0,0832 0,52 0,1985 0,83 0,2967 1,14 0,3729 0,22 0,0871 0,53 0,2019 0,84 0,2995 1,15 0,3749 0,23 0,0910 0,54 0,2054 0,85 0,3023 1,16 0,3770 0,24 0,0948 0,55 0,2088 0,86 0,3051 1 17 0,3790 0,25 0,0987 0,56 0,2123 0,87 0,3078 1,18 0,3810 0,26 0,1026 0,57 0,2157 0,88 0,3106 1,19 0,3830 0,27 0,1064 0,58 0,2190 0,89 0,3133 1,20 0,3849 0,28 0,1103 0,59 0,2224 0,90 0,3159 1,21 0,3869 0,29 0,1141 0,60 0,2257 0,91 0,3186 1,22 0,3883 0,30 0,1179 0,61 0,2291 0,92 0,3212 1,23 0,3907 Продолжение приложения x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x 1,24 0,3925 1,58 0,4429 1,92 0,4726 2,52 0,4941 1,25 0,3944 1,59 0,4441 1,93 0,4732 2,54 0,4945 1,26 0,3962 1,60 0,4452 1,94 0,4738 2,56 0,4948 1 27 0,3980 1,61 0,4463 1,95 0,4744 2,58 0,4951 1,28 0,3997 1,62 0,4474 1,96 0,4750 2,60 0,4953 1,29 0,4015 1,63 0,4484 1,97 0,4756 2,62 0,4956 1,30 0,4032 1,64 0,4495 1,98 0,4761 2,64 0,4959 1,31 0,4049 1,65 0,4505 1,99 0,4767 2,66 0,4961 1,32 0,4066 1,66 0,4515 2,00 0,4772 2,68 0,4963 1,33 0,4082 1,67 0,4525 2,02 0,4783 2,70 0,4965 1,34 0 4099 1,68 0,4535 2,04 0,4793 2,72 0,4967 1,35 0,4115 1,69 0,4545 2,06 0,4803 2,74 0,4969 116 1,36 0,4131 1,70 0,4554 2,08 0,4812 2,76 0,4971 1,37 0,4147 1,71 0,4564 2,10 0,4821 2,78 0,4973 1,38 0,4162 1,72 0,4573 2,12 0,4830 2,80 0,4974 1,39 0,4177 1,73 0,4582 2,14 0,4838 2,82 0,4976 1,40 0,4192 1,74 0,4591 2,16 0,4846 2,84 0,4977 1,41 0,4207 1,75 0,4599 2,18 0,4854 2,86 0,4979 1,42 0,4222 1,76 0,4608 2,20 0,4861 2,88 0,4980 1,43 0,4236 1,77 0,4616 2,22 0,4868 2,90 0,4981 1,44 0,4251 1,78 0,4625 2,24 0,4875 2,92 0,4982 1,45 0,4265 1,79 0,4633 2,26 0,4881 2,94 0,4984 1,46 0,4279 1,80 0,4641 2,28 0,4887 2,96 0,4985 1,47 0,4292 1,81 0,4649 2,30 0,4893 2,98 0,4986 1,48 0,4306 1,82 0,4656 2,32 0,4898 3,00 0,49865 1,49 0,4319 1,83 0,4664 2,34 0,4904 3,20 0,49931 1,50 0,4332 1,84 0,4671 2,36 0,4909 3,40 0,49966 1,51 0,4345 1,85 0,4678 2,38 0,4913 3,60 0,499841 1,52 0,4357 1,86 0,4686 2,40 0,4918 3,80 0,499928 1,53 0,4370 1,87 0,4693 2,42 0,4922 4,00 0,499968 1,54 0,4382 1,88 0,4699 2,44 0,4927 4,50 0,499997 1,55 0,4394 1,89 0,4706 2,46 0,4931 5,00 0,499997 1,56 0,4406 1,90 0,4713 2,48 0,4934 1,57 0,4418 1,91 0,4719 2,50 0,4938 117 10. Лабораторная работа №10. Биржевой игрок 10.1 Описание модели Биржевой игрок разработал свой порядок приобретения и продажи акций, состоящий в следующем: 1) обладая пакетом акций, необходимо продать его, как только цены на эти акции начинают падать; 2) как только цены на акции начинают возрастать, их необходимо покупать. Игрок не желает рисковать своими ограниченными средствами в натурном эксперименте и хочет оценить прибыльность своей стратегии с помощью имитационного моделирования. Для упрощения дальнейших рассуждений будем предполагать, что: а) игрок покупает и продает только одни какие-нибудь акции; б) в рассматриваемый момент времени, принимаемый за начальный, игрок располагает пакетом в 100 акций, стоимостью в 10 денежных единиц каждая, и цена акции может ежедневно изменяться на 1 денежную единицу (если сегодня акция стоит 10 денежных единиц, то завтра она будет стоить 9, 10 или 11 денежных единиц); в) игрок совершает не более одной сделки в день и за каждую сделку платит комиссионные в размере 2 % стоимости купленных или проданных акций; г) игрок не располагает иными средствами, кроме пакета в 100 акций. Для оценки прибыльности своей стратегии игрок построил модель суточных флуктуации цен на акции с использованием ретроспективных биржевых данных. Эта модель представлена в виде табл. 9.1 и определяет вероятности изменения цен на акции. Согласно этой модели, если в понедельник и во вторник цена одной акции равнялась 10 денежным единицам, то в среду (см. табл. 1, вторая строка снизу) она будет стоить 11 денежных единиц с вероятностью 1/4, 10 денежных единиц с вероятностью 1/2 и 9 денежных единиц с вероятностью 1/4. Если же во вторник цена одной акции равнялась 9 денежным единицам, то в среду (см. табл. 10.1, первая строка снизу) она будет стоить 10 денежных единиц с вероятностью 1/4, 9 денежных единиц с вероятностью 1/4 и 8 денежных единиц с вероятностью 1/2. Таблица 10.1 Цена одной акции в ( n — 1)-й день Цена одной акции в n - й день Возрастает Остается без изменения Падает Возросла по сравнению с ( n — 2)-м днем 1 2 1 4 1 4 Осталась такой же, как и в ( n — 2)-й день 1 4 1 2 1 4 118 Упала по сравнению с ( n — 2) - м днем 1 4 1 4 1 2 Прежде чем начинать процесс имитационного моделирования, необходима генерация случайных событий, которые с соответствующими вероятностями их реализаций представлены в табл. 10.1. Не располагая ни вычислительной техникой, ни соответствующим программным обеспечением, наш игрок решил воспользоваться простейшим способом, который заключается в бросании двух монет. Соответствие между возможными исходами этого случайного испытания и генерируемыми случайными событиями он отразил в табл. 10.2. Таблица 10.2 Цена одной акции в ( n — 1)-й день Цена одной акции в n - й день Возрастает Остается без изменения Падает Возросла по сравнению с ( n — 2)-м днем Герб и решка Два герба Две решки Осталась такой же, как и в ( n — 2) - й день Два герба Герб и решка Две решки Упала по сравнению с ( n — 2) - м днем Два герба Две решки Герб и решка 10.2. Прогон модели Предположим, что игрок решил ограничить длительность периода имитации 20 днями и каждому дню поставил в соответствие номер k = 1, 20. Эти номера, расположенные в порядке возрастания, образуют столбец 1 в табл. 3, отражающей результаты имитирования изменения цен на акции. Столбец 2 в табл. 3 он заполнил после 20-кратного подбрасывания двух монет, воспользовавшись следующими обозначениями: ГГ -— выпали два герба; ГР — выпали один герб и одна решка; РР — выпали две решки. Для определения изменения цен на акции необходимо задать начальные условия: цену одной акции в день с номером k = 0 и направление изменения вчерашней цены. В соответствии с исходными предположениями начальная цена одной акции равнялась 10 денежным единицам и совпадала с ценой в предшествующий день. Это нашло свое отражение в первой строке столбца 3 табл. 10.3, в котором игрок фиксиро- вал направления изменения вчерашней цены акции. В столбце IV он фиксировал сегодняшнюю цену одной акции. Таблица 10.3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 ГР Без изменения 10 11 РР Рост 12 2 РР Без изменения 9 12 ГР Падение 11 3 ГГ Падение 10 13 РР Падение 11 4 ГГ Рост 10 14 ГГ Без изменения 12 119 5 ГГ Без изменения 11 15 ГР Рост 13 6 ГР Рост 12 16 ГР Рост 14 7 ГГ Рост 12 17 РР Рост 13 8 РР Без изменения 11 18 ГР Падение 12 9 ГГ Падение 12 19 ГР Падение 11 10 ГР Рост 13 20 РР Падение 11 Согласно табл. 10.2, при рассматриваемых начальных условиях выпадение герба и решки при первом бросании двух монет означает, что в первый день цена акции не изменяется (первая строка, столбец 3) и остается равной 10 денежным единицам (первая строка, столбец 4). Поскольку цены акций в первый день имитирования равны 10 денежным единицам, то выпадение двух решек при втором бросании двух монет (вторая строка, столбец 2) означает падение цены до 9 денежных единиц за акцию (вторая строка, столбец 4). Аналогично проверяется правильность заполнения игроком двух последних столбцов табл. 10.3. 10.3. Результаты моделирования Воспользовавшись данными об изменении цены акции за двадцатидневный период, представленными в табл.10.3, наш игрок составил табл. 10.4, в которой отразил результаты имитационного моделирования своей стратегии купли и продажи акций на бирже. Прочерки в третьем столбце этой таблицы означают отсутствие сделок, что может быть обусловлено как выбранной стратегией поведения игрока (дни имитации 1, 4, 7, 13, 20), так и отсутствием у него либо наличных денег (дни имитации 5, 6, 10, 15, 16), либо акций (дни имитации 12, 18, 19). При определении наличных денег учитывались комиссионные с каждой сделки. Так, например, на девятый день имитации игрок, располагая наличностью в размере 931,88 денежных единиц, купил 76 акций по цене 12 денежных единиц за акцию, заплатил комиссионные в размере 0,02 • 12 • 76 = 18,24 денежных единиц иу него осталось в наличии 931,88 — 12 • 76 — 0.02 • 12 • 76 = 1,64 денежных единиц. Проанализировав результаты имитационного моделирования, записанные в табл. 4, можно сразу отметить, что, придерживаясь своей стратегии, биржевой игрок останется в проигрыше. Но это лишь первое впечатление. Действительно, если процесс имитирования оборвать на шестой или шестна- дцатый день, то он выиграет. А что будет, если повторить имитационный эксперимент или увеличить длительность периода имитирования? Даже этот простейший пример имитационного моделирования игры на фондовой бирже порождает ряд весьма сложных вопросов относительно меры эффективности выбираемой стратегии и метода проектирования научно обоснованного эксперимента по проверке этой эффективности. Кроме того, становится очевидным, что, несмотря на простоту вычислительных процедур при имитационном моделировании, их объем весьма значителен. Поэтому конструктивное использование имитационного моделирования практически невозможно без использования быстродействующей вычислительной техники. Таблица 10.4 120 День имитаци и Цена акции Решение Количество акций у игрока Стоимость пакета акций Наличные деньги 1 10 – 100 1000 0,00 2 9 Продать 0 0 882,00 3 10 Купить 86 860 4,80 4 10 – 86 860 4,80 5 11 – 86 946 4,80 6 12 – 86 1032 4,80 7 12 – 86 1032 4,80 8 11 Продать 0 0 931,88 9 12 Купить 76 912 1,64 10 13 – 76 988 1,64 11 12 Продать 0 0 895,40 12 11 – 0 0 895,40 13 11 – 0 0 895,40 14 12 Купить 73 876 1,88 15 13 – 73 949 1,88 16 14 – 73 1022 1,88 17 13 Продать 0 0 931,90 18 12 – 0 0 931,90 19 11 – 0 0 931,90 20 11 – 0 0 931,90 10.4. Задание на лаб. работу №10 1. Выполнить имитационное моделирование биржевой игры с помощью равномерного датчика случайных чисел, распределенных в интервале (0,1). 2. Проанализировать результаты моделирования для 20 дней: а) для одной реализации случайных чисел; б) для 10 реализаций случайных чисел 3. Написать программу в пакете Mathcad. Примечание. Первые два задания можно выполнить с помощью встроенных функций Mathcad. Рекомендации по заполнению таблицы 10.5. Пусть имеется два несовместных события 1 A и 2 A с вероятностями 1 1/ 2 P и 2 1/ 2 P . Делим интервал [0,1] на две части — [0,0.5] и (0.5, 1]. Если случайное число, генерированное датчиком случайных чисел, попадает в интервал [0,0.5], то это означает, что произошло событие 1 A ; если же случайное число попадает в интервал (0.5, 1], то имеем событие 2 A . Используя датчик случайных чисел дважды, мы можем составить следующую таблицу 2а. Таблица 10.5а Цена одной акции в ( n — 1)-й день Цена одной акции в n - й день Возрастает Остается без изменения Падает 121 Возросла по сравнению с ( n — 2)-м днем 1 2 , A A 1 1 , A A 2 2 , A A Осталась такой же, как и в ( n — 2) - й день 1 1 , A A 1 2 , A A 2 2 , A A Упала по сравнению с ( n — 2) - м днем 1 1 , A A 2 2 , A A 1 2 , A A Можно использовать другой способ заполнения таблицы 10.5. Для i - ой строки имеется три несовместных события ,1 ,2 ,3 , , i i i A A A с вероятностями ,1 ,2 ,3 , , , i i i P P P соответственно (причем, ,1 ,2 ,3 1 i i i P P P ). Делим интервал [0,1] на три части — ,1 [0, ] i P , ,1 ,1 ,2 ( , ] i i i P P P и ,1 ,2 ( ,1] i i P P . Если случайное число, генерированное равномерным датчиком случайных чисел, попадает в интервал ,1 [0, ] i P , то это означает, что произошло событие ,1 i A ; если же случайное число попадает в интервал ,1 ,1 ,2 ( , ] i i i P P P , то имеем событие ,2 i A , если же случайное число попадает в интервал ,1 ,2 ( ,1] i i P P , то имеем событие ,3 i A . Используя датчик случайных чисел для каждой строки, мы можем составить следующую таблицу 10.5б. Таблица 10.5б Цена одной акции в ( n — 1)-й день Цена одной акции в n - й день Возрастает Остается без изменения Падает Возросла по сравнению с ( n — 2)-м днем 1,1 A 1,2 A 1,3 A Осталась такой же, как и в ( n — 2) - й день 2,1 A 2,2 A 2,3 A Упала по сравнению с ( n — 2) - м днем 3,1 A 3,2 A 3,3 A Рекомендации по заданию начальных условий. Для определения изменения цен на акции необходимо задать начальные условия: цену одной акции в день с номером k = 0 и направление изменения вчерашней цены. Направление изменения вчерашней цены можно взять либо по первой строке таблицы 2а, либо по второй строке, либо по третьей строке. |