МИМЭП_Mathcad. А. А. Мицель математическое и имитационное
 Скачать 5.84 Mb.
|
|
4.5. Вечная» годовая рента Под «вечной» годовой рентой понимается рента, последовательность платежей которой неограниченна, предполагается, что рента будет выплачиваться неограниченно долго. Наращенная величина такой ренты бесконечна, но современная величина равна / A R i . Докажем это. Из формулы (4.1) для конечной годовой ренты имеем: 1 (1 ) ( , ) n i A R a n i R i Перейдем в этой формуле к пределу при n и получим / R i Пример 4.5. Бизнесмен арендовал виллу за $10 000 в год. Какова выкупная цена аренды при годовой ставке процента 5%? Решение. Эта выкупная цена есть современ ная величина всех будущих арендных платежей и равна / 10000 / 0.05 A R i = 200 000 долл. Между прочим, это в точности годовые процентные деньги, которые стал бы получать арендодатель с $200 000, помещенных в банк под упомянутую процентную ставку. 61 4. 6. Объединение и замена рент Общее правило объединения рент очень просто: находятся современные величины рент-слагаемых и складываются, а затем подбирается рента-сумма с такой современной величиной и нужными остальными параметрами. Пример 4.6. Найдем ренту-сумму для двух годовых рент: одна длительностью 5 лет с годовым платежом 1000, и другая — 8 лет и платежом 800. Годовая ставка процента 8%. По таблицам находим коэффициенты приведения: (5,8) a = 3,993, (8,8) a = 5 ,747. Далее, 1 A = 1000 • 3,993 = 3993, 2 A = 800 •5,747=4598. Значит, у ренты-суммы современная величина A = 8591. Теперь можно задать либо длительность ренты-суммы, либо годовой платеж и затем второй из этих параметров определится. Такие задачи рассмотрены в п. 4.3. Примерно так же решается и вопрос о замене данной ренты другой с измененными параметрами: находится современная величина данной ренты, а затем подбирается рента с такой современной величиной и нужными параметрами. 4.6.Примеры решения типовых задач в Mathcad Задание 1. В банк помещен депозит в размере A = 5000 руб. По этому депозиту в первом году будет начислено 1 i = 10 % , во втором - 2 i = 12%, в третьем - 3 i = 15%, в четвертом и пятом - 4 5 i i = 16% годовых. Сколько будет на счету в конце пятого года? Сколько надо было бы поместить на счет при постоянной процентной ставке i = 13%, чтобы обеспечить ту же сумму. Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки. Решение. Формула наращения по схеме сложных и простых процентов для переменной ставки имеет вид а) 3 1 2 4 1 2 3 4 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) n n n n S A i i i i , б) 4 1 (1 ) k k k S A n i где i n — i - й период начисления процентов ( 1 2 3 4 1, 2 n n n n , 4 1 5 i i n n ). Вводим исходные данные A 5000 i 10% 12% 15% 16% n 1 1 1 2 i1 13% n1 5 62 Решение MathCAD для простой ставки S A 1 1 4 k i k n k S 8.45 10 3 P 1 Given S P 1 i1 n1 ( ) P Find P ( ) P 5.121212 10 3 Решение MathCAD для сложной ставки S1 A 1 4 k 1 i k n k S1 9.53223 10 3 P1 1 Given S1 P1 1 i1 n1 ( ) P1 Find P1 ( ) P1 5.777109 10 3 Ответ: в конце 5-го года на счету будет 8450 руб. либо 9352 руб., если начисление процентов проводится по схеме простых процентов либо по схеме сложных процентов. Для получения суммы 8450 руб. в конце пятого года при ставке i = 13% необходимо в начале периода поместить депозит в размере 5121 руб. (по схеме простых процентов) либо 5 173 руб. руб. (по схеме сложных процентов) для получения суммы 9352 руб.. 63 Задача 2. Вычислить размер платежа n - годичной ссуды покупки квартиры за A рублей с годовой ставкой i процентов и начальным взносом q процентов. Сделать расчет для ежемесячных выплат. Расчет провести для следующих данных: n = 20 лет; A = 1 400 000 руб.; i = 18%; q = 30%. Расчеты выполнить для сложной процентной ставки. Решение. Сумма, которую нужно выплатить по ссуде, равна (1 ) A q A A q Рассчитаем ежегодный платеж R выплаты ссуды из уравнения / 1 (1 / ) (1 ) ( , , / ) (1 / ) 1 n m m p j m A q R R a p n j m j m , отсюда (1 ) ( , , / ) A q R a p n j m . Здесь p = 12 (количество платежей в год), m = 12 (количество начислений процентов в год). Вводим исходные данные. A 1400000 j 18% q 30% n1 20 p 12 m 12 Решение MathCAD a 1 1 j m n1 m 1 j m m p 1 a 64.795732 R A 1 q ( ) a R 1.512445 10 4 Ответ. Ежемесячные выплаты составят 15 124, 45 руб. Задача 3. Семья хочет накопить $12000 на машину, вкладывая в банк $1000 ежегодно. Годовая ставка процента в банке 7%. Как долго ей придется копить? Решение. Для решения данной задачи используем формулу наращенной величины ренты. ((1 ) 1) (1 ) n i S R i i Отсюда: 64 ln( 1) (1 ) ln(1 ) S i R i n i Запишем исходные данные: S 12000 R 1000 i1 7% Решение MathCAD n1 ln 1 S i1 R 1 i1 ( ) ln 1 i1 ( ) n1 8.564235 S1 R 1 i1 ( ) 1 i1 ( ) 9 1 i1 S1 1.281645 10 4 Ответ. Семье придется копить 9 лет. К концу 9-го года на счету будет 12816,5 руб. Задача 4. Заем взят под 1 i =16% годовых, выплачивать осталось ежеквартально по 500 д.е. ( 1 R =500 д.е.) в течение n =2 лет. Из-за изменения ситуации в стране процентная ставка снизилась до 2 i =6% годовых. В банке согласились с необходимостью пересчета ежеквартальных выплат. Каков должен быть новый размер выплаты? Расчеты провести для сложной процентной ставки. Решение. Для решения этой задачи необходимо записать современную величину невыплаченной суммы по ставке 1 i =16% и приравнять современной величине потока платежей по ставке 2 i =6%. Имеем 1 2 1 2 / / 1 2 1 (1 / ) 1 (1 / ) (1 / ) 1 (1 / ) 1 n m n m m p m p i m i m R R i m i m , где m = 4 (количество начислений процентов в год), p = 4 (количество платежей в год). Из этого уравнения находим размер платежа 2 R Исходные данные для MathCAD R1 500 n 2 m 4 p 4 i1 16% i2 6% Решение MathCAD 65 R2 1 Given R1 1 1 i1 m n m 1 i1 m m p 1 R2 1 1 i2 m n m 1 i2 m m p 1 R2 Find R2 ( ) R2 449.693578 Ответ. Размер новой выплаты составит 449,7 руб. Задача 5. Необходимо учесть долговое обязательство на сумму 50 000 д.е. за 4 года до погашения. Банк для учета обязательства применяет сложную процентную ставку 5 % годовых. Проценты могут начисляться 1, 2 или 4 раза в год. Указать условия договора, по которому это обязательство может быть учтено. Решение. В данной задаче необходимо найти современную величину суммы S , которая через 4 года составит 50 000 д.е. в зависимости от количества начисления процентов в год. Расчет проводим по формуле (1 / ) n m S P j m , где j - годовая ставка, m - количество начислений процентов в год. Исходные данные S 50000 i1 5% n1 4 Решение MathCAD P1 m1 ( ) S 1 i1 m1 n1 m1 P1 1 ( ) 4.113512 10 4 P1 2 ( ) 4.103733 10 4 P1 4 ( ) 4.098732 10 4 Ответ. Обязательство будет учтено на сумму 41 135 д.е. при начислении процентов один раз в год, на сумму 41037 д.е. – при начислении процентов два раза в год, на сумму 41987 д.е. – при начислении процентов четыре раза в год. Задача 6. Как изменяется срок окупаемости проекта при изменении величины инвестиций, годовых доходов, ставки процента? Построить графики и дать объяснение. Решение. Рассмотрим следующую модель инвестиционного проекта. Инвестиции в проект в размере K осуществляются единовременным платежом в начале срока, доход R поступает регулярно один раз в год в течении n лет, процентная 66 ставка равна j . Срок окупаемости в этом случае рассчитывается по формуле ln(1 ) ln(1 ) K j R n j Исходные данные K 500 R 100 j 10% Решение MathCAD Зависимость срока окупаемости от размера инвестиций n1 x ( ) ln 1 x j R ln 1 j ( ) 200 400 0 5 10 n1 x ( ) x Зависимость срока окупаемости от ставки n2 x ( ) ln 1 x K R ln 1 x ( ) 0.05 0.1 4 6 8 10 n2 x ( ) x Зависимость срока окупаемости от величины годового дохода 67 n3 x ( ) ln 1 j K x ln 1 j ( ) 200 400 0 5 10 n3 x ( ) x Ответ. Срок окупаемости с ростом объема инвестиций увеличивается, так как для окупаемости инвестиций требуется большее время получения дохода от проекта. С ростом процентной ставки срок окупаемости растет. С экономической точки зрения это можно объяснить следующим образом. Если для инвестиций берется ссуда в банке под процентную ставку j , то с ростом ставки растут проценты по ссуде, и, следовательно, растет долг заемщика. Поэтому требуется большее время получения дохода от проекта для погашения ссуды. С ростом дохода от проекта срок окупаемости уменьшается Задача 7. Проверьте план погашения основного долга равными годовыми уплатами, если величина займа D составляет 600 д.е., а процентная ставка i – 8%. Уплаты Годы 168.0 1 158.4 2 148.8 3 139.2 4 129.6 5 Решение. Величина займа D = 600 д.е. погашается равными долями в течении 5 лет. Проценты по долгу выплачиваются каждый год на остаток долга. Таким образом, размер срочной уплаты в году с номером t равен ( ( 1) ) t Y d D t d i , где / d D n , n – срок долга. Исходные данные D 600 n1 5 j 0.08 Решение MathCAD 68 d D n1 d 120 t 1 n1 Y t d D t 1 ( ) d [ ] j Y 168 158.4 148.8 139.2 129.6 Ответ. План погашения долга составлен верно. 4.7. Варианты заданий к лабораторной работе №4 1. Вычислить размер платежа n - годичной ссуды покупки квартиры за A рублей с годовой ставкой i процентов и начальным взносом p процентов. Сделать расчет для ежемесячных и ежегодных выплат. Расчет провести для следующих данных: n = 20 лет; A = 400 000 руб.; i = 18%; p = 30%. Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки. Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 3.1. Таблица 3.1 Вариант n , лет A , руб. i , % p , % 1 15 300 000 15 20 2 15 350 000 16 25 3 15 400 000 17 30 4 20 450 000 18 20 5 20 500 000 20 30 6 20 300 000 17 25 7 25 400 000 18 30 8 25 500 000 20 35 9 25 600 000 16 25 10 30 600 000 19 30 2. Семья хочет через n лет купить дачу за $ S . Какую сумму (одинаковую) ей нужно каждый год из этих n лет добавлять на свой счет в банке, чтобы накопить $ S , если годовая ставка процента в банке i %? Расчет провести для следующих данных: n = 6 лет; S = $12 000.; i = 8%. Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки. 69 Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 3.2. Таблица 3.2 Вариант n , лет S ,$ i , % 1 4 8 000 6 2 4 10 000 7 3 4 12 000 8 4 5 10 000 9 5 5 15 000 7 6 5 16 000 8 7 7 15 000 7 8 7 18 000 8 9 7 20 000 9 10 8 25 000 10 3. На банковский счет писателя издательство перечисляет суммы по R руб. p раз в год, на которые банк начисляет сложные проценты по годовой ставке i % m раз в год. Сколько будет на счете через n лет? Расчет провести для следующих данных: p = 2; R = 2000 руб..; m =2; i = 7%; n =4 года. Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 3.3. Таблица 3.3 Вариант p R , руб. m i , % n , лет 1 2 1000 2 5 4 2 2 1100 2 6 5 3 2 1200 2 5 5 4 2 1500 2 7 7 5 2 1800 2 8 3 6 4 2000 4 7 5 7 4 2100 4 6 3 8 4 2200 4 5 4 9 4 2500 4 8 6 10 4 3000 4 9 5 4. . Для мелиоративных работ государство перечисляет фермеру $ R в год. Деньги поступают на специальный счет и на них начисляют сложные проценты по ставке i % m раз в год. Сколько накопится на счете через n лет? Расчет провести для следующих данных: R = $ 500; m =2; i = 4%; n =5 лет. Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 3.4. Таблица 3.4 Вариант R , $. m i , % n , лет 1 200 2 3 4 2 250 2 4 5 70 3 300 2 5 6 4 350 2 3 4 5 400 2 4 5 6 450 4 5 6 7 600 4 3 4 8 700 4 4 5 9 800 4 5 6 10 900 4 3 4 5. В ходе судебного заседания выяснилось, что г. N недоплачивал налогов R = 100 руб. ежемесячно. Налоговая инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние n =2 года налоги вместе с процентами ( i =3% ежемесячно). Какую сумму должен заплатить г. N? Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки. Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 3.5. Таблица 3.5 Вариант R , руб. i , % n , лет 1 50 2 5 2 60 3 4 3 70 4 3 4 80 5 2 5 90 2 5 6 110 3 4 7 120 4 3 8 130 5 2 9 140 2 4 10 150 3 3 6. Определить процентную ставку для n - летнего займа в A рублей с ежегодной выплатой в R рублей. Решить задачу для следующих исходных данных: n = 10 лет, A = 100 000 руб., R = 16 981 руб. Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки. Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 3.6. Таблица 3.6 Вариант A , руб. R , руб. n , лет 1 50 000 8850 10 2 60 000 11 660 8 3 70 000 12 150 9 4 80 000 14 730 9 5 90 000 19 100 7 6 100 000 14 700 11 7 110 000 15 360 12 8 120 000 15 600 13 9 130 000 22 570 9 71 10 140 000 27 210 8 7. В ходе судебного заседания выяснилось, что по вине Пенсионного фонда г. N в течение n =10 лет недоплачивали R = 100 руб. пенсии ежемесячно. Суд обязал фонд выплатить все недоплаченные деньги с процентами ( i =12% годовых). Какова сумма выплаты? Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки. Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 3.7. Таблица 3.7 Вариант R , руб. i , % n , лет 1 50 7 12 2 60 8 13 3 70 9 11 4 80 10 9 5 90 11 10 6 110 12 11 7 120 13 12 8 130 14 13 9 140 15 14 10 150 16 15 8. Замените годовую ренту с годовым платежом R = $600 и длительностью 1 n =10 лет семилетней годовой рентой ( 2 n =7). Ставка процента i =8% в год. Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки. Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 3.8. Таблица 3.8 Вариант R , $ i , % 1 n , лет 2 n , лет 1 400 6 10 7 2 450 7 7 5 3 500 8 8 5 4 550 9 9 6 5 600 10 11 8 6 650 6 11 9 7 700 7 10 8 8 750 8 10 7 9 800 9 12 10 10 850 10 12 9 9. Сын в банке имел на счете A = 50 000 руб., на которые ежемесячно начислялись i =0,8%. Сын уехал в десятилетнюю командировку за границу, доверив отцу за n =10 лет истратить весь его счет. Сколько будет получать в месяц отец? Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки. 72 Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 3.9. Таблица 3.9 Вариант A , руб. i , % n , лет 1 30 000 1 5 2 35 000 0,9 5 3 38 000 0,8 6 4 40 000 0,7 6 5 45 000 0,7 7 6 47 000 0,8 7 7 50 000 0,9 8 8 55 000 1 9 9 60 000 0,6 10 10 70 000 0,5 15 10. Покупатель предложил два варианта расчетов при покупке дачи: 1) 1 R = $5000 немедленно и затем по 2 R = $1000 в течение n =5 лет; 2) 3 R =$8000 немедленно и по 4 R = $300 в течение n =5 лет. Какой вариант выгоднее при годовой ставке процента: а) 1 i =10% , б) 2 i = 5% . Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки. Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 3.10. Таблица 3.10 Вариант 1 R ,$ 2 R ,$ 3 R ,$ 4 R ,$ n , лет 1 i ,% 2 i ,% 1 3000 800 5000 400 3 11 6 2 3500 1000 6000 200 3 12 6 3 4000 1000 7000 250 4 10 4 4 4500 1500 7000 1000 4 10 5 5 5000 1200 9000 500 4 11 5 6 5500 1000 8500 500 5 14 7 7 6000 1500 8000 1000 5 12 6 8 6500 2000 8000 1500 6 10 5 9 7000 1000 9000 400 6 13 6 10 8000 2000 10 000 1200 4 12 5 11. Рассмотрим годовую ренту при n = 10 лет, i = 10%. Что более увеличит наращенную величину ренты: увеличение длительности на 1 год ( n =1 год) или увеличение процентной ставки на 1% ( i =1%)? Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки. Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 3.11. Таблица 3.11 Вариант n , лет i , % n , лет i , % 1 7 7 2 2 73 2 8 8 2 2 3 9 9 2 2 4 10 10 2 2 5 11 11 2 2 6 12 12 1 1 7 13 13 1 1 8 14 14 1 1 9 15 15 1 1 10 16 16 1 1 12. Каким должен быть платеж конечной годовой ренты длительностью n =8 лет, чтобы ее современная величина была A =16 000 руб. при годовой ставке i =10%? Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки. Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 3.12. Таблица 3.12 Вариант A , руб. n , лет i , % 1 10 000 5 10 2 11 000 6 8 3 12 000 7 9 4 13 000 8 11 5 15 000 9 12 6 18 000 10 11 7 20 000 6 9 8 22 000 7 9 9 25 000 9 12 10 30 000 11 13 13. Дана вечная рента с годовым платежом R при ставке процента i Известно, что ее современная величина, т.е. в момент 0, равна / R i . Найдите ее величину в произвольный момент t > 0. При каком t эта величина максимальна, минимальна? 14. Провести детальный анализ ренты длительностью 4 года, годовым платежом R = 1000 д.е. и переменной процентной ставкой: 2 i =5% во 2-м году, 3 i =8% — в 3-м, 4 i =10% — в 4-м году. Определить современную величину этой ренты. Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки. Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 3.13. Таблица 3.13 Вариант R , д.е. 2 i , % 3 i , % 4 i , % 1 500 4 6 10 2 800 5 7 12 3 900 3 7 9 4 1100 5 8 13 5 1200 4 7 10 74 6 1300 5 8 11 7 1400 6 8 10 8 1500 4 7 9 9 1600 4 6 8 10 1700 3 5 8 15. Для ренты с параметрами: годовая ставка процента – i =12%, годовой платеж R =400 д.е., длительность ренты n =6 лет, получить следующие ее характеристики: коэффициенты приведения и наращения; современную и наращенную величины. Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки. Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 3.14. Таблица 3.14 Вариант R , д.е. n , лет i , % 1 200 10 13 2 250 10 10 3 300 10 11 4 350 9 10 5 400 9 12 6 450 7 11 7 500 7 14 8 550 5 10 9 600 5 11 10 650 6 12 |