МИМЭП_Mathcad. А. А. Мицель математическое и имитационное

• Название: А. А. Мицель математическое и имитационное
• Дата: 22.05.2023
• Размер: 5.84 Mb.
• Имя файла: МИМЭП_Mathcad.pdf
• Тип: Учебное пособие; #1151998
• страница: 3 из 14

1.7.
Варианты заданий лабораторной работы №1
Задание 1. Построить графики Пф и их сечений (для двухфакторных ПФ).
Задание 2. Рассчитать характеристики ПФ и построить их графики.
Задание 3. Дать экономическую интерпретацию
Варианты
Однофакторные ПФ b
x a
y


Двухфакторные ПФ


L
K
a
Y



1 3
0
b
;
140
a
;
L
x



6 0
;
4 0
;
1000
a





2 5
3 0
b
;
100
a
;
L
x



4 0
;
45 0
;
1500
a





3 6
0
b
;
200
a
;
K
x



6 0
;
3 0
;
5
a





4 9
0
b
;
250
a
;
K
x



8 0
;
2 0
;
100
a





5 85 0
b
;
150
a
;
K
x



55 0
;
45 0
;
150
a





6 1
0
b
;
90
a
;
L
x



5 0
;
5 0
;
200
a





7 15 0
b
;
35
a
;
L
x



6 0
;
2 0
;
1
a





8 5
0
b
;
1000
a
;
L
x



7 0
;
15 0
;
3
a





9 3
0
b
;
1
a
;
K
x



45 0
;
45 0
;
300
a





10 35 0
b
;
10
a
;
L
x



4 0
;
6 0
;
350
a





11 25 0
b
;
15
a
;
K
x



2 0
;
6 0
;
8
a





12 7
0
b
;
20
a
;
L
x



8 0
;
2 0
;
10
a
4





13 4
0
b
;
30
a
K
x



3 0
;
3 0
;
10
a
3





14 3
0
b
;
1000
a
;
L
x



2 0
;
2 0
;
750
a





15 3
0
b
;
240
a
;
K
x



2 0
;
6 0
;
800
a





Задание 4. По заданным значениям параметров b
,
a рассчитать однофакторную ПФ y
для пяти значений аргумента x
и сформировать два массива: x
и y
. Рассматриваем полученные массивы как входные данные.
Используя эти массивы данных вычислить параметры b
,
a модели b
x a
y


тремя способами: а) методом наименьших квадратов, предварительно линеаризовав ПФ; б) с помощью линейной регрессии; в) с помощью нелинейной регрессии.
Задание 5. По заданным значениям параметров


,
,
a рассчитать двухфакторную ПФ
Y
для пяти значений ресурсов
K
и
L
и сформировать три массива:
K
,
L
и
Y
. Рассматриваем полученные массивы как входные данные.
Используя эти массивы данных вычислить параметры


,
,
a модели


L
K
a
Y



двумя способами: а) методом наименьших квадратов, предварительно линеаризовав ПФ; б) с помощью линейной многомерной регрессии.

22
2.
Лабораторная работа №2. Функция полезности
2.1. Множество благ
Пусть на рынке благ индивидуальному потребителю предлагается
n
различных благ.
Под
набором
благ
будем понимать совокупность неотрицательных чисел
1
,...,
n
x
x
, где
j
x
– количество
j
- го блага
(
0,
1,...,
j
x
j
n


). Такой набор неотрицательных чисел можно рассматривать как
n
- мерный вектор
1
( ,...,
)
n
x
x
x

благ. Всевозможные наборы благ образуют
множество благ


1
( ,...,
);
0,
1,...,
n
n
j
R
x
x
x
x
j
n




,
(2.1) которое геометрически представляет собой неотрицательный ортант
n
- мерного пространства.
Для каждого блага
j
заданы ограничения min max
,
1,...,
j
j
j
x
x
x
j
n



(2.2)
Пусть у потребителя имеется ограниченное количество денежных средств
M
(доход), которые он может использовать для приобретения благ. Введем вектор цен благ
1 2
(
,
,...,
)
n
p
p p
p

(
0,
1,...,
j
p
j
n


).
Тогда стоимость набора благ равна
1
n
T
j
j
j
p x
p x



Стоимость набора благ для потребителя не превосходит его дохода
M
, т.е.
1
n
j
j
j
p x
M



(2.3)
Неравенство (2.3) называют бюджетным ограничением.
Неравенство (2.3) вместе с неравенством (2.2) определяет множество
K
доступных наборов благ на рынке товаров и услуг. В силу наличия бюджетного неравенства (2.3) множество
K
всегда будет ограниченным множеством
n
R
. При этом множество
K
доступных благ может быть одним из трех:
1) пустое множество, т.е. при имеющемся доходе
M
и ценах
1 2
(
,
,...,
)
n
p
p p
p

потребитель не может приобрести на рынке даже минимального набора благ и можно сказать, что в этом случае он живет за чертой бедности;
2) частичное множество, т.е. потребителю доступны не все наборы благ при имеющемся доходе
M
и установившихся ценах
p
на рынке благ;
3) полное множество, т.е. потребитель настолько богат, что ему доступен любой набор благ при его доходе и действующих ценах.
Таким образом, множество
K
доступных благ является выпуклым множеством, определяемым системой неравенств

23 min
1
,
j
j
x
x
j
J


, max
2
,
j
j
x
x
j
J


,
1
n
j
j
j
p x
M



,
(2.4) где
1 2
,
J J
– некоторые подмножества множества


1, 2,...,
J
n

Пример 2.1. Пустьзаданы два блага
1
x
и
2
x
. Известно: спрос min
(1,5)
T
x

, предложение max
(5,10)
T
x

, вектор цен
(10, 20)
T
p

. При каком доходе
M
потребителя доступное множество благ будет: а) пустым; б) полным.
Рис. 2.1а. Результаты решения примера 2.1. Пустое доступное множество благ
(
110
M

д.е.)

24
Рис. 2.1б. Результаты решения примера 2.1. Полное доступное множество благ
(
250
M

д.е.)
2.2. Функция полезности и ее свойства
Рассмотрим вопрос о выборе набора благ. Каждое благо должно удовлетворять ту или иную потребность. Способность удовлетворять ту или иную потребность на- зывают полезностью блага.
Функция
1
( )
( ,...,
)
n
u x
u x
x

, определенная на неотрицательном ортанте
n
R
(или некотором
n
G
R

)
, называется функцией полезности, соответствующей отношению предпочтения

, если
( )
( )
u x
u y

,
тогда и только тогда, когда
x
y

, причем если
( )
( )
u x
u y

,
то
x
y
и обратно, если
x
y
, то
( )
( )
u x
u y

.
Функция полезности
( )
u x
, по существу, представляет систему предпочтений потребителя. Основное ее свойство в том, потребитель предпочитает выбирать
x
, а не
y
, если
( )
( )
u x
u y

, она упорядочивает наборы по предпочтению их друг другу. Отсюда следует, что потребитель при выборе набора благ стремится максимизировать свою функцию полезности.
В таблице 2.1 приведены четыре типа функции полезности.
Рассмотрим некоторые общие свойства функции полезности.
1) Функция полезности и дважды дифференцируема и строго выпукла.

25 2) Функция полезности не насыщена. Свойство ненасыщаемости состоит в том, для любых заданных двух наборов
,
N
x y
R


соотношение
x
y

влечет
( )
( )
u x
u y

, а соотношения
x
y

и
x
y

влекут
( )
( )
u x
u y

.
Значит, функция полезности является возрастающей по любому ее аргументу, т.е.
( )
0,
1, ,
n
j
u x
j
n x
R
x



 


3)
0
lim
, lim
0,
1,...,
j
j
x
x
j
j
u
u
j
n
x
x




 




Таблица 2.1
Тип функции полезности
Функция полезности
Ограничения
Логарифмич-
есчкая
1
( )
ln
n
j
j
j
u x
a
x



0,
1,
1,...,
j
j
a
x
j
n



Мультиплика-
тивная
1
( )
j
n
j
j
u x
a
x




0 1,
0,
1,..., ,
0.
j
j
x
j
n a
  



Аддитивная
1
( )
j
n
j
j
j
u x
x





0 1,
0,
0,
1,..., .
j
j
j
x
j
n
  

 

Квадратичная
1 1
1 1
( )
2
n
n
n
j
j
ij
i
j
j
i
j
u x
a x
b x x







1 0,
1,
n
j
ij
i
i
a
b x
j
n





0
B

(отрицательно определена)
Уравнению
( )
u x
c

, где
c
– константа, соответствует определенная по- верхность равноценных (одинаковой полезности) наборов благ (множество безразличия), и наоборот, каждому множеству безразличия соответствует некоторая поверхность, определяемая уравнением
( )
u x
c

. Эти поверхности называют поверхностями безразличия. В случае двух благ, т.е. в
2
R
их называют кривыми безразличия.
Пример 2.2. Построить графики функций полезности, приведенных в таблице 2.1 при
2
n


26
Рис. 2.2а. Функции полезности
2 1
( )
ln
j
j
j
u x
a
x



и
1 2
1 2
( )
u x
a x x


 

27
Рис. 2.2б. Функции полезности
2 1
( )
j
j
j
j
u x
x





и
2 2
2 1
1 1
1
( )
2
j
j
ij
i
j
j
i
j
u x
a x
b x x







Пример 2.3. Построить кривые безразличия для функции полезности и а)
1 2
1 2
1 2
( ,
)
u x x
x
x


  
  
; б)
3 1
2 1
2 3
1 2
3
( ,
,
)
u x x x
x
x
x



  
  
  
Рис. 2.3а. Кривые безразличия для функции полезности
1 2
1 2
1 2
( ,
)
u x x
x
x


  
  

28
Рис. 2.3б. Кривые безразличия для функции полезности
3 1
2 1
2 3
1 2
3
( ,
,
)
u x x x
x
x
x



  
  
  
2.3. Предельная полезность и предельная норма замещения благ
В теории потребительского выбора большую роль играют предельные полезности благ, которые выражают дополнительное удовлетворение от потребления одной дополнительной единицы блага. Математически этот факт описывается частными производными функции полезности.
Величина
0
j
j
u
x



показывает изменение полезности на дополнительную единицу
j
- го блага. Переходя к пределу, получим
0
lim
0
j
j
x
j
j
u
u
x
x
 






. Частная производная
j
u
x


называется предельной полезностью
j
-
го блага.
Рассмотрим вопрос о взаимозаменяемости благ.
Пусть объемы потребляемых благ изменились соответственно на малые величины
1 2
,
,...,
n
x
x
x
 

. Тогда полным приращением полезности является величина
1 2
1 2
n
n
u
u
u
u
dx
dx
dx
x
x
x



 






– полный дифференциал функции полезности. Пусть уровень полезности не изменяется, т.е. изменение набора благ происходит так, что сохраняется одна и та же поверхность безразличия

29 1
( ,...,
)
n
u x
x
c

. Предположим, что количество всех благ, кроме
k
- го и
l
- го, которые взаимозаменяемы, не изменяются. Тогда получим
0
k
l
k
l
u
u
dx
dx
x
x






Отсюда имеем
/
/
k
k
l
kl
l
l
k
dx
x
u
x
n
dx
x
u
x

 


 

 
Величина
k
kl
l
x
n
x



называется коэффициентом (нормой) предельной
эквивалентной замены благ, который обратно пропорционален отношению предельных полезностей этих благ, взятому с обратным знаком. Поскольку
0,
1,
l
u
j
n
x




, то
0
kl
n

, т.е. увеличение потребления одного блага вызывает уменьшение другого для сохранения одного и того же уровня полезности.
Изучение изменения нормы предельной заменяемости одних благ другими играет важную роль при изучении закономерностей потребления: если потребность в определенном благе удовлетворяется незначительно, то относительная полезность этого блага по отношению к другим для сохранения одного и того же уровня полезности высока.
Рассмотрим теперь смысл вторых частных производных функции полезности. Вторые частные производные
2
i
j
u
x x

 
характеризуют изменение предельной полезности
j
u
x


блага
j
при изменении потребления этого же блага.
Пусть
2 0
i
j
u
x x


 
, т.е. предельная полезность любого блага уменьшается по мере того, как его потребление увеличивается. Это свойство называют законом
Госсена – законом убывания предельной полезности. Таким образом, предпола- гаем, что функция полезности дважды дифференцируема, имеет непрерывные частные производные, а матрица Гессе
H
,
образованная из вторых частных производных, является отрицательно определенной (ее главные миноры нечетного порядка отрицательны, а четного положительны для любого набора
1
( ,...,
)
n
x
x
x

. Это требование относительно функции полезности означает, что функция полезности строго вогнута.
Пример 2.4. Для функций полезности
1 2
1 2
1 1 2 2
( ,
)
,
0, 0 1,
1,2
j
j
u x x
x
x
j


 
 
 
  

найти:

30

предельные полезности,

коэффициент предельной эквивалентной замены благ
21
n
,

матрицу Гессе
H
и провести исследование матрицы на отрицательную определённость.
Рис.2.4. Результаты решения примера 2.4
2.4. Оптимальный выбор благ потребителем
2.4.1. Модель задачи оптимального выбора
Математическая модель выбора благ потребителем имеет следующий вид:
1
( )
( ,...,
)
max
n
u x
u x
x


(2.5) при условиях:
1
n
j
j
j
p x
M



,
(2.6) min max
,
1,...,
j
j
j
x
x
x
j
n



(2.7)
Ограничение (2.7) означает, что спрос на
j
- е благо ограничен величиной min
j
x
, предложение – max
j
x
Для
2
n

получаем задачу

31 1
2
( ,
)
max
u x x

(2.8) при ограничениях min max
1 1 2 2
;
,
1,2
j
j
j
p x
p x
M x
x
x
j





(2.9)
На рис. 2.5. дана геометрическая интерпретация модели при ограничениях
1 1 2
2
;
0,
1, 2
j
p x
p x
M x
j




Рис. 2.5. Геометрическая интерпретация модели при
2
n

На рис. 2.5 прямая АВ соответствует бюджетному ограничению, треугольник OAB – области доступных наборов, а точка
*
*
*
1 2
( ,
)
x x x
касания кривой безразличия со стороной АВ треугольника OABопределяет оптимальный набор благ задачи (2.8) –
(2.9).
Задача (2.8) –(2.9) является задачей математического программирования и состоит в максимизации строго вогнутой функции при линейном ограничении. Решение такой задачи существует, и оно единственно. Это оптимальное решение называют точкой
равновесия задачи оптимального выбора благ потребителем.
Решение задачи (2.8) –(2.9) удовлетворяет системе
1
n
j
j
j
p x
M



,
(2.10)
*
,
1,...,
j
j
u
p
j
n
x

 


(2.11)
Отсюда следует, что предельные полезности пропорциональны ценам соответ- ствующих благ.
Геометрически свойство (2.11) означает, в точке оптимума вектор
1
(
,...,
)
n
p
p
p

бюджетной гиперплоскости (прямой AB на рис. 2.2) и вектор- градиент функции полезности


1
( )
,...,
n
u
u
grad u x
x
x




 





коллинеарны, т.е.

32


*
( )
grad u x
p
 
. Из (2.11) следует, что
*
/
0
j
j
u
x
p
 
  
, так как
/
0,
0,
1,
j
j
u
x
p
j
n
  


Полученное оптимальное решение задачи (2.10) – (2.11) зависит от вектора цен
p
и дохода
M
, т.е. в общем случае решение задачи может быть записано в виде
*
*
( ,
),
1,...,
j
j
x
x p M
j
n


и
*
*
( ,
)
p M
  
как функций переменных
1
,...,
n
p
p
и
M
.
Из приведенных результатов вытекают следующие следствия, имеющие место при оптимальном выборе благ потребителем.
1.
Предельные полезности благ пропорциональны их ценам:
*
*
( )
,
1,...,
j
j
u x
p
j
n
x

 


.
2.
. Отношение предельных полезностей двух благ равно отношению их цен:
*
*
(
) /
;
,
1, ,
(
) /
j
j
k
k
u x
x
p
j k
n j
k
u x
x
p







3.
Предельная полезность, приходящаяся на денежную единицу, одинакова для всех приобретаемых благ:
*
*
( ) /
( ) /
;
,
1, ,
j
k
j
k
u x
x
u x
x
j k
n j
k
p
p







4. Равные предельные полезности, приходящиеся на денежную единицу, равны множителю
*

- предельной полезности денежной единицы, которую потребитель расходует для приобретения благ:
*
*
( ) /
,
1,...,
j
j
u x
x
j
n
p


 

5.
Норма замещения:
;
,
1,..., ,
j
k
kj
j
k
p
x
n
j k
n k
j
x
p


 



6.
В оптимальной точке имеем равенство:
*
*
( )
u x
M

 

(2.12)
Таким образом, величина
*

множителя Лагранжа означает дополнительную полезность, приходящуюся на дополнительную единицу дохода, т.е. предельную полезность денежной единицы дохода потребителя.

33