МИМЭП_Mathcad. А. А. Мицель математическое и имитационное

• Название: А. А. Мицель математическое и имитационное
• Дата: 22.05.2023
• Размер: 5.84 Mb.
• Имя файла: МИМЭП_Mathcad.pdf
• Тип: Учебное пособие; #1151998
• страница: 4 из 14

Пример 2.5. Дана функции полезности
1 2
1 2
1 1 2
2
( ,
)
u x x
x
x


 
 
, доход потребителя
M
и заданы цены благ
1 2
,
p p
. Кроме того, заданы ограничения на спрос и предложение благ min min min
1 2
(
,
)
x
x
x

и max max max
1 2
(
,
)
x
x
x

. Найти: а) оптимальный набор благ и норму замещения
12
n
; б) множитель Лагранжа
*

Рис.2.6а. Результаты решения примера 5 (задание (а)).

34
Рис.2.6б. Результаты решения примера 2.5 (задание (б)).
2.4.2. Взаимная задача к задаче оптимального выбора благ потребителем
Зафиксируем значение функции полезности на уровне
0
u
и рассмотрим те блага
x
,
для которых
0
( )
u x
u

, т.е. те блага, которые дают потребителю один и тот же уровень удовлетворения
0
u
Очевидно, что при заданном векторе цен на блага
1
(
,...,
)
n
p
p
p

стоимости
1
n
j
j
j
M
p x



таких благ различны. Поставим
взаимную задачу: какой набор благ, обеспечивающий данный уровень удовлетворения потребностей, самый дешевый. Математически такая взаимная задача формулируется так: найти минимум функции
1
n
j
j
j
M
p x



(2.14) при условии
1 0
( ,...,
)
;
0,
1,
n
j
u x
x
u
x
j
n



(2.15)
Геометрически для
2
n

задачу (2.14) – (2.15) можно сформулировать следующим образом: для данной кривой безразличия с уравнением
1 2
0
( ,
)
u x x
u

среди параллельных бюджетных линий найти ту, которая ее касается. Точка касания и будет оптимальным решением (рис. 2.7).

35
Рис. 2.7 Геометрическая интерпретация модели (2.14) – (2.15)
Решение задачи (2.14) – (2.15) удовлетворяет следующей системе уравнений
1 0
1
,
1,..., ;
( ,...,
)
j
n
j
u
p
j
n
u x
x
u
x






(2.16)
Решение системы (2.16) определяет оптимальный набор благ
*
*
*
1
( ,...,
)
n
x
x
x

, где
*
*
0
( ,
)
j
j
x
x p u

,
(2.17) и множитель
*

. Минимальные затраты
*
*
1
n
j
j
j
M
p x



будут зависеть от величины
0
u
и вектора цен
p
. Меняя уровень потребления
0
u
, получим
*
0
( )
M
C u

, которая называется функцией затрат потребителя.
В оптимальной точке
*
dM
du
 
, т.е. множитель Лагранжа
*

показывает, какие дополнительные затраты необходимо сделать, чтобы уровень удовлетворения (полезность) увеличить на единицу.
Выше было показано (см. (2.13))), что
*
*
(
)
u x
M

 

, т.е. множитель
*

показывает, какую дополнительную полезность мы получим на дополнительную единицу расходуемого дохода. Значит, по смыслу множители
*

и
*

взаимообратны. Установим, как связаны оптимальные решения взаимной задачи и задачи оптимального выбора благ потребителем. Пусть
0
u
равно максимальному значению функции полезности
*
u
,
полученному при решении задачи оптимального выбора благ потребителем. В этом случае что
*
*
1
 

, а

36 также
*
M
M

, где
M
– заданный доход потребителя в задаче оптимального выбора благ потребителем (рис. 2.8).
Рис. 2.8 Геометрическая интерпретация модели (2.14) – (2.15)
Пример 2.6. Для мультипликативной функции полезности потребителя
1 2
1 2
1 2
(
)
; 0 1,
1, 2;
0
i
u x x
ax x
i
a



  


найти решение: а) задачи оптимального выбора благ потребителя и взаимной задачи.
Рис. 2.9. Результаты решения примера 2.6.
2.5. Варианты заданий лабораторной работы №2

37
Задание 1. Построить графики ФП и кривые безразличия (для
2
n

).
Задание 2. Рассчитать предельные полезности ФП и построить их графики.
Задание 3. Рассчитать коэффициент предельной эквивалентной замены благ
12
n
, матрицу Гессе
H
и провести исследование матрицы на отрицательную определённость
Задание 4. При заданном спросе min
x
и заданном предложении max
x
, ценах на блага
p
рассчитать доход
M
потребителя, при котором доступное множество благ будет: а) пустым; б) полным.
Задание 5. При заданном спросе min
x
и заданном предложении max
x
, ценах на блага
p
и доходе потребителя
M
Найти: а) оптимальный набор благ и множитель Лагранжа
*

; б) решение взаимной задачи
Варианты заданий
Тип функции полезности
Функция полезности
Варианты
Логарифмич-
есчкая
2 1
( )
ln
j
j
j
u x
a
x



1. min max
(10, 10);
(3,8);
(8,15);
(10,15);
200.
a
x
x
p
M





2. min max
(5, 5);
(5,10);
(8,15);
(12,15);
200.
a
x
x
p
M





3. min max
(5, 10);
(5,10);
(8, 20);
(15,15);
300.
a
x
x
p
M





4. min max
(5, 12);
(5,12);
(8, 20);
(15,10);
250.
a
x
x
p
M





Мультиплика-
тивная
2 1
( )
j
j
j
u x
a
x




5. min max
10;
(0.3, 0.5);
(3,8);
(8,15);
(10,15);
200.
a
x
x
p
M

 





38 6. min max
15;
(0.5, 0.8);
(5,10);
(8,15);
(10,15);
200.
a
x
x
p
M

 




7. min max
20;
(0.5, 0.8);
(5,15);
(8,15);
(10,15);
250.
a
x
x
p
M

 




8. min max
10;
(0.5, 0.8);
(5,15);
(8,15);
(10,15);
300.
a
x
x
p
M

 




Аддитивная
2 1
( )
j
j
j
j
u x
x





9. min max
(10, 10);
(0.5, 0.8);
(5,15);
(8,15);
(10,15);
300.
x
x
p
M
 
 




10. min max
(10, 15);
(0.3, 0.8);
(5,15);
(8,15);
(10,15);
300.
x
x
p
M
 
 




11. min max
(15, 15);
(0.4, 0.8);
(5,15);
(8,15);
(10,15);
350.
x
x
p
M
 
 




12. min max
(10, 12);
(0.3, 0.8);
(5, 20);
(8,15);
(10,15);
350.
x
x
p
M
 
 




Квадратичная
2 1
2 2
1 1
( )
1 2
j
j
j
ij
i
j
i
j
u x
a x
b x x








13. min max
2 1
(10, 12);
;
1 2
(5, 20);
(8,15);
(10,15);
350.
a
b
x
x
p
M




 









39 14. min max
2 3
(10, 15);
;
3 6
(5, 20);
(8,15);
(10,10);
350.
a
b
x
x
p
M




 








15. min max
3 3
(15, 15);
;
3 6
(5, 20);
(10,15);
(10,15);
350.
a
b
x
x
p
M




 








16. min max
3 3
(10, 10);
;
3 6
(5, 20);
(10,15);
(10,15);
250.
a
b
x
x
p
M




 









40
3
.
Лабораторная работа №3. Балансовые модели
Балансовые модели, как статистические, так и динамические, широко применяются при экономико-математическом моделировании экономических систем и процессов. В основе создания этих моделей лежит балансовый метод, т.е. метод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Если описывать экономическую систему в целом, то под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между производимым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции.
Принципиальная схема межотраслевого баланса производства и распределения совокупного общественного продукта в стоимостном выражении приведена в табл. 3.1. В основу этой схемы положено разделение совокупного продукта на две части: промежуточный и конечный продукт; все народное хозяйство представлено в виде совокупности n
отраслей (имеются в виду чистые отрасли), при этом каждая отрасль фигурирует в балансе как производящая и как потребляющая.
Таблица 3.1
Производящие отрасли
Потребляющие отрасли
Конечный продукт
Валовый продукт
1 2
3 n
n
3 2
1 1
n
31 21 11
x x
x x
2
n
32 22 12
x x
x x
3
n
33 23 13
x x
x x
I
nn n
3
n
2
n
1
x x
x x
n
3 2
1
Y
II
Y
Y
Y
n
3 2
1
X
X
X
X
доход
Чистый ттруд
Оплата я
Амортизаци
1 1
1
m v
c
2 2
2
m v
c
3 3
3
m v
c
III
n n
n m
v c
IV
Валовой продукт
1
X
2
X
3
X
n
X





n
1
j j
n
1
i i
X
X
Рассмотрим схему МОБ в разрезе его крупных составных частей.
Выделяются четыре части, имеющие различное экономическое содержание, они называются квадрантами баланса и на схеме обозначены римскими цифрами.
П е р в ы й к в а д р а н т МОБ — это шахматная таблица межотраслевых материальных связей. Показатели, помещенные на пересечениях строк и столбцов, представляют собой величины межотраслевых потоков продукции и

41 в общем виде обозначаются ij x
,
где i
и j
— соответственно номера отраслей производящих и потребляющих. Так, величина
32
x понимается как стоимость средств производства, произведенных в отрасли с номером 3 и потребленных в качестве материальных затрат в отрасли с номером 2.
Таким образом, первый квадрант по форме представляет собой квадратную матрицу порядка n
,
сумма всех элементов которой равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере.
Во в т о р о м к в а д р а н т е представлена конечная продукция всех отраслей материального производства, при этом под конечной понимается продукция, выходящая из сферы производства в область конечного использования (на потребление и накопление). В табл. 1 этот раздел дан укрупненно в виде одного столбца величин i
Y
; в развернутой схеме баланса конечный продукт каждой отрасли показан дифференцированно по направлениям использования на личное потребление населения, общественное потребление, на накопление, возмещение потерь, экспорт и др. Итак, второй квадрант характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода, а в развернутом виде — также распределение национального дохода на фонд накопления и фонд потребления, структуру потребления и накопление по отраслям производства и потребителям.
Т р е т и й к в а д р а н т МОБ также характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продукции и амортизации; чистая продукция понимается при этом как сумма оплаты труда и чистого дохода отраслей. Сумму амортизации (
j с
) и чистой продукции
(
j j
m v

)
некоторой j
- й отрасли будем называть условно чистой продукцией этой отрасли и обозначать в дальнейшем j
Z
.
Ч е т в е р т ы й к в а д р а н т баланса находится на пересечении столбцов второго квадранта (конечной продукции) и строк третьего квадранта (условно чистой продукции). Этим определяется содержание квадранта: он отражает конечное распределение и использование национального дохода. В результате перераспределения первоначально созданного национального дохода образуются конечные доходы населения, предприятий, государства.
Данные четвертого квадранта важны для отражения в межотраслевой модели баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капиталовложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей. Более детально составляющие элементы этого квадранта здесь не рассматриваются, однако очень важным является тот факт, что общий итог четвертого квадранта, так же как второго и третьего, должен быть равен созданному за год национальному доходу.
Запишем два важных соотношения. 1) Рассматривая схему баланса по столбцам, можно сделать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения: n
,...,
1
j
;
Z
x
X
j n
1
i ij j





(3.1)

42
Напомним, что величина условно чистой продукции j
Z
равна сумме амортизации, оплаты труда и чистого дохода j
- и отрасли. Соотношение (3.1) охватывает систему из n
уравнений, отражающих стоимостный состав продукции всех отраслей материальной сферы.
2) Рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли: n
,...,
1
i
;
Y
x
X
i n
1
j ij i





(3.2)
Формула (3.2) описывает систему из n
уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.
Просуммируем по всем отраслям уравнения (1), в результате получим










n
1
j j
n
1
j n
1
i ij n
1
j j
Z
x
X
Аналогичное суммирование уравнений (2) дает:










n
1
j i
n j
1
i n
1
ij n
1
i i
Y
x
X
Левые части обоих равенств равны, так как представляют собой весь валовой общественный продукт. Первые слагаемые правых частей этих равенств также равны, их величина равна итогу первого квадранта.
Следовательно, должно соблюдаться соотношение





n
1
i i
n
1
j j
Y
Z
(3.3)
Левая часть уравнения (3.3) есть сумма третьего квадранта, а правая часть
— итог второго квадранта. В целом же это уравнение показывает, что в межотраслевом балансе соблюдается важнейший принцип единства материального и стоимостного состава национального дохода.
3.1. Коэффициенты прямых и полных материальных заират
Основу информационного обеспечения модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица, содержащая коэффициенты прямых материальных затрат на производство единицы продукции. Эта матрица является также основой экономико-математической модели межотраслевого баланса. Предполагается, что для производства единицы продукции в j
- й отрасли требуется определенное количество затрат промежуточной продукции i
- й отрасли, равное ij a
.
Оно не зависит от объема производства в отрасли и является стабильной величиной во времени. Величины ij a
называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

43 n
,
1
j
,
i
;
X
x a
j ij ij


(3.4)
С учетом формулы (4) систему уравнений баланса (3.2) можно переписать в виде n
,...,
1
i
;
Y
X
a
X
i n
1
j j
ij i





(3.5)
Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат
)
a
(
A
ij

, вектор-столбец валовой продукции
X
и вектор-столбец конечной продукции
Y
:













n
2 1
X
X
X
X
,













n
2 1
Y
Y
Y
Y
то система уравнений (3.5) в матричной форме примет вид
Y
AX
X


(3.6)
Система уравнений (3.5), или в матричной форме (6), называется
экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью
Леонтьева, моделью «затраты— выпуск»). С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:
• Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (
i
X
), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (
i
Y
):
X
)
A
E
(
Y


(3.7)
• Задав величины конечной продукции всех отраслей (
i
Y
), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (
i
X
):
Y
)
A
E
(
X
1



(3.8)
• Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.Если определитель матрицы
)
A
E
(

не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует.
Обозначим эту обратную матрицу через
B
, тогда систему уравнений в матричной форме (8) можно записать в виде
BY
X

.
(3.8а)
Элементы матрицы
B
будем обозначать через ij b
, тогда из матричного уравнения (3.8) для любой i
- йотрасли можно получить следующее соотношение:

44




n
1
j j
ij i
n
,...,
1
i
,
Y
b
X
(3.9)
Из соотношений (3.9) следует, что валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты ij b
, которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i
- йотрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j
- и отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат ij a
коэффициенты ij b
называются коэффициентами полных
материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.
Коэффициенты полных материальных затрат можно применять, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:






n
1
j j
ij i
n
,...,
1
i
,
Y
b
X
(3.10) где i
X

и j
Y

— изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.