Главная страница
Навигация по странице:

  • 5.1. Различные виды доходности операций Абсолютная доходность

  • Средняя доходность

  • 5.2. Учет налогов

  • Пример 5.1.

  • 5.3. Учет инфляции

  • Пример 5.2.

  • 5.4. Поток платежей и его доходность

  • 5.5. Варианты заданий по лабораторной работе №5

  • МИМЭП_Mathcad. А. А. Мицель математическое и имитационное


    Скачать 5.84 Mb.
    НазваниеА. А. Мицель математическое и имитационное
    Дата22.05.2023
    Размер5.84 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаМИМЭП_Mathcad.pdf
    ТипУчебное пособие
    #1151998
    страница8 из 14
    1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   14
    5.
    Лабораторная работа № 5. Доходность финансовой
    операции
    Финансовой называется операция, начало и конец которой имеют денежную оценку –
    0
    P
    и
    n
    S
    соответственно, а цель проведения которой заключается в максимизации разности
    0
    n
    S
    P

    . Важнейшей характеристикой операции является ее доходность.
    В определении под
    0
    P
    понимают реально вложенные средства в момент
    t
    =
    0, под
    n
    S
    – реально вырученные денежные средства в результате операции, срок которой
    n
    единиц времени. Эффект от вложения естественно измерять в виде процентной ставки наращения, которую в этом случае называют доходностью.
    5.1. Различные виды доходности операций
    Абсолютная доходность
    d
    за весь срок операции определяется из уравнения
    0
    (1
    )
    n
    P
    d
    S


    или
    0 0
    0
    (
    ) /
    /
    1
    n
    n
    d
    S
    P
    P
    S
    P




    .
    Величина
    0
    /
    n
    S
    P
    называется коэффициентом или множителем наращения. Ясно, что
    0
    /
    1
    n
    S
    P
    d
     
    Средняя доходность
    r
    финансовой операции (доходность за единицу времени) – это ставка простых или сложных процентов, с помощью которой измеряют эффективность финансовой операции.
    Согласно определению, доходность финансовой операции за единицу времени - это положительное число
    r
    , удовлетворяющее равенству:
    0
    (1
    )
    n
    P
    r n
    S
     

    или
    0
    (1
    )
    n
    n
    P
    r
    S


    Из этихвыражений найдем связь между
    d
    и
    r
    :
    1 1
    r n
    d
       
    (для простой ставки) и
    (1
    )
    1
    n
    r
    d

     
    (для сложной ставки). Если время измеряется в годах, то
    r
    - среднегодовая доходность операции.
    Таким образом, финансовой операции ставится в соответствие эквивалентная операция наращения суммы
    0
    P
    по ставке
    r
    в течение времени
    n
    5.2. Учет налогов
    Налоги и инфляция заметно влияют на эффективность финансовой операции. Рассмотрим учет налогов. Налог начисляется, как правило, на проценты, получаемые при размещении денежной суммы в рост. Предположим, на сумму
    0
    P
    в течение времени
    n
    начислялись проценты по ставке
    i
    ,
    g
    - ставка налога на проценты. Тогда величина процентов
    0
    ( )
    n
    I n
    S
    P


    ,

    76 а сумма налога
    ( )
    n
    G
    g I n
     
    . Наращенная сумма после выплаты налога составляет
    0
    ( )
    ( )
    (
    )
    n
    n
    n
    n
    n
    S n
    S
    G
    S
    g I n
    S
    g
    S
    P



     

     

    0
    (1
    )
    n
    S
    g
    gP



    Если
    i
    - простая процентная ставка, то
    0
    (1
    )
    n
    S
    P
    i n

     
    . Тогда
    0
    ( )
    (1
    (1
    ) )
    S n
    P
    i
    g n

      
    Видим, что фактически наращение производится по ставке
    (1
    )
    i
    g
    i


    Если
    i
    – сложная процентная ставка, то
    0
    (1
    )
    n
    n
    S
    P
    i


    . Тогда


    0
    ( )
    (1
    ) (1
    )
    n
    S n
    P
    i
    g
    g




    Пример 5.1. При выдаче кредита на 2 года под годовую сложную процентную ставку 0,08 кредитор удерживает комиссионные в размере 0,5% от суммы кредита. Ставка налога на проценты 10%. Какова доходность операции для кредитора?
    Если
    0
    P
    - сумма кредита, а
    n
    S
    - сумма погашаемого долга, то
    0
    (1
    )
    n
    n
    S
    P
    i


    , где
    i
    = 0,08 ,
    n
    = 2. Сумма комиссионных
    0
    cP
    , где
    c
    =
    0,005. Тогда сумма, фактически выданная в долг, составит
    0
    (0)
    (1
    )
    P
    P
    c


    После выплаты налога у кредитора останется


    0
    ( )
    (1
    ) (1
    )
    n
    S n
    P
    i
    g
    g




    , где
    g
    = 0,1 - ставка налога. Уравнение доходности имеет вид
    ( )
    (0)(1
    )
    n
    S n
    P
    r


    Разрешая это уравнение относительно
    r
    , получим
    1 1
    ( )
    (1
    ) (1
    )
    1 1 0,07496
    (0)
    1
    n
    n
    n
    S n
    i
    g
    g
    r
    P
    c








     
     











    Заметим, что без учета налога (
    g
    = 0) доходность операции составила бы
    0,08271.
    5.3. Учет инфляции
    Инфляция– обесценение денег, проявляющееся в росте цен на товары и услуги, что влечет за собой снижение покупательной способности денег.
    Предположим, что за
    n
    единиц времени получена наращенная сумма вклада
    n
    S
    . Индекс цен за период
    [0, ]
    n
    вырос до значения
    ( )
    J n
    . Тогда реальная сумма вклада вследствие снижения покупательной способности денег составит
    ( )
    ( )
    n
    S
    S n
    J n

    ,

    77 где
    1 0
    1 2
    1
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    1 2
    ( )
    (1
    )
    (1
    )
    (1
    )
    n
    n
    t t
    t
    t
    t
    t
    n
    J n
    h
    h
    h




     
     
     
    – индекс цен на интервале
    [0, ]
    n
    ;
    1
    [0, ]
    t
    , … ,
    1
    [
    ,
    ]
    n
    n
    t
    t

    - отрезки времени в сроке
    [0, ]
    n
    (
    0 0,
    n
    t
    t
    n


    ), длины которых
    1 0
    2 1
    1
    (
    ),(
    ),...,(
    )
    n
    n
    t
    t
    t
    t
    t
    t




    единиц времени;
    i
    h
    (
    1,...,
    i
    n
    =
    )
    – темп инфляции на отрезке
    1
    [
    , ]
    i
    i
    t
    t
    -
    (измеряется в процентах).
    Так как
    ( ) 1
    J n

    , то
    ( )
    n
    S n
    S

    , что означает фактическое снижение ставки наращения.
    Пример 5.2. Ожидаемый годовой темп инфляции первых двух лет вклада составляет 3%, а следующих трех - 4%. Какую минимальную годовую ставку сложных процентов должен предложить банк клиенту, чтобы реальная годовая доходность вклада была не меньше 8% ?
    Здесь
    0
    t

    - момент размещения вклада, 1 год - единица измерения времени, срок вклада
    n
    = 5 лет.
    1
    h
    = 0,03 и
    2
    h
    = 0,04
    – среднегодовые темпы инфляции на временных отрезках [0,2], [2,5]. Для доходности по вкладу
    r
    должно быть выполнено условие:
    0.08
    r

    . Пусть
    i
    - годовая сложная процентная ставка, под которую размещена сумма
    0
    P
    . Тогда наращенная сумма вклада через
    n
    лет
    0
    (1
    )
    n
    n
    S
    P
    i


    . С учетом инфляции реальная сумма вклада составит
    ( )
    ( )
    n
    S
    S n
    J n

    , где индекс цен согласно равен
    2 3
    1 2
    ( )
    (1
    )
    (1
    )
    J t
    h
    h
     
     
    . Уравнение доходности имеет вид:
    ( )
    (0)(1
    )
    n
    S n
    P
    r


    . Разрешая это уравнение относительно
    r
    и учитывая требуемое условие для доходности, получим:
    2 3
    5 5
    1 2
    1 1
    0,08
    (1
    ) (1
    )
    i
    r
    h
    h


     


    Отсюда
    i

    0,11887. Значит, минимальная процентная ставка размещения вклада составляет 0,11887 против 0,08 без учета инфляции.
    5.4. Поток платежей и его доходность
    Пусть
    {
    , }
    k
    k
    R t
    – поток платежей, в нем
    k
    t
    – моменты времени,
    k
    R

    платежи. Будем говорить, что рассматриваемый поток имеет современную величину
    A
    при уровне доходности
    j
    , если
    /(1
    )
    k
    t
    k
    k
    R
    j
    A



    .
    Если поток есть годовая рента с годовым платежом
    R
    и длительностью
    n
    , то рента имеет современную величину
    A
    при уровне доходности
    j
    , если
    ,
    n j
    R a
    A


    . Фиксируем
    A
    ,
    тогда при увеличении
    R
    доходность ренты увеличивается. Можно сказать и по- другому: для увеличения доходности ренты надо увеличить годовой платеж.
    Все эти соображения особенно хорошо видны на примере вечной ренты, поскольку для нее
    /
    A
    R j

    ,
    или, по-другому: доходность вечной ренты есть
    /
    j
    R A

    .
    Важно отметить, что определенная таким образом доходность потока платежей не зависит от ставки процента, а зависит только от величины и моментов самих платежей, в силу чего ее называют часто внутренней
    доходностью потока платежей.

    78
    Если в потоке платежей имеются отрицательные величины, то внутренняя доходность определяется как наименьший положительный корень (наименьшая процентная ставка) уравнения
    /(1
    )
    0
    k
    t
    k
    k
    R
    j



    Пример 5.3. Вексель учтен по ставке
    i
    = 10% за 160 дней до его оплаты
    (временная годовая база равна 360 дням). При выполнении операции учета с владельца векселя удержаны комиссионные в размере 0,5% от номинала векселя. Найти доходность операции.
    Решение. Абсолютная доходность операции без учета комиссионных:
    1 1
    (1
    )
    S
    N
    d
    P
    N
    i m
      

     
    ,
    где
    ,
    S P
    — конечная и начальная стоимость векселя;
    N
    – номинал векселя;
    160 / 360
    m

    . Подставим исходные данные, получим:
    d
    = 0.046, т.е.
    d
    = 4.6%.
    С учетом комиссионных абсолютная доходность равна:
    1 1
    (1 0.005)
    S
    N
    d
    P
    N
    i m
      

      
    = 5.2%
    Средне-годовая доходность равна:
    (1 + 0,046)
    360/160
    – 1 = 0,106, т.е. 10,6% —, без учета комиссионных,
    (1 + 0,052)
    360/160
    – 1 = 0,1208, т.е. 12,08% — с учетом комиссионных.
    5.5. Варианты заданий по лабораторной работе №5
    1.
    Значения капитала в моменты времени 0; 1; 2; 4 есть
    0
    K
    = 100,
    1
    K
    = 200,
    2
    K
    = 300,
    4
    K
    =
    400. Найти абсолютную средне-годовую доходность на отдельных промежутках.
    Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.1.
    Таблица 5.1
    Вариант
    0
    K
    1
    K
    2
    K
    4
    K
    1 100 150 200 400 2
    100 200 250 400 3
    120 200 300 350 4
    120 250 300 450 5
    130 150 200 350 6
    130 200 250 400 7
    140 250 350 500 8
    140 300 400 480 9
    150 200 400 500 10 150 300 450 500 2.
    Ссуда выдана на
    n
    =2 года с обязательством выплатить на 30% больше
    (т.е. под 15 ежегодных простых процентов,
    п
    i
    = 15% ). Найдите эквивалентную

    79 ставку сложных годовых процентов.
    Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.2.
    Таблица 5.2
    Вариант
    n
    , лет
    п
    i
    , %
    1 2
    16 2
    2 10 3
    2 12 4
    3 13 5
    3 17 6
    4 16 7
    4 15 8
    5 15 9
    5 14 10 5
    16 3.
    На какую годовую ставку процентов нужно заменить номинальную ставку годовых сложных процентов
    j
    = 12%, если начислять сложные проценты ежеквартально?
    Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.3.
    Таблица 5.3
    Вариант
    j
    , %
    m
    1 9
    4 2
    10 4
    3 11 4
    4 12 4
    5 13 4
    6 14 6
    7 10 6
    8 11 6
    9 12 6
    10 13 6
    4.
    Допустим, инвестиционный проект «циклический». Фабрика работает циклами: один год из
    n
    = 10 она на капитальном ремонте и обновлении, что требует
    K
    = $30 000, в остальные девять лет цикла фабрика приносит доход
    R
    =
    $10 000 в год. Найти внутреннюю доходность этого инвестиционного проекта.
    Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.4.
    Таблица 5.4.
    Вариант
    n
    , лет
    K
    ,$
    R
    , $
    1 9
    70000 20000 2
    9 90000 22000 3
    9 95000 25000 4
    9 60000 18000 5
    9 50000 10000

    80 6
    10 80000 15000 7
    10 100000 20000 8
    10 140000 20000 9
    10 45000 8000 10 11 53000 13000 5. Рассмотрим операцию с иностранной валютой. Пусть за ноябрь 1998 г. курс доллара возрос с
    Н
    = 16 руб. до
    K
    = 18 руб. Банк в начале месяца купил доллары за рубли, а в конце месяца продал доллары, получив рубли. Найдите доходность этой операции в процентах годовых. Если инфляция за этот месяц была

    = 10%, то какова реальная доходность операции?
    Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.5.
    Таблица 5.5.
    Вариант
    Н
    , руб.
    K
    , руб.

    ,%
    1 10 19 10 2
    10 20 10 3
    11 18 10 4
    11 20 10 5
    15 20 10 6
    15 25 11 7
    17 20 11 8
    17 25 11 9
    17 30 12 10 18 28 12 6. По срочному годовому рублевому вкладу банк платит
    1
    i
    = 42% годовых.
    Прогноз повышения курса доллара за год – с
    Н
    = 20 руб. до
    K
    = 30 руб. Какое принять решение: нести рубли в банк или купить на них доллары и хранить их дома?
    Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.6.
    Таблица 5.6.
    Вариант
    1
    i
    , %
    Н
    , руб.
    K
    , руб.
    1 40 20 30 2
    40 15 20 3
    41 17 27 4
    41 16 27 5
    42 15 28 6
    42 19 30 7
    43 20 33

    81 8
    43 20 25 9
    44 17 30 10 45 18 28 7.
    По срочному годовому рублевому: вкладу банк платит
    1
    i
    = 42% годовых, а по такому же валютному —
    2
    i
    = 8%. Прогноз повышения курса доллара за год — с
    H
    = 20 руб. до
    K
    = 26 руб. Какое принять решение: нести рубли в банк иди купить на них доллары и положить их на валютный счет?
    Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.7.
    Таблица 5.7.
    Вариант
    1
    i
    , %
    2
    i
    , %
    H
    , руб.
    K
    , руб.
    1 40 8
    22 30 2
    40 8
    15 24 3
    41 9
    17 27 4
    41 9
    16 27 5
    42 7
    20 26 6
    42 7
    19 25 7
    43 8
    20 25 8
    43 8
    23 25 9
    44 9
    17 29 10 45 9
    18 24 8. Обменные курсы валют в банке: по доллару США – 22,8/23,6 руб. за доллар
    (т.е.
    п
    Д
    = 22,8,
    пр
    Д
    = 23,6); по итальянской лире – 13,6/15,4 руб. за 1000 лир (т.е.
    п
    Л
    = 13,6,
    пр
    Л
    = 15,4)
    . Какова доходность для банка операции по обмену лир на доллары?
    Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.8.
    Таблица 5.8.
    Вариант
    п
    Д
    , руб. за доллар
    пр
    Д
    , руб. за доллар
    п
    Л
    , руб. за
    100 лир
    пр
    Л
    , руб. за
    100 лир
    1 20,8 23,7 13,7 15,4 2
    21,2 24,4 14,2 16,7 3
    21,5 24,2 13,3 14,2 4
    21,8 25,2 13.6 14.5 5
    22,2 24,8 13,8 15,2 6
    23,2 26,2 14,2 16,2 7
    23,5 25.6 13,2 13,8 8
    24,6 26,3 13,1 14,8

    82 9
    24,7 26.8 13,9 14,7 10 25,2 27 14,5 15,3 9.
    При выдаче кредита на
    n
    =200 дней под
    i
    = 10 % годовых кредитор удерживает комиссионные в размере
    k
    =0,5% от суммы кредита. Ставка налога на проценты
    j
    = 10%. Какова доходность операции для кредитора?
    Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.9.
    Таблица 5.9
    Вариант
    n
    , дней
    i
    , %
    k
    , %
    j
    , %
    1 150 10 0,5 10 2
    150 11 0,6 11 3
    200 9
    0,6 9
    4 200 11 0,4 11 5
    200 10 0,4 10 6
    200 12 0,6 12 7
    250 9
    0,4 9
    8 250 10 0,5 10 9
    250 11 0,6 11 10 300 12 0,4 12 10. Автокредит в сумме
    A
    = 380 000 рублей с годовой ставкой
    i
    = 13% и начальным взносом
    p
    = 20%
    взят на
    n
    = 3 года. Услуги банка за пользование кредитом составляют
    g
    = 0.2%.
    Вычислить размер ежемесячного платежа
    (размер срочной уплаты), среднегодовую и внутреннюю доходность операции для банка.
    Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.10.
    Таблица 5.10.
    Вариант
    A
    , тыс. руб.
    n
    , лет
    i
    , %
    p
    , %
    g
    , %
    1 400 3
    13 25 0,2 2
    450 3
    13 25 0,2 3
    500 3.5 14 30 0,2 4
    300 3
    14 20 0,2 5
    350 3.5 15 20 0,2 6
    550 4.5 16 30 0,2 7
    600 5
    17 30 0,2 8
    700 5
    17 30 0,2 9
    380 3
    13 20 0,2 10 400 3
    13 30 0,2

    83
    1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   14


    написать администратору сайта