МИМЭП_Mathcad. А. А. Мицель математическое и имитационное
 Скачать 5.84 Mb.
|
|
5. Лабораторная работа № 5. Доходность финансовой операции Финансовой называется операция, начало и конец которой имеют денежную оценку – 0 P и n S соответственно, а цель проведения которой заключается в максимизации разности 0 n S P . Важнейшей характеристикой операции является ее доходность. В определении под 0 P понимают реально вложенные средства в момент t = 0, под n S – реально вырученные денежные средства в результате операции, срок которой n единиц времени. Эффект от вложения естественно измерять в виде процентной ставки наращения, которую в этом случае называют доходностью. 5.1. Различные виды доходности операций Абсолютная доходность d за весь срок операции определяется из уравнения 0 (1 ) n P d S или 0 0 0 ( ) / / 1 n n d S P P S P . Величина 0 / n S P называется коэффициентом или множителем наращения. Ясно, что 0 / 1 n S P d Средняя доходность r финансовой операции (доходность за единицу времени) – это ставка простых или сложных процентов, с помощью которой измеряют эффективность финансовой операции. Согласно определению, доходность финансовой операции за единицу времени - это положительное число r , удовлетворяющее равенству: 0 (1 ) n P r n S или 0 (1 ) n n P r S Из этихвыражений найдем связь между d и r : 1 1 r n d (для простой ставки) и (1 ) 1 n r d (для сложной ставки). Если время измеряется в годах, то r - среднегодовая доходность операции. Таким образом, финансовой операции ставится в соответствие эквивалентная операция наращения суммы 0 P по ставке r в течение времени n 5.2. Учет налогов Налоги и инфляция заметно влияют на эффективность финансовой операции. Рассмотрим учет налогов. Налог начисляется, как правило, на проценты, получаемые при размещении денежной суммы в рост. Предположим, на сумму 0 P в течение времени n начислялись проценты по ставке i , g - ставка налога на проценты. Тогда величина процентов 0 ( ) n I n S P , 76 а сумма налога ( ) n G g I n . Наращенная сумма после выплаты налога составляет 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n S n S G S g I n S g S P 0 (1 ) n S g gP Если i - простая процентная ставка, то 0 (1 ) n S P i n . Тогда 0 ( ) (1 (1 ) ) S n P i g n Видим, что фактически наращение производится по ставке (1 ) i g i Если i – сложная процентная ставка, то 0 (1 ) n n S P i . Тогда 0 ( ) (1 ) (1 ) n S n P i g g Пример 5.1. При выдаче кредита на 2 года под годовую сложную процентную ставку 0,08 кредитор удерживает комиссионные в размере 0,5% от суммы кредита. Ставка налога на проценты 10%. Какова доходность операции для кредитора? Если 0 P - сумма кредита, а n S - сумма погашаемого долга, то 0 (1 ) n n S P i , где i = 0,08 , n = 2. Сумма комиссионных 0 cP , где c = 0,005. Тогда сумма, фактически выданная в долг, составит 0 (0) (1 ) P P c После выплаты налога у кредитора останется 0 ( ) (1 ) (1 ) n S n P i g g , где g = 0,1 - ставка налога. Уравнение доходности имеет вид ( ) (0)(1 ) n S n P r Разрешая это уравнение относительно r , получим 1 1 ( ) (1 ) (1 ) 1 1 0,07496 (0) 1 n n n S n i g g r P c Заметим, что без учета налога ( g = 0) доходность операции составила бы 0,08271. 5.3. Учет инфляции Инфляция– обесценение денег, проявляющееся в росте цен на товары и услуги, что влечет за собой снижение покупательной способности денег. Предположим, что за n единиц времени получена наращенная сумма вклада n S . Индекс цен за период [0, ] n вырос до значения ( ) J n . Тогда реальная сумма вклада вследствие снижения покупательной способности денег составит ( ) ( ) n S S n J n , 77 где 1 0 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) (1 ) (1 ) (1 ) n n t t t t t t n J n h h h – индекс цен на интервале [0, ] n ; 1 [0, ] t , … , 1 [ , ] n n t t - отрезки времени в сроке [0, ] n ( 0 0, n t t n ), длины которых 1 0 2 1 1 ( ),( ),...,( ) n n t t t t t t единиц времени; i h ( 1,..., i n = ) – темп инфляции на отрезке 1 [ , ] i i t t - (измеряется в процентах). Так как ( ) 1 J n , то ( ) n S n S , что означает фактическое снижение ставки наращения. Пример 5.2. Ожидаемый годовой темп инфляции первых двух лет вклада составляет 3%, а следующих трех - 4%. Какую минимальную годовую ставку сложных процентов должен предложить банк клиенту, чтобы реальная годовая доходность вклада была не меньше 8% ? Здесь 0 t - момент размещения вклада, 1 год - единица измерения времени, срок вклада n = 5 лет. 1 h = 0,03 и 2 h = 0,04 – среднегодовые темпы инфляции на временных отрезках [0,2], [2,5]. Для доходности по вкладу r должно быть выполнено условие: 0.08 r . Пусть i - годовая сложная процентная ставка, под которую размещена сумма 0 P . Тогда наращенная сумма вклада через n лет 0 (1 ) n n S P i . С учетом инфляции реальная сумма вклада составит ( ) ( ) n S S n J n , где индекс цен согласно равен 2 3 1 2 ( ) (1 ) (1 ) J t h h . Уравнение доходности имеет вид: ( ) (0)(1 ) n S n P r . Разрешая это уравнение относительно r и учитывая требуемое условие для доходности, получим: 2 3 5 5 1 2 1 1 0,08 (1 ) (1 ) i r h h Отсюда i 0,11887. Значит, минимальная процентная ставка размещения вклада составляет 0,11887 против 0,08 без учета инфляции. 5.4. Поток платежей и его доходность Пусть { , } k k R t – поток платежей, в нем k t – моменты времени, k R – платежи. Будем говорить, что рассматриваемый поток имеет современную величину A при уровне доходности j , если /(1 ) k t k k R j A . Если поток есть годовая рента с годовым платежом R и длительностью n , то рента имеет современную величину A при уровне доходности j , если , n j R a A . Фиксируем A , тогда при увеличении R доходность ренты увеличивается. Можно сказать и по- другому: для увеличения доходности ренты надо увеличить годовой платеж. Все эти соображения особенно хорошо видны на примере вечной ренты, поскольку для нее / A R j , или, по-другому: доходность вечной ренты есть / j R A . Важно отметить, что определенная таким образом доходность потока платежей не зависит от ставки процента, а зависит только от величины и моментов самих платежей, в силу чего ее называют часто внутренней доходностью потока платежей. 78 Если в потоке платежей имеются отрицательные величины, то внутренняя доходность определяется как наименьший положительный корень (наименьшая процентная ставка) уравнения /(1 ) 0 k t k k R j Пример 5.3. Вексель учтен по ставке i = 10% за 160 дней до его оплаты (временная годовая база равна 360 дням). При выполнении операции учета с владельца векселя удержаны комиссионные в размере 0,5% от номинала векселя. Найти доходность операции. Решение. Абсолютная доходность операции без учета комиссионных: 1 1 (1 ) S N d P N i m , где , S P — конечная и начальная стоимость векселя; N – номинал векселя; 160 / 360 m . Подставим исходные данные, получим: d = 0.046, т.е. d = 4.6%. С учетом комиссионных абсолютная доходность равна: 1 1 (1 0.005) S N d P N i m = 5.2% Средне-годовая доходность равна: (1 + 0,046) 360/160 – 1 = 0,106, т.е. 10,6% —, без учета комиссионных, (1 + 0,052) 360/160 – 1 = 0,1208, т.е. 12,08% — с учетом комиссионных. 5.5. Варианты заданий по лабораторной работе №5 1. Значения капитала в моменты времени 0; 1; 2; 4 есть 0 K = 100, 1 K = 200, 2 K = 300, 4 K = 400. Найти абсолютную средне-годовую доходность на отдельных промежутках. Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.1. Таблица 5.1 Вариант 0 K 1 K 2 K 4 K 1 100 150 200 400 2 100 200 250 400 3 120 200 300 350 4 120 250 300 450 5 130 150 200 350 6 130 200 250 400 7 140 250 350 500 8 140 300 400 480 9 150 200 400 500 10 150 300 450 500 2. Ссуда выдана на n =2 года с обязательством выплатить на 30% больше (т.е. под 15 ежегодных простых процентов, п i = 15% ). Найдите эквивалентную 79 ставку сложных годовых процентов. Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.2. Таблица 5.2 Вариант n , лет п i , % 1 2 16 2 2 10 3 2 12 4 3 13 5 3 17 6 4 16 7 4 15 8 5 15 9 5 14 10 5 16 3. На какую годовую ставку процентов нужно заменить номинальную ставку годовых сложных процентов j = 12%, если начислять сложные проценты ежеквартально? Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.3. Таблица 5.3 Вариант j , % m 1 9 4 2 10 4 3 11 4 4 12 4 5 13 4 6 14 6 7 10 6 8 11 6 9 12 6 10 13 6 4. Допустим, инвестиционный проект «циклический». Фабрика работает циклами: один год из n = 10 она на капитальном ремонте и обновлении, что требует K = $30 000, в остальные девять лет цикла фабрика приносит доход R = $10 000 в год. Найти внутреннюю доходность этого инвестиционного проекта. Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.4. Таблица 5.4. Вариант n , лет K ,$ R , $ 1 9 70000 20000 2 9 90000 22000 3 9 95000 25000 4 9 60000 18000 5 9 50000 10000 80 6 10 80000 15000 7 10 100000 20000 8 10 140000 20000 9 10 45000 8000 10 11 53000 13000 5. Рассмотрим операцию с иностранной валютой. Пусть за ноябрь 1998 г. курс доллара возрос с Н = 16 руб. до K = 18 руб. Банк в начале месяца купил доллары за рубли, а в конце месяца продал доллары, получив рубли. Найдите доходность этой операции в процентах годовых. Если инфляция за этот месяц была = 10%, то какова реальная доходность операции? Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.5. Таблица 5.5. Вариант Н , руб. K , руб. ,% 1 10 19 10 2 10 20 10 3 11 18 10 4 11 20 10 5 15 20 10 6 15 25 11 7 17 20 11 8 17 25 11 9 17 30 12 10 18 28 12 6. По срочному годовому рублевому вкладу банк платит 1 i = 42% годовых. Прогноз повышения курса доллара за год – с Н = 20 руб. до K = 30 руб. Какое принять решение: нести рубли в банк или купить на них доллары и хранить их дома? Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.6. Таблица 5.6. Вариант 1 i , % Н , руб. K , руб. 1 40 20 30 2 40 15 20 3 41 17 27 4 41 16 27 5 42 15 28 6 42 19 30 7 43 20 33 81 8 43 20 25 9 44 17 30 10 45 18 28 7. По срочному годовому рублевому: вкладу банк платит 1 i = 42% годовых, а по такому же валютному — 2 i = 8%. Прогноз повышения курса доллара за год — с H = 20 руб. до K = 26 руб. Какое принять решение: нести рубли в банк иди купить на них доллары и положить их на валютный счет? Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.7. Таблица 5.7. Вариант 1 i , % 2 i , % H , руб. K , руб. 1 40 8 22 30 2 40 8 15 24 3 41 9 17 27 4 41 9 16 27 5 42 7 20 26 6 42 7 19 25 7 43 8 20 25 8 43 8 23 25 9 44 9 17 29 10 45 9 18 24 8. Обменные курсы валют в банке: по доллару США – 22,8/23,6 руб. за доллар (т.е. п Д = 22,8, пр Д = 23,6); по итальянской лире – 13,6/15,4 руб. за 1000 лир (т.е. п Л = 13,6, пр Л = 15,4) . Какова доходность для банка операции по обмену лир на доллары? Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.8. Таблица 5.8. Вариант п Д , руб. за доллар пр Д , руб. за доллар п Л , руб. за 100 лир пр Л , руб. за 100 лир 1 20,8 23,7 13,7 15,4 2 21,2 24,4 14,2 16,7 3 21,5 24,2 13,3 14,2 4 21,8 25,2 13.6 14.5 5 22,2 24,8 13,8 15,2 6 23,2 26,2 14,2 16,2 7 23,5 25.6 13,2 13,8 8 24,6 26,3 13,1 14,8 82 9 24,7 26.8 13,9 14,7 10 25,2 27 14,5 15,3 9. При выдаче кредита на n =200 дней под i = 10 % годовых кредитор удерживает комиссионные в размере k =0,5% от суммы кредита. Ставка налога на проценты j = 10%. Какова доходность операции для кредитора? Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.9. Таблица 5.9 Вариант n , дней i , % k , % j , % 1 150 10 0,5 10 2 150 11 0,6 11 3 200 9 0,6 9 4 200 11 0,4 11 5 200 10 0,4 10 6 200 12 0,6 12 7 250 9 0,4 9 8 250 10 0,5 10 9 250 11 0,6 11 10 300 12 0,4 12 10. Автокредит в сумме A = 380 000 рублей с годовой ставкой i = 13% и начальным взносом p = 20% взят на n = 3 года. Услуги банка за пользование кредитом составляют g = 0.2%. Вычислить размер ежемесячного платежа (размер срочной уплаты), среднегодовую и внутреннюю доходность операции для банка. Решить аналогичную задачу, взяв данные из таблицы 5.10. Таблица 5.10. Вариант A , тыс. руб. n , лет i , % p , % g , % 1 400 3 13 25 0,2 2 450 3 13 25 0,2 3 500 3.5 14 30 0,2 4 300 3 14 20 0,2 5 350 3.5 15 20 0,2 6 550 4.5 16 30 0,2 7 600 5 17 30 0,2 8 700 5 17 30 0,2 9 380 3 13 20 0,2 10 400 3 13 30 0,2 |