Отнт. А. Ю. Босова Москва бином. Лаборатория знаний 10 класс Базовый уровень Учебник
 Скачать 6.18 Mb.
|
|
Глава3.представлениеинформациивкомпьютере Частота дискретизации измеряется в герцах (Гц) и килогерцах кГц. 1 кГц = 1000 Гц. Частота дискретизации, равная 100 Гц, означает, что за одну секунду проводилось 100 измерений громкости звука. Качество звукозаписи зависит не только от частоты дискретизации, но также и от глубины кодирования звука. Глубина кодирования звука или разрешение — это количество информации, которое необходимо для кодирования дискретных уровней громкости цифрового звука. В результате измерений звукового сигнала (см. рис. 3.13) на каждой его ступеньке будет получено некоторое значение громкости, при этом все результаты измерений будут лежать в некотором диапазоне. Пусть под запись одного результата измерения громкости в памяти компьютера отведено n бит. Вызнаете, что это позволяет закодировать ровно 2 n разных результатов измерений. Так, при n = 8 можно закодировать 256 разных результатов измерений громкости звука. Поэтому весь диапазон, в котором могут находиться результаты измерений громкости звука, можно разбить на 256 разных поддиапазонов — уровней громкости звука, каждому из которых присвоить свой уникальный код. После этого каждый имеющийся результат измерений громкости звука можно соотнести с некоторым поддиапазоном, в который он попадает, и кодировать его номером (кодом) соответствующего уровня громкости. В зависимости от ситуации на практике используются разные значения частоты дискретизации и глубины кодирования табл. Таблица примеры параметров оцифровки звука Название Глубина кодирования, бит Частота дискретизации, кГц Число каналов Телефонная связь 8 1 CD 16 44,1 2 Кодирование звуковой информации §16 Пример. Оценим объём звукового стереоаудиофайла с глубиной кодирования 16 бит и частотой дискретизации 44,1 кГц, который хранит звуковой фрагмент длительностью звучания 15 се- кунд. Объём такого звукового фрагмента равен (канала) · 16 бит · 44 100 Гц · 15 с = = 2 646 000 байт ≈ 2 584 Кбайта. Увеличивая частоту дискретизации и глубину кодирования, можно более точно сохранить и впоследствии восстановить форму звукового сигнала. При этом объём сохраняемых данных будет увеличиваться. Важно понимать, каких параметров оцифровки достаточно, чтобы сохраняемый звук был достаточно близок к исходному, а содержащий его файл имел минимально возможный объём. Вначале х годов прошлого века было установлено, что это возможно, если частота временной дискретизации будет в два раза выше максимальной частоты измеряемого сигнала. В 1928 году американский учёный Гарри Найквист высказал утверждение, что частота дискретизации должна быть в два или более раза выше максимальной частоты измеряемого сигнала. В 1933 году наш соотечественник В. А. Котельников и независимо от него американец Клод Шеннон в 1949 году сформулировали и доказали теорему, более сильную чем утверждение Найквиста, о том, при каких условиях и как по дискретным значениям можно восстановить форму непрерывного сигнала. самое ГЛаВное Звук — это распространяющиеся в воздухе, воде или другой среде волны с непрерывно меняющейся амплитудой и частотой. Чтобы компьютер мог обрабатывать звук, непрерывный звуковой сигнал должен быть преобразован в цифровую дискретную форму. Для этого его подвергают временной дискретизации и квантованию параметры звукового сигнала измеряются не непрерывно, а через определённые промежутки времени (временная дискретизация результаты измерений записываются в цифровом виде с ограниченной точностью (квантование). Таким образом, при оцифровке звука искажение сохраняемого сигнала происходит дважды во-первых, при дискретизации теряется информация об истинном изменении звука между изме- 164 Глава3.представлениеинформациивкомпьютере рениями, а во-вторых, при квантовании сохраняются неточные, а близкие к ним дискретные значения. Объём оцифрованного звукового фрагмента в битах находится как произведение частоты дискретизации в Гц, глубины кодирования звука в битах, длительности звучания записи в секундах и количества каналов. Вопросы и задания 1. Каким образом происходит преобразование непрерывного звукового сигнала в дискретный цифровой код 2. Как частота дискретизации и глубина кодирования влияют на качество цифрового звука 3. Производится четырёхканальная (квадро) звукозапись с частотой дискретизации 32 кГц и 32-битным разрешением. Запись длится 4 минуты, её результаты заносятся в файл, сжатие данных не производится. Определите приблизительно размер полученного файла (в мегабайтах. В качестве ответа укажите ближайшее к размеру файла целое число, кратное. Музыкальный фрагмент был записан в формате моно, оцифрован и сохранён в виде файла без использования сжатия данных. Размер полученного файла — 49 Мбайт. Затем тот же музыкальный фрагмент был записан повторно в формате стерео (двухканальная запись) и оцифрован с разрешением в 4 раза выше и частотой дискретизации в 3,5 раза меньше, чем в первый раз. Сжатие данных не производилось. Укажите в мегабайтах размер файла, полученного при повторной записи 5. Музыкальный фрагмент был оцифрован и записан в виде файла без использования сжатия данных. Получившийся файл был передан в город А по каналу связи за 32 секунды. Затем тот же музыкальный фрагмент был оцифрован повторно с разрешением в 3 раза выше и частотой дискретизации в 3 раза выше, чем в первый раз. Сжатие данных не производилось. Полученный файл был передан в город Б. Пропускная способность канала связи с городом Б в 2 раза выше, чем канала связи с городом А. Сколько секунд длилась передача файла в город Б Кодирование звуковой информации 6. Музыкальный фрагмент был оцифрован и записан в виде файла без использования сжатия данных. Получившийся файл был передан в город А по каналу связи за 96 секунд. Затем тот же музыкальный фрагмент был оцифрован повторно с разрешением в 4 раза выше и частотой дискретизации в 3 раза ниже, чем в первый раз. Сжатие данных не производилось. Полученный файл был передан в город Б за 16 секунд. Во сколько раз пропускная способность канала связи с городом Б больше пропускной способности канала связи с городом А 7. В сети Интернет найдите информацию о записи музыкальных произведений в формате MIDI. Почему запись звука в этом формате считают аналогичной векторному методу кодирования графических изображений? Дополнительные материалы к главе смотрите в авторской мастерской Глава 4 ЭЛементы теорИИ множестВ И аЛГебры ЛоГИКИ § 17 теорИя множестВ И аЛГебра ЛоГИКИ некоторые сведения из теории множеств понятие множества С понятием множества вы познакомились на уроках математики ещё в начальной школе, а затем работали с ним при изучении математики и информатики в основной школе. множество — это совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. Примерами множеств могут служить множество всех учеников вашего класса, множество всех жителей Санкт-Петербурга, множество всех натуральных чисел, множество всех решений некоторого уравнения и т. п. Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита (A, B, C, …). Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами. Множество можно задать следующими способами 1) перечислением всех его элементов 2) характеристическим свойством его элементов. В первом случае внутри фигурных скобок перечисляются все объекты, составляющие множество. Каждый объект, входящий в множество, указывается в фигурных скобках лишь один раз. Например, запись М = {1, 3, 5, 7, 9} означает, что множество М состоит из чисел 1, 3, 5, 7 и 9. Точно такой же смысл будет иметь запись М = {3, 1, 5, 9, 7}. Иначе говоря, порядок расположения элементов в фигурных скобках значения не имеет. Важно точно указать, какие именно объекты являются элементами множества некоторые сведения из теории множеств §17 Например: • число 5 является элементом множества ММ число 4 не является элементом множества М 4 ∉ М. Это же множество можно задать с помощью характеристического свойства образующих его элементов — такого свойства, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. В нашем примере можно говорить о множестве натуральных однозначных нечётных чисел. В рассматриваемом множестве М содержится 5 элементов. Это обозначают так М = 5. Можно составить множество, содержащее любое число элементов. Например, множество всех корней уравнения x 2 – 4x – 5 = 0 конечно (два элемента, а множество всех точек прямой бесконечно. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустыми обозначается символом Первый способ задания множеств применим только для конечных множеств, да и то при условии, что число элементов множества невелико. Вторым способом можно задавать как конечные, таки бесконечные множества. Из некоторых элементов множества М можно составить новое множество, например P: P = {1, 3, Если каждый элемент множества P принадлежит множеству М, то говорят, что P есть подмножество Ми записывают P ⊂ М. Само множество М является своим подмножеством, т. к. каждый элемент М принадлежит множеству М. Пустое множество также является подмножеством М. Работая с объектами какой-то определённой природы всегда можно выделить самое большое или универсальное множество, содержащее всевозможные подмножества. Пусть, A — множество чётных чисел, B — множество натуральных чисел, C — множество чисел, кратных пяти. Тогда самым большим множеством, содержащим в себе множества A, B и C, а также другие подобные множества, будет множество целых чисел. Универсальное множество будем обозначать буквой Для наглядного изображения множеств используются круги Эйлера (рис. 4.1). Точки внутри круга считаются элементами множества Символ ∈ называется знаком принадлежности Глава 4. теория множеств и алгебра логики рис. 4.1. Графическое изображение множества М, б) x ∉ М операции надмножествами Надмножествами, как и над числами, производят некоторые операции. пересечением двух множеств X и Y называется множество их общих элементов. Пересечение множеств обозначают с помощью знака ∩: X ∩ На рисунке 4.2 закрашено множество X ∩ рис 4.2. Графическое изображение множества X ∩ Пусть множества X и Y состоят из букв = школа у, рок .Эти множества имеют общие элементы кок, о}. Множества M и X не имеют общих элементов, их пересечение пустое множество M ∩ X = Пересечение множеств Ми есть множество P, а пересечение множеств Ми Месть множество ММ М некоторые сведения из теории множеств §17 объединением двух множеств X и Y называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов. Объединение множеств обозначают с помощью знака ∪: X ∪ На рисунке 4.3 закрашено множество X ∪ рис 4.3. Графическое изображение множества X ∪ Для наших примеров ∪ Y = школа, у, р M ∪ X = {1, 3, 5, 7, 9, школа ММ М. Подумайте, возможно ли равенство A ∪ В = A ∩ В. Пересечение и объединение выполняются для любой пары множеств. Третья операция — дополнение — имеет смысл не для всех множества только тогда, когда второе множество является подмножеством первого. Пусть множество P является подмножеством множества М. дополнением P до М называется множество, состоящее из тех элементов М, которые не вошли в Дополнение P до М обозначают P : P = {7, Дополнение М до Месть пустое множество, дополнение пустого множества до Месть М M = ∅; ∅ = М. Особый интерес представляет дополнение некоторого множества до универсального множества U. Например, если B — это множество точек, принадлежащих некоторому отрезку, то его дополнением до универсального множества U, которым в данном случае является множество всех точек числовой прямой, является множество точек, не принадлежащих данному отрезку Глава 4. теория множеств и алгебра логики В общем случае можем записать B ∪ B = U (рис. рис 4.4. Дополнение множества B до универсального множества На рисунке 4.5 видно, что множество А ∪ В будет совпадать с универсальным, если А будет совпадать с множеством B или содержать его в качестве подмножества. В первом случаете. при А = B мы имеем дело с минимальным множеством А, таким, что А ∪ В = рис 4.5. Выбор такого множества А, что А ∪ В = Каким должно быть множество A для того, чтобы множество A ∪ B совпадало с универсальным множеством? Для ответа на этот вопрос воспользуйтесь рисунком рис 4.6. Выбор такого множества А, что A ∪ В = U некоторые сведения из теории множеств мощность множества Мощностью конечного множества называется число его элементов. Мощность множества X обозначается В рассмотренных выше примерах |X| = 5, |M| = Число элементов объединения двух непересекающихся множеств равно сумме чисел элементов этих множеств. Так, в объединении множеств Ми содержится 10 элементов |M ∪ X| = Если же множества пересекаются, то число элементов объединения находится сложнее. Так, X состоит из 5 элементов, множество Y — из 4, а их объединение — из 7. Сложение чисел 5 и 4 даёт нам число 9. Нов эту сумму дважды вошло число элементов пересечения. Чтобы получить правильный результат, надо к числу элементов X прибавить число элементов Y и из суммы вычесть число элементов пересечения. Полученная формула подходит для любых двух множеств |X ∪ Y| = |X| + |Y| – |X ∩ Y|. Это частный случай так называемого принципа включений-исклю- чений. Принципом включений-исключений называется формула, позволяющая вычислить мощность объединения (пересечения) множеств, если известны их мощности и мощности всех их пересечений (объеди- нений). Для случая объединения трёх множеств формула имеет вид ∪ Y ∪ Z| = |X| + |Y| + |Z| – |X ∩ Y| – |X ∩ Z| – |Y ∩ Z| + |X ∩ Y ∩ Аналогичные формулы справедливы и для пересечения множеств ∪ Y| – |X ∪ Z| – |Y ∪ Z| + |X ∪ Y ∪ Пример. В зимний оздоровительный лагерь отправляется 100 старшеклассников. Почти все они увлекаются сноубордом, коньками или лыжами. При этом многие из них занимаются не одним, а двумя и даже тремя видами спорта. Организаторы выяснили, что всего кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на лыжах — 28, на коньках — 42. Всего умением кататься на лыжах и сноуборде Глава 4. теория множеств и алгебра логики из них могут похвастаться 8 ребят, на лыжах и коньках — 10, на сноуборде и коньках — 5, но только трое из них владеют всеми тремя видами спорта. Сколько ребятне умеет кататься ни на сноуборде, ни на лыжах, ни на коньках? Обозначим через S, L и K множество сноубордистов, лыжников и любителей коньков соответственно. Тогда |S| = 30, |L| = 28 и |K| = 42. При этом |S ∩ L| = 8, |K ∩ L| = 10, |S ∩ K| = 5, |S ∩ L ∩ K| = Объединение множеств S, L и K — это множество ребят, увлекающихся хотя бы каким-то видом спорта. По формуле включений-исключений находим ∪ L ∪ K| = 30 + 28 + 42 – 8 – 10 – 5 + 3 = Таким образом, из 100 старшеклассников 20 не умеют кататься ни на сноуборде, ни на лыжах, ни на коньках. самое ГЛаВное Множество — это совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. Пересечением двух множеств X и Y называется множество их общих элементов. Объединением двух множеств X и Y называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов. Пусть множество P является подмножеством множества М. Дополнением P до М называется множество, состоящее из тех элементов М, которые не вошли в Мощностью конечного множества называется число его эле- ментов. Формула включений-исключений позволяет вычислить мощность объединения (пересечения) множеств, если известны их мощности и мощности всех их пересечений (объединений). Вопросы и задания 1. Если множество X — это множество натуральных чисел, делящихся нацело на 2, а Y — множество натуральных чисел, делящихся нацело на 3, то что будет) пересечением этих множеств) объединением этих множеств некоторые сведения из теории множеств 2. Пусть множество X — это множество натуральных чисел, делящихся нацело на 18, а Y — множество натуральных чисел, делящихся нацело на 14. Укажите наименьшее число, входящее) в пересечение этих множеств) в объединение этих множеств 3. Пусть A, B и C — некоторые множества, обозначенные кругами универсальное множество С помощью операций объединения, пересечения и дополнения до универсального множества выразите через A, B и C следующие множества) 1 ∪ 2 ∪ 3 ∪ 4 ∪ 5 ∪ 6; 2) 2 ∪ 5; 3) 5; 4) 2 ∪ 4 ∪ 5 ∪ 6; 5) 1 ∪ 2 ∪ 3; 6) 8. 4. В первую смену в лагере Дубки отдыхали 30 отличников, 28 победителей олимпиад и 42 спортсмена. При этом 10 человек были и отличниками, и победителями олимпиад, 5 — отличниками и спортсменами, 8 — спортсменами и победителями олимпиад, 3 — и отличниками, и спортсменами, и победителями олимпиад. Сколько ребят отдыхало в лагере 5. Старшеклассники заполняли анкету с вопросами об экзаменах по выбору. Оказалось, что выбрали они информатику, физику и обществознание. В классе 38 учеников. Обществознание выбрал 21 ученик, причём трое из них выбрали ещё и информатику, а шестеро — ещё и физику. Один ученик выбрал все три предмета. Всего информатику выбрали учеников, пятеро из которых указали в анкете два предмета. Надо определить, сколько же учеников выбрали физику Глава 4. теория множеств и алгебра логики 6. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 — испанский немецкий. Сколько человек знают все три языка алгебра логики Из курса информатики основной школы вызнаете, что для компьютерных наук большое значение имеет математическая логика, а точнее, её часть, называемая алгеброй логики. алгебра логики — раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые сточки зрения их логических значений (истинности или ложности, и логические операции над ними. джордж буль (1815–1864) — английский математик, основоположник алгебры логики. Дж. Буль изучал логику мышления математическими методами и разработал алгебраические методы решения традиционных логических задач. В 1854 году он опубликовал работу, в которой изложил суть алгебры логики, основанной натр х операциях and, or, not. Долгое время алгебра логики была известна достаточно узкому классу специалистов. В 1938 году Клод Шеннон применил алгебру логики для описания процесса функционирования релейно- контактных и электронно-ламповых схем Логические высказывания и переменные Высказывание — это предложение, в отношении которого можно сказать, истинно оно или ложно. Например, высказывание Джордж Буль — основоположник алгебры логики истинно, а высказывание «2 + 2 = 5» ложно. Что вы можете сказать об истинности или ложности предложения Данное высказывание — ложь алгебра логики |