Алашы функция жне аныталмаан интеграл

• Название: Алашы функция жне аныталмаан интеграл
• Анкор: 210263.docx
• Дата: 18.04.2018
• Размер: 356.63 Kb.
• Имя файла: 210263.docx
• Тип: Документы; #18204
• страница: 4 из 4

Қатарлардың жинақтылық белгісі

Сандық қатар деп келесі түрдегі өрнекті айтамыз:



мұнда , , ..., , ... , сандары қатардың мүшелері деп аталады жәнеде олар өзара сандық тізбек құрайды.

сандық қатары жинақталады, егер кезде алғашқы n мүшесінің қосындысының шегі бар болса.

Бұл шек жинақталатын қатардың қосындысы деп аталады.

Егер де бар болмаса, онда қатар жинақталмайды. n нөмірін шексіз арттырғанда қатардың жалпы мүшесі нөлге ұмтылғанда ғана қатар жинақталуы мүмкін: . (Бұл кез келген қатар үшін қажетті, бірақ жеткілікті шарт емес.)

Егер де болса, онда қатар жинақталмайды. (бұл кез келген қатар үшін жинақталмаудың жеткілікті белгісі.)

Мүшелері оң сандық қатарлар үшін оларды жинақтылыққа зерттеудің келесідей жеткілікті белгіліері қолданылады:

Кошидің интегралдық белгісі. Мүшелері оң кемімелі қатары өзінің меншіксіз интегралының жинақталуы немесе жинақталмауына қарай жинақталады немесе жинақталмайды, мұнда –үзіліссіз кемімелі функция.

Даламбер белгісі. Егер болса, онда кезде қатар жинақталады, ал кезде қатар жинақталмайды. кезде қатардың жинақтылығы белгісіз болып қала береді.

Салыстыру белгісі. Егер мүшелері оң болатын



қатарды жинақталуы немесе жинақталмауы белгілі мүщелері оң болатын



басқа қатармен салыстырсақ және егер кейбір n нөмірінен бастасақ:

1. 
   болып және қатары жинақталса, онда қатарыда жинақталады;
   
2. 
   болып және қатары жинақталмаса, онда қатарыда жинақталмайды;
   

Бұл белгіні қолданып, қатарды жинақталыққа зерттеген кезде жиі не кезде жинақталатын, ал кезде жинақталмайтын



шексіз геометриялық прогрессиямен , не жинақталмайтын



гармоникалық қатармен салыстырамыз.

Мысал.



Қатарды қажеттілік белгісіне зерттейміз.



Яғни қатарды жинақтылыққа зерттеуге болады. Енді жеткіліктілік белгісіне зерттейміз. Оны Кошидің интегралдық белгісіне зерттейміз.





Тапсырмалар:

Жинақтылыққа зерттеңіздер.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.	;
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.

11. 
    Таңбалары ауыспалы қатарлардың жинақтылық белгісі
    

Таңбалары ауыспалы қатар (мүшелерінің таңбалары әртүрлі)



абсолютті жинақталады дейміз, егер осы қатардың мүшелерінің абсолютті шамасынан құралған қатар жинақталса



Егер (2) қатар жинақталмаса, онда жинақталатын (2) таңбалары ауыспалы қатар абсолютті емес жинақталады.

Кез келген абсолютті жинақталатын қатар жинақталатын қатар болып табылады.

Таңбалары кезекпе-кезек ауысатын қатар



жинақталады, егер оның абсолютті шамалары бойынша алынған мүшелері нөлге ұмтылса, яғни егер және болса. (Лейбниц белгісі.)

Мысал.

Бұл таңбалары кезекпе-кезек ауыспалы қатардың мүшелері абсолююті шамасы бойынша кемиді және нөлге ұмтылады:

және

Сондықтан, Лейбниц белгісі бойынша, бұл қатар жинақталады. Бұл қатардың абсолютті не абсолютті емес жинақтылыққа зерттеу үшін мүшелерінің абсолютті шамаларынан тұратын қатарды жеткілікті белгіге зарттейміз. Оны Кошидің интегралдық белгісі бойынша зерттейік.





Мүшелері оң болатын қатар жинақталмайды. Бұдан қатар абсолютті емес жинақталады.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.

12. 
    Функцияналдық қатар
    

қатарының мүшелері x айнымалысына тәуелді болғандықтан функцияналды қатар деп аталады.

Функцияналдық қатар әртүрлі x мәндерінде әртүрлі жинақталатын не жинақталмайтын сандық қатарға айналады.

Функцияналдық қатар жинақталатын x мәндерінің жиынын осы қатардың жинақталу аралығы деп аталады.

Барлық функцияналды қатардың ең қарапайым әрі ең көп қолданылатын түрі келесі түрдегі дәрежелік қатар



немесе жалпы түрде



Функцияналдық қатардың жинақталу аралығын анықтау үшін әдетте алдымен Даламбер белгісін қолданамыз, сосын функцияналдық қатардың жинақталуы туралы сұрақ туындататын x мәндеріндегі сандық қатарды айрықша зерттейміз.

Мысал. Дәрежелік қатардың жинақтылық аралығын табыңыз.



Даламбер белгісін қолданып,





x-тің қандай мәндерінде бұл шек нөлден кіші болатынын анықтаймыз, яғни

теңсіздігін шешеміз.

Даламбер белгісі бойынша, осы интервалдағы x-тің кез келген мәндерінде қатар жинақталады (абсолютті), ал кезде жинақталмайды.

Интервалдың шектік нүктелерінде, яғни болғанда Даламбер белгісі жинақталуы жайлы сұраққа жауап бере алмайды. Сондықтан бұл нүктелерде ерекше зерттейміз.

болған кезде мүшелері оң болатын сандық қатарын аламыз. Бұл қатарды гармоникалық қатармен салыстырсақ жинақталатынын байқаймыз. (Зерттеп отырған қатарымыздың әрбір мүшесі гармоникалық қатардың мүшелерінен үлкен болады.)

болған кезде таңбалары кезекпе-кезек ауысатын сандық қатарын аламыз. Бұл қатар Лейбниц белгісі бойынша жинақталады. (Бұл қатардың мүшелері абсолютті шамасы бойынша кеміп, нөлге ұмтылады.)

Берілген дәрежелік қатардың жинақталу аралығына жартылай интервалы жатады.

Тапсырмалар:

Функцияналдық қатарларды жинақтылыққа зертте:

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.

13. 
    Фурье қатары
    

мұнда тұрақтылар, осы функцияналдық қатарды тригонометриялық қатар деп атаймыз.

интервалында функциясына арналған Фурье қатары деп (1) түрдегі тригонометриялық қатарын атаймыз, егер оның коэффициенттері және клесі Фурье формулаларымен есептелінсе,





Функцияны Фурье қатарына жіктеудің ең қарапайым жеткілікті шартты келесі Дирихле теоремасында көрсетілген.

Егер интервалында функциясының бірінші текті үзілісті ақырлы нүктелері (не үзіліссіз болса) мен экстремум болатын ақырлы нүктелері (не мүлдем олар болмаса) бар болса, онда оның Фурье қатары жинақталады, яғни осы интервалдың барлық нүктелерінде қосындысы бар болса. Осыдан,

1. 
   Үзіліссіз нүктелерде функциясы сол функцияның өзіне жинақталады,
   
2. 
   Әрбір үзілісті нүктелерінде функциясы сол нүктелердегі функцияның оң жақты және сол жақты шектерінің қосындысының жартысына тең болады,
   

3. 
   интервалының шектік нүктелерінде функциясы x нүктесі интервал ішінен шектік нүктелеріне ұмтылғанда
   

жұп функцияларына арналған барлық коэффициенттері болады және осыған сәйкес Фурье қатарында синустар болмайды.



Ал тақ функцияларына арналған барлық коэффициенттері болады және осыған сәйкес Фурье қатарында тек қана синустар болады.



Мысал. интервалында функциясын Фурье қатарына жіктеңіз:

Алдымен берілген функция берілген аралықта Дирихле шартын қанағаттандыратындығын тексереміз; содан соң Фурье формуласымен және коэффициенттерін есептейміз және оларды (1) қатарға қойып, іздеп отырған берілген функцияның Фурье қатарына жіктеуін аламыз; соңында Дирихле теоремасына сүйене отырып x-тің қандай мәнінде алынған қатар берілген функцияға жинақталатындығын анықтаймыз.

Берілген функция тақта емес, жұпта емес болғандықтан, сондықтан (2) жалпы формула бойынша оның Фурье коэффициенттерін есептейміз. Функция аралығында берілгендіктен деп аламыз:





(Интегралды есептеу үшін бөліктеп интегралдау формуласы қолданылған.)

кезде кезде үшін алынған өрнектің мағынасы жоқ. Сондықтан коэффициентін жекеше деп алып (2) формула бойынша есептейміз:

1. 
   тригонометриялық қатарға және коэффициенттерінің мәнін қоя отырып, ізделініп отырған берілген функцияның Фурье қатарына жіктелуін аламыз:
   

Бұл жіктеу орынды, яғни алынған қатар өзінің анықталу облысы-ның барлық нүктелерінде берілген функцияға жинақталады. ( және шектік нүктелерінде қатардың қосындысы тең, және де осы нүктелерде қатардың бірінші мүшесінен басқа барлық мүшесі нөлге ауысады. Сонымен қатар Дирихле теоремасы бойынша осы нүктелерде қатардың қосындысына ие болады.)

Тапсырмалар: берілген интервалында берілген функцияларды Фурье қатарына жіктеңіз:

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.

14. 
    Фурье интегралы
    

Егер функциясы барлық сандар өсінде абсолютті интегралданады, яғни егер интегралы жинақталса, жәнеде егер ол кез келген ақырлы аралықта Дирихле шартын қанағаттандырса, онда оны Фурье интегралы ретінде қарастыруға болады:



мұнда

Бұл Фурьенің интегралдық формуласы кездегі интервалында функциясына арналған Фурье қатардан алынады.

функциясының Фурье интегралы барлық жерде дерлік осы функцияға жинақталады, тек үзіліс нүктелерінде ғана келесіге тең мәнге ие болуы мүмкін:



Тақ не жұп функциялар үшін Фурье интегралы қысқарады:

Егер болса, онда



Егер болса, онда



Эйлер формуласының көмегімен (1) формуладан келесідей Фурье интегралының комплексті формасы алынады:



Мысал. Берілген функцияны Фурье интегралы түрінде қарастырыңдар:



Бұл функция тақ функция. Сондықтан (3) формуласына сәйкес



I ішкі интегралды жекеше бөліктеу интегралының формуласын қолдану арқылы есептейміз:



Бұдан шығатыны,



Мұнда , ал кезде алынған Фурье интегралы тең емес, ал және кезде берілген функцияның шегінің жарты қосындысына нөлге тең.

Тапсырмалар: Берілген функцияны Фурье интегралы түрінде қарастырыңдар:

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.

Әдебиеттер тізімі

Негізгі

1. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука; 1977 г. и другие издания.

2. Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. М.: Наука; 1973 г.

3. Виноградова И. А. Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. – М.: Изд. МГУ, 1988 г.

4. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. I. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М.: Наука,1984 г.; II. Интегралы. Ряды. М.: Наука, 1986г.; III. Функции нескольких переменных. Санкт – Петербург: 1994 г.

Қосымша

1. Г.И. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. I, II, III, М.: Наука, 1969.

2. Л.Д.Кудрявцев. Курс математического анализа. т.I, II. - М.: Высшая школа, 1981.

3. С.М.Никольский. Курс математического анализа. т. I, II. - 3-изд.- М.: Наука, 1983.

4. В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математический анализ. М.: 1979.

5. Н.Темірғалиев. Математикалық анализ. Алматы: т.I, "Мектеп",1987; т.II, "Ана тiлi", 1991; т.III, "Бiлiм", 1997.

6. Н.Темірғалиев. Математикалық анализ. Алматы: т.II, "Мектеп",1987; т.II, "Ана тiлi", 1991; т.III, "Бiлiм", 1997.

7. Р. Гудстейн. Математическая логика.М.: ИЛ, 1961.

8. Э.Ландау. Основы анализа. М.: ИЛ, 1947.