Алгебраические структуры
 Скачать 158.6 Kb.
|
bкратноaесли кратно b, то кратно a
Доказательство: Рассмотрим множество . Это идеал (так как это сумма идеалов aи b) этолегко проверить непосредственно, то есть взять любой элемент этого множества, умножить на любой элемент кольца, то снова попадаем в этот идеал. Так как в евклидовом кольце любой идеал главный, то , следовательно такие, что и такие, что , то есть , так как – элементы идеала , то есть и , т.е. – есть НОД.
Определение. Необратимый элемент евклидового кольца называется простым, если он допускает лишь тривиальное разложение (то есть разлагается лишь на множители, из которых хотя бы один обратим, т.е. из или или обратимы). Пример. В кольце простые: ±2, ±3, ±5,….. ±2=2·(±1) (±1 – обратим), т.к. в кольце только ±1 – обратим, то это совпадает с определением простого числа.
Доказательство: Пусть не делит , т.е. . Тогда , так как с не делится на , иначе бы делилось на . Отсюда следует, что – обратим, так как – простое. С другой стороны . Как видим, каждое слагаемое делится на , следовательно делится на . Ч.т.д.
Кольцо многочленов Определение. Многочленом (или полиномом) от неизвестной над кольцом называется выражение вида: где . Элементы называются коэффициентами многочлена (1), все они или их часть могут быть равны 0. Многочлен чисто символически обозначается , при этом не имеется в виду, что это отображение (функция). Определение. Наибольшее такое, что , называется степенью многочлена и обозначается (deegree). Если для всех , то по определению равна -∞. Сумма и произведение двух многочленов определяется естественным образом. Имеют место тривиальные оценки: Множество всех многочленов от с коэффициентами из кольца будем обозначать Утверждение 1. Операции сложения и умножения определяют на множествеструктуру кольца, тем самым превращают в кольцо. Многочлены 0 степени вместе с 0 образуют подкольцо , равное кольцу . Утверждение 2. Если – кольцо без делителей 0, то в имеет место равенство: Это очевидно, так как старший член многочлена , где – старшие коэффициенты многочленов и соответсвенно, причем и , тогда старший член , т.е. степень многочлена равна . Следствие. Если – кольцо без делителей 0, то тоже не имеет делителей 0. Утверждение 3. Над любым полем кольцо многочленов является евклидовым кольцом с нормой . Действительно, в поле нет делителей 0, введенная таким образом норма удовлетворяет всем аксиомам нормы и алгоритм деления также введен. Следствие. В кольце обратимы ненулевые константы и только они. Аналогично простым числам простые элементы в кольце , то есть элементы, допускающие лишь тривиальное разложение, имеют специальное название. Определение. Многочлен в кольце называется приводимым над , если для подходящих непостоянных многочленов . В противном случае многочлен называется неприводимым над . Замечание 1. Приводимость или неприводимость данного многочлена существенно зависит от поля . Например, многочлен неприводим над полем , но приводим над полем : ; многочлен неприводим над полем , неприводим над , но приводим над . Действительно, в 3,4 – корни многочлена : , то есть . Замечание 2. Ясно, что линейные многочлены неприводимы над любым полем. Над любым полем неприводимы только они (вспомним основную теорему алгебры: любой многочлен имеет хотя бы один корень, вещественный или комплексный, откуда следует, что любой многочлен в разкладывается на линейные множители). Над полем неприводимы, кроме линейных, квадратные многочлены с отрицательным дискриминантом. Над полем (рациональные числа) существуют неприводимые многочлены любой степени. Утверждение 4. Любой непостоянный многочлен в можно представить в виде произведения и неприводимых многочленов со старшим коэффициентом 1. Это разложение единственно с точностью до порядка множителей (то есть все элементы евклидового кольца разлагаются в произведение простых элементов). Замечание. Это утверждение верно для многочленов от любого члена переменных над любым полем. Утверждение 5. Пусть , тогда делит в том и только в том случае, когда в А (теорема Безу). Доказательство: Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности отметим, что для любого : то есть для , если же , то . Ч.т.д. Расширения полей Теорема 1. Кольцо классов вычетов по модулю неприводимого многочлена есть поле. Доказательство: Пусть – любой представитель любого класса вычетов (не совпадающего с ). Так как – неприводимый многочлен, то многочлен и – взаимно просты, следовательно их НОД=Ι, или 1. А тогда, так как – евклидово кольцо, то в поле найдутся многочлены и такие, что , отсюда ясно, что (так как из разность идеалу , т.е. кратна ). Так что принадлежит классу, обратному к классу, содержащему , т.е. . Таким образом, все классы, кроме нулевого обратимы, т.е. – поле. Ч.т.д. Ясно, что поле над полем является подполем . В этом случае называется расширением (или подполем) поля . Элементы поля можно представить в виде многочленов, степени которых меньше, чем (представителей соответствующих классов вычетов). Сложение таких многочленов осуществляется как обычно, а после умножения надо переходить к остатку от деления на , т.е. от любого многочлена можно отнять кратное . На практике используют элементы степеней линейными комбинациями меньших степеней . Действительно, пусть m.p(x) m.p(x) m.p(x) Тогда и далее, например, Таким образом выражен через степени не выше , т.е. не выше степени . p(x) p(x) Пример. Пусть поле . Очевидно, что в многочлен – неприводим. Возьмем элемент этого поля и сравним его по модулю с . Тогда . Определение. называется степенью расширения над . Обозначение: . Пример. Теорема 2. Любое конечное поле – подполе поля характеристики состоит из элементов, где – степень расширения. Доказательство: Действительно, любое конечное поле является конечномерным векторным пространством над своим минимальным подполем (т.е. порожденным единицей поля), поэтому число элементов расширения равно . Ч.т.д. Определение. Конечные поля, содержащие p элементов, называются полями Галуа и обозначаются . Так . Так как над полем вычетов существуют неприводимые многочлены любой степени, то кольца классов вычетов по модулю неприводимых многочленов образуют конечные поля любой степени над . Многочлены одинаковой степени приводят к одним и тем же полям. Можно доказать, что никаких других полей из конечного числа элементов не существует. Примеры. В поле – всего 2 элемента. Многочлен – неприводим. Действительно: , т.е. корней в нет. Построим поле Галуа . Степень расширения равна 2. Элементов . Из . Тогда элементы этого поля: 0, 1, . Построим таблицы сложения и умножения:
Замечание. Легко убедиться, что в поле все ненулевые элементы являются степенями одного – (корень многочлена ). , а в поле аналогичную роль играет элемент (0, 1, 0) – корень многочлена . Теорема 3. Пусть – степень простого числа . Любой ненулевой элемент поля удовлетворяет уравнению: . Доказательство: Пусть – все ненулевые элементы поля . Возьмем любой элемент . Тогда – снова все ненулевые элементы поля. Следовательно , отсюда . Ч.т.д. Следствие 1. Любой элемент поля удовлетворяет уравнению . Для – простого это так называемая малая теорема Ферма: для всех целых . Следствие 2. В поле многочлен раскладывается на линейные множители . Следствие 3. В поле неприводимый многочлен делит многочлен , т.е. , где , где . Теорема 4. В любом конечном поле существует (хотя бы один) элемент такой, что все ненулевые элементы этого поля являются степенями элемента : (без доказательства). Определение. Элемент конечного поля, удовлетворяющий условиям теоремы 4, называется примитивным. Определение. Неприводимый многочлен, корнем которого является примитивный элемент, называется примитивным многочленом. Пример. Над полем многочлен является примитивным, т.к. любой его корень имеет 15 разных степеней: : , а неприводимый многочлен – не примитивен, т.к. любой корень этого многочлена, очевидно, удовлетворяет уравнению . Пример выполнения индивидуальных заданий I-VI.
Отсюда . Найти . . Отсюда
Вывод – четная подстановка.
Число инверсий – Вывод - – четная подстановка.
Число транспозиций у и у – четно, что соответствует четности этих подстановок. m.21 m.21 Найти остаток при делении, используя свойства сравнений. на 21 , поэтому , т.е. остаток 8.
Поле – поле вычетов по . Делим на в поле .
Далее: Делим:
Делим:
Делим:
То есть согласно алгоритму Эйлера – последний ненулевой остаток .
Поле – поле вычетов по Перепишем систему в поле : Сложим 2 и 3 уравнение: , т.е. 0=1, т.е. система несовместна в данном поле.
в поле вычетов по . Проверяем, есть ли линейные множители в разложении. Сосчитаем : Следовательно, делится без остатка на . Разделим , очевидно, на линейные множители не разлагается, попробуем неприводимые в данном поле множители 2 |