геометрия экз. Аналитическая геометрия
 Скачать 60.88 Kb.
|
|
Аналитическая геометрия Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Определение: отрезок АВ называется направленным, если указано, какая из точек А или В является его началом, а какая — концом. Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ. Направленные отрезки АВ и А1В1 называются сонаправленными, если лучи АВ и А1В1 сонаправлены. Напр. отрезки АВ и А1В1 называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Если отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, то оно является отношением эквивалентности, то есть множество всех направленных отрезков распадается на непересекающиеся классы эквивалентных друг другу направленных отрезков. Определение: вектором называется класс эквивалентных между собой направленных отрезков. Каждый направленный отрезок задаёт вектор, при этом эквивалентные отрезки задают один и тот же вектор. Направление всех отрезков данного класса называется направлением вектора, а длина — длиной вектора. Опр: Данный вектор можно отложить от любой точки, и притом единственным образом. Опр: нулевой вектор — длина равна 0, единичный — длина равна единице. Опр: Два вектора, лежащих на ОДНОЙ ИЛИ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПРЯМЫХ, называются КОЛЛИНЕАРНЫМИ. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору (у него нет направления) Опр.: три или более векторов, лежащих В ОДНОЙ ИЛИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ, называются КОМПЛАНАРНЫМИ. Линейные операции над векторами: Сложение по правилу треугольника: Суммой векторов а и в называют такой вектор с, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец — с концом вектора в, при условии, что вектор в отложен из конца вектора а. Свойства операции сложения: коммутативность (перестановка слагаемых) — доказывается по правилу параллелограмма ассоциативность (скобки) при добавлении 0 ничего не меняется при сложении противоположных =0 Разностью двух векторов называется такой вектор а, что в+d=a (a-в=d). Произведением вектора а на число λ называется такой вектор в, что а и в сонаправлены, если λ>0; противоположно направлены, если λ<0 в=λа (векторы с модулем) Свойства операции умножения вектора на число: дистрибутивность (раскрытие скобок сложения) ассоциативность (при умножении числа на вектор в скобках) дистрибутивность относительно чисел (в скобках — числа) Векторы коллинеарны, ели один из них можно разложить на произведение числа и второго вектора. Координаты вектора и точки на плоскости, в пространстве. Векторы а и в неколлинеарны, точка О. Пара векторов а и в — базис, а тройка О, а, в — афинный репер. Базис на плоскости — 2 любых некомпланарных вектора. С — произвольный вектор. Построим паралеллограмм со сторонами l1 l2 и вершинами в точках О и С. Вектор ОА1=а, ОВ1=в. ОА1+ОВ1=ОС. Вектор ОА (направляющий) и ОА1 сонаправлены. ОА1=Х1*ОА или а1=Х1*а. Аналогично вектор ОВ1. а1+в1=с (по пр параллелогр) равно Х1*а+Х2*в=с — разложение вектора с по базису ав. Числа X1 X2 – координаты вектора с в данном базисе (по-другому координаты точки С относительно репера О, а,в). Точка О — начало координат. Координатные оси состоят из прямых l1 l2 вместе с направляющими отрезками OA OB. Координатные оси вместе с началом координат называются афинной СК на плоскости. В пространстве — аналогично предыдущему. Зададим 3 некомпланарных вектора а, в, с — базис. Вместе с произвольной т О — это афинный репер в пространстве. d – произвольный вектор. Отложим все векторы от точки О: а=ОА и т д до Проведём l1=OA, l2=OB, l3=OC. Построим параллелепипед с такими тремя рёбрами, а D – вершина. Пусть A1 B1 C1 – вершины, лежащие на l1 l2 l3. Проводим OD1 – диагональ. OA1=a1 и далее. По правилу параллелограмма OD1=OA1+OB1; d1=a1+b1 В треугольнике OD1D OD=OD1+D1D или OD=OD1+OC1 d=d1+c1=a1+b1+c1. Итак, по 1 признаку коллинеарности a1=x1*a b1=x2*b c1=x3*c И вектор d=a1+b1+c1=x1*a+ x2*b+x3*c. Вектор d – радиус-вектор точки D в данном репере. l1=OA, l2=OB, l3=OC – координатные оси. Вместе с точкой о — афинная система координат в пространстве. Ортонормированный базис - векторы a b c единичные и взаимноперпендикулярные. Если тройка a b c правая, то СК декартова. Второй признак коллинеарности: для того, чтобы векторы были коллинеарны, необх и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональными. Понятие вектора. Линейная зависимость векторов. Понятие см в пункте 2. Линейная зависимость????? Скалярное произведение векторов и его свойства. (Скалярным) произведение векторов a и b называется ЧИСЛО, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними. Скалярный квадрат равен квадрату модуля. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векроты перпендикулярны (cos 90=0) Свойства скалярного произведения: Угол: Векторное произведение векторов и его свойства. Геометрический смысл. [Векторным] произведением двух векторов a и b называется такой ВЕКТОР с, что Векторное произведение двух векторов Геометрический смысл. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на направленных отрезках, представляющих эти векторы и отложенных от одной точки. Свойства векторного произведения Векторное произведение ненулевых векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда векторы КОЛЛИНЕАРНЫ. Смешанное произведение векторов и его свойства. Геометрический смысл. Смешанным произведением векторов a, b, c называется скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий. ЧИСЛО. Смешанное произведение равно 0 когда векторы компланарны, и наоборот. Положительно, если тройка правая, отрицательно, если тройка левая. Свойства: Не зависит от группировки сомножителей Не меняется при циклической перестановке сомножителей При перестановке любых двух сомножителей меняет знак Умножение на число Дистрибутивность относительно сложения Геометрический смысл: модуль смешанного произведения трёх векторов численно равен объёму параллелепипеда, построенного на направленных отрезках, представляющих данные векторы и отложенных от одной точки. Разделив на 6, получаем объём тетраэдра. Формула вычисления смешанного произведения Преобразование декартовых координат на плоскости. Случай 1: На плоскости заданы 2 декартовы системы координат Oxy и O`x`y`, у которых направления коорд осей совпадают, но начальные точки O и О` разные. Говорят, что вторая система координат получена из первой ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПЕРЕНОСОМ (переносом начала координат). Пусть нам известна координата O`(a; b) в первой СК. М - произвольная точка плоскости. В первой СК её координаты M (x;y), а во второй - M (x`; y`). КООРДИНАТЫ ТОЧКИ СОВПАДАЮТ С КООРД РАДИУС-ВЕКТОРА. По правилу треугольника: Если СК в пространстве, то к последним формулам добавляется z. Случай 2: На плоскости заданы 2 декартовы СК с общим началом Oxy и Ox`y`. α – ориентированный угол между положительным направлением осей Ox и Ox`. Тогда говорят, что вторая СК получена из первой ПОВОРОТОМ НА УГОЛ α. Пусть М — произвольная точка плоскости. Коорд в первой СК M(x;y), во 2 - M(x`; y`). Связь между ними: пусть 𝜑 — ориентированный угол между положительным напр Ox и вектором OM; ψ - ориентированный угол между положит напр Ox` и вектором OM. Вектор OM=r Вертикальный треугольник на Ox: Треугольник на Ox`: Угол 𝜑=α+ψ подставим: поворот на угол α Поскольку вторая СК может быть получена поворотом на — α, то последние формулы преобразовываются sin(- α)=-sin α cos(- α)=cos α Если в пространстве совершается поворот СЕ вокруг оси Oz, то координата z точки М не изменится, а координаты x, y будут меняться по тем же формулам. Пусть теперь на плоскости есть 2 совершенно разные СК: Oxy и O`x`y` Тогда вторую СК можно получить из первой в результате двух преобразований: перенос начала коорд в точку O` и получение промежуточной СК O`x``y``, а затем поворот коорд осей. Тогда формулы x``=x-a становятся y``=y-b Для того, чтобы выразить x y через x` y` воспользуемся формулами Прямая на плоскости: уравнение прямой в общем виде, особенности расположения прямой относительно СК. Пусть дана точка М0(x0; y0) и вектор n (A; B). М(x; y) – произвольная точка прямой без фиксированного положения. Вектор n (A; B) – нормальный вектор прямой Вектор M0M(x-x0; y-y0) n⟂ M0M → n·M0M=0 (скалярное) A(x-x0)+B(y-y0)=0 Ax-Ax0+By-Byo=0 Общее уравнение прямой: Ax+By+C=0 A и B одновр не равны нулю.
Прямая на плоскости: 1)уравнение прямой с угловым коэффициентом, 2)проходящей через две точки. 1) Угловой коэф — число k, прямая проходит через М0(x0;y0) y=kx+b – уравнение прямой с угловым коэффициентом (1) Для М0 y0=kx0+b (2) Вычтем из (1) (2) - уравнение прямой с угл коэффициентом 2) прямая через 2 различные точки. M1(x1; y1), M2(x2; y2) и произвольная точка прямой M(x; y) Векторы M1M M1M2 коллинеарны (лежат на одной прямой), тогда по 2 признаку коллинеарности их координаты пропорциональны Угол между прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол 𝜑 между прямыми l1: y=k1x+b1 и l1: y=k2x+b2 k – угол наклона к оси X ( k=tg⍺ k1=tg⍺1 k2=tg⍺2) Угол 𝜑 между прямыми равен Тогда tg𝜑= Взаимное расположение прямых на плоскости.
Прямая на плоскости: 1)уравнение в отрезках, 2)нормальное уравнение прямой. 1) «в отрезках». Общее уравнение Ax+By+C=0 A≠0 B≠0 C≠0 Ax+By= - C (разделим на -C) Такая прямая пересекает Ox в т (a;0) Oy в т (0;b), отсекает по осям отрезки a и b Каноническое и параметрические уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Пучок прямых. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ. Возьмём точку M0(x0;y0) (данная точка с конкретными коорд) и произвольную точку прямой M(x; y). Строим векторы OM OM0 Обозначим OM=r; OM0=r0 Сложим по правилу треугольников Раскроем скобки, получим КАНОНИЧЕСКОЕ. Рассмотрим систему, исключим параметр t Вектор s(m; n) – направляющий вектор прямой. НАПРАВЛЯЮЩИЙ — ПАРАЛЛЕЛЕН прямой Полярная система координат и её связь с декартовой. Полярная СК — это двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости однозначно определяется ПОЛЯРНЫМ УГЛОМ 𝜑 и ПОЛЯРНЫМ РАДИУСОМ. Формулы перехода (выражение декартовых X; Y через ⍴ и 𝜑): Общее уравнение плоскости. Особенности расположения плоскости. Положение плоскости в пространстве может быть задано при помощи различных величин, и от этого зависит вид уравнения плоскости. Составим уравнение плоскости через т M0(x0; y0; z0) (конкретные коорд) перпендикулярно указанному вектору n(A; B; C). Пусть M(x; y; z) – произвольная точка плоскости. Найдём коорд вектора M0M (x-x0; y-y0; z-z0). Вектор n перпендикулярен плоскости, а M0M лежит в этой плоскости. Тогда n⟂M0M, значит их скалярное произведение равно нулю n·M0M=0 Особенности расположения плоскости относительно СК
1 Нормальное уравнение плоскости. 2 Уравнение плоскости, проходящей через три точки. 1Нормальное Пусть дана плоскость. Проведём на неё из начала координат вектор ON=p, вектор перпендикулярен плоскости. Отложим на ON единичный вектор n. Обозначим через α угол между вектором ON и осью Ox, угол 𝛽 - с Oy, угол 𝛾 - с Oz соответственно. Точка M (x; y; z) – проивольная точка плоскости. Вектор OM=r. Вектор ON⟂NM. ON*NM=0 скалярно. По правилу треуг: NM=OM-ON ON*(OM-ON)=0 С раскр скобками (pn, r) – (pn; pn)=0 (n- единичный вектор) Вынос p p(n, r) – p^2(n*n)=0 делим на p (n; r)-p=0 – нормальное уравнение плоскости в векторном виде Получим в координатном виде n*(cos 𝛼; cos 𝛽; cos 𝛾)=0 r(x; y; z) – радиус-вектор (n, r)=p x*cos 𝛼+y*cos 𝛽+z*cos 𝛾=0 – нормальное ур плоскости в координатном виде. Чтобы общее уравнение плоскости привести к НОРМАЛЬНОМУ виду, надо общее уравнение умножить на нормирующий множитель. 2 Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки. Через 3 точки проходит единственная плоскость. Пусть даны M1 (x1; y1; z1) M2 (x2; y2; z2) M3 (x3; y3; z3) Составим уравнение плоскости, проходящей через эти точки. Пусть M(x; y; z) – произвольная точка плоскости. Докажем, что 4 точки лежат в одной плоскости. ОТЛОЖИМ ВЕКТОРЫ ОТ ТОЧКИ М1 M1M (x-x1; y-y1; z-z1) M1M2 (x2-x3; y2-y1; z2-z1) M1M3 (x3-x1; y3-y1; z3-z1) Они некомпланарны M1M*M1M2*M1M3=0 1 Уравнение плоскости в отрезках. 2 Угол между двумя плоскостями. 3 Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. 1 В отрезках. Пусть дано общее уравнение плоскости и A, B, C, D не равны 0. Ax+By+Cz= - D разделим на — D Эта плоскость пересекает оси координат в точках (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) 2 угол между двумя плоскостями Даны 2 плоскости: A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 Пусть они пересекаются, и тогда они будут образовывать ДВА смежных двугранных угла, каждый из которых измеряется соответствующим линейным углом. Обозначим тот линейный угол через 𝜑, он является острым. Угол 𝜑 равен углу, лежащему между нормальными векторами этих плоскостей. Нормальные вектора n1 (A1; B1; C1) и n2 (A2; B2; C2) 1 Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Пучок плоскостей. 1 Условия параллельности и перпендникулярности Рассмотрим 2 плоскости: A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 ПАРАЛЛЕЛЬНЫ, если Чтобы плоскости были ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ, нормальные векторы должны быть перпендикулярны 2 Пучок плоскостей Пусть даны 2 плоскости в общем виде: A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0. Пусть они пересекаются. Тогда уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения данных плоскостей: Это уравнение выражает ПУЧОК ПЛОСКОСТЕЙ, то есть множество плоскостей, проходящих через линию их пересечения. Ось пучка — прямая, через которую проходит пучок плоскостей. При решении задач лямбду находят через подстановку данных уравнений плоскостей и координат точки в уравнение. Затем лямбду подставляем в уравнение пучка (где уже подставлены первые уравнения плоскостей) и раскрываем скобку. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Пусть дана точка M0(x0; y0) и вектор s(m; n; p). Составим уравнение прямой, проходящей через точку M0, параллельно вектору s (направляющий). Отложим на прямой вектор M0S=s. Пусть M(x; y; z) – произвольная точка прямой. Обозначим радиус-вектор r0=OM0 и OM=r. Тогда по правилу треугольника: OM0+M0M=OM; т к M0S∥ M0M (на одно прямой), то по 1 признаку коллинеарности M0M=t*M0S=t*s. r0+t*s=r – параметрическое плоскости в векторном виде В координатном виде: r0=x0i+y0j+z0k r=xi+yi+zi s=mi+nj+pk x0i+y0j+z0k+t*(mi+nj+pk)=xi+yi+zi Приводя подобные и приравнивая координаты при одинаковых ортах, получим x=x0+mt y=y0+nt z=z0+pt -ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Исключим из параметрических уравнений параметр t (выразим из каждого t и приравняем Нормальное уравнение прямой в пространстве. Общие уравнения прямой, приведение общих уравнений к каноническому виду. НОРМАЛЬНОЕ. Рассмотрим каноническое уравнение, где s (m; n; p) – напрявляющий. -углы между осями Ox, Oy, Oz Проекции вектора s на оси: Проекции в координатах: Получаем cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾– направляющие косинусы прямой Для перехода от КАНОНИЧЕСКОГО к НОРМАЛЬНОМУ воспользуемся следующими формулами: ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Общие приводят к каноническому виду для удобства. Из общих исключают сначала одну координату, потом другую; затем в полученных уравнениях выражают координаты через общую координату. Прямая в пространстве. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между прямыми. Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. УРАВНЕНИЕ ЧЕРЕЗ 2 ТОЧКИ Пусть даны 2 различные точки M1(x1; y1; z1) M2 (x2; y2; z2). M (x; y; z) – произвольная точка прямой. Возьмём в качестве точки, принадлежащей прямой, М1, а в качестве направляющего вектора —вектор M1M2=(x2-x1; y2-21; z2-z1). Подставляем в каноническое уравнение прямой УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ Пусть даны прямые Угол 𝜑 между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Прямые параллельны: Прямые перпендикулярны: Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Прямая и плоскость могу быть параллельны, пересекаться, и прямая может лежать в плоскости. Чтобы выяснить взаимное расположение используют общее уравнение плоскости и параметрические уравнения прямой. Решают систему.
_______________________________________________________________ КРИВЫЕ II ПОРЯДКА Эллипс: определение, вывод канонического уравнения, геометрические свойства. Опр.: эллипсом называется множество точек пространства (ГМТ), для каждой из которых СУММА РАССТОЯНИЙ ДО ФОКУСОВ (это 2 данные точки той же плоскости) ЕСТЬ ВЕЛИЧИНА ПОСТОЯННАЯ. Пусть F1, F2 – фокусы, 2a – постоянная величина из определения. Фокусное расстояние F1F2=2c. Пусть M (x; y) – произвольная точка эллипса. Тогда по определению F1M+F2M=2a. Составим уравнение эллипса относительно декартовой СК. Ось Ох возьмём сонаправленно вектору F1F2 и проходящей через эти точки. Начало координат пусть будет в середине отрезка F1F2. Тогда ость Оу определится однозначно. Геометрические свойства эллипса 1) из канонического уравнения следует, что то есть, эллипс целиком находится в прямоугольнике, определяемом этими неравенствами. 2) координатные оси пересекают эллипс в точках — ВЕРШИНЫ ЭЛЛИПСА
A1A2 и B1B2 – большой и малый диаметры, вместе — главные диаметры, a и b – большая и малая полуоси соответственно 3)КООРДИНАТНЫЕ оси являются осями СИММЕТРИИ эллипса (осевая симметрия), а начало координат — центром симметрии (центральная симметр) 4) Эллипс может быть получен из окружности в результате её равномерного сжатия вдоль Oy с коэффициентом сжатия k= 5) Эллипс может быть получен из окружности в результате проекции окружности на плоскость, непараллельную плоскости окружности. Гипербола: определение, вывод канонического уравнения, геометрические свойства. Опр.: Гиперболой называется множество всех точек плоскости (ГМТ), для каждой из которых МОДУЛЬ РАЗНОСТИ РАССТОЯНИЙ ДО ФОКУСОВ (двух данных точек) есть величина постоянная. Пусть F1, F2 – фокусы, 2a – постоянная величина из определения. Фокусное расстояние F1F2=2c и M (x; y) – произвольная точка гиперболы. Тогда по определению F1M – F2M=2a. Составим уравнение гиперболы относительно декартовой СК. Вводим координаты аналогично эллипсовым: Ox сонаправлена F1F2 и проходит через эти точки, О — середина отрезка F1F2. Oy проходит через точку О и перпендикулярно Ох. По определению получаем Геометрические свойства гиперболы 1) Из канонического уравнения следует то есть гипербола целиком находится внутри области, определённой неравенствами 2) Пересечения с осями при x=+-a
Числа a, b – полуоси действительной и мнимой гиперболы. 3) по аналогии с эллипсом оси координат являются осями симметрии гиперболы, начало координат — центром симметрии. 4) АСИМПТОТЫ ГИПЕРБОЛЫ Гипербола неограниченно приближается к ним, но не пересекает их. Асимптоты проходят через диагонали ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО прямоугольника гиперболы, который определяется неравенствами: Для построения гиперболы рекомендуется сначала построить фундаментальный прямоугольник. 5) При a=b гипербола РАВНОБОКАЯ Тогда её асимптоты 6) СОПРЯЖЁННАЯ ГИПЕРБОЛА У сопряжённой гиперболы тот же фундаментальный прямоугольник, те же асимптоты, только расположена она В ДРУГОЙ ПАРЕ ВЕРТИКАЛЬНЫХ УГЛОВ (пересекает ось ординат y) Парабола: определение, вывод канонического уравнения, геометрические свойства. Опр.: ПАРАБОЛОЙ называется КОНИЧЕСКОЕ СЕЧЕНИЕ, эксцентриситет которого равен 1. ПАРАБОЛОЙ называется ГМТ плоскости, для каждой из которых РАССТОЯНИЯ ДО ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКИ (фокуса) и ОТ ТОЧКИ ДО ФИКСИРОВАННОЙ ПРЯМОЙ РАВНЫ. Составим уравнение параболы в декартовой СК. Выберем начало коорд в середине между фокусом и директрисой. Пусть δ — директриса; F – фокус. FF` - расст между фокусом и директрисой. Тогда начало координат О в середине F`F; ось Ox сонаправлена вектору OF Пусть FF`=p. Ox сонаправлена OF. M (x; y)- точка плоскости. По определению MF=MM` или FM=MM` Свойства параболы 1) Все точки параболы лежат в полуплоскости (ПРАВЕЕ Oy) 2) Ox – ось симметрии 3) Координатные оси ПЕРЕСЕКАЮТ параболу только в точке O, которая называется ВЕРШИНОЙ параболы. Виды параболы Конические сечения. Фокус, директриса, эксцентриситет. Касательные к коническим сечениям. Опр.: КОНИЧЕСКИМ СЕЧЕНИЕМ называется кривая, по которой коническую поверхность пересекает плоскость, не проходящая через вершину этой поверхности. Коническими сечениями могут быть эллипс, гипербола, парабола. Парабола получается, когда плоскость сечения параллельна одной из образующих конуса. ТЕОРЕМА 1: Для всякого конического сечения кроме окружности существует точка F, называемая ФОКУСОМ, и прямая, называемая ДИРЕКТРИСОЙ δ, такие что ОТНОШЕНИЯ РАССТОЯНИЙ от произвольной точки кривой M до фокуса и расстояния от M до директрисы δ ЕСТЬ ВЕЛИЧИНА ПОСТОЯННАЯ — ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ Чем меньше 𝜀, тем ближе кривая расположена к фокусу. При Чем ближе 𝜀 к 1, тем более вытянут эллипс. При 𝜀=1 эллипс как бы «разрывается» и «превращается» в ПАРАБОЛУ. Чем больше 𝜀, тем ближе кривая расположена к директрисе. При ТЕОРЕМА 2: Эксцентриситет 𝜀 эллипса и гиперболы, заданных своими каноническими уравнениями, равен а директрисы задаются уравнениями КАСАТЕЛЬНЫЕ К КАНОНИЧЕСКИМ СЕЧЕНИЯМ? Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой второго порядка. Опр.: КРИВОЙ 2 ПОРЯДКА называется ГМТ, координаты которых удовлетворяют уравнению где Опр.: Точка O` называется ЦЕНТРОМ КРИВОЙ 2 ПОРЯДКА, если она является её центром симметрии. Кривая, которая имеет центр, называется центральной (эллипс, гипербола). Предположим, что СК выбрана так, что её начало коорд находится в центре кривой. Тогда одновременно с точкой (x; y) кривой принадлежит точка (-x; -y). Подставим её в уравнение Вычтем их полученного старое уравнение. - должно выполняться для любой точки (x; y) на кривой. Поэтому , если нач коорд находится в центре. Следовательно, если изначально нач коорд не находится в центре O`, то надо совершить ПЕРЕНОС СК в т O` Т: Координаты (x0; y0) центра кривой, заданной первым уравнением находится из системы линейных уравнений Предположим, что центр кривой находится в начале координат. Попробуем упростить уравнение 3 Пусть СК Ox``y`` получена поворотом из Ox`y`на угол альфа. Тогда формулы замены координат имеют вид: Поставим в 3: Раскрывая скобки и приводя подобные при одинаковых коорд, получим Приравниваем к нулю: (однородное уравнение второго порядка) (кв уравнение относительно тангенса) Его дискриминант (формула как у всех кв уравнений, нужно будет записать) больше или равен нулю, то есть существует такой угол альфа, что в новой СК мы получим уравнение кривой без слагаемого, содержащего x``y``. В ПЕРВОМ уравнении ЛИНЕЙНАЯ ЧАСТЬ отвечает за ПЕРЕНОС, XY – за поворот (если они есть, то будет перенос и поворот). Если рассмотреть НЕЦЕНТРАЛЬНУЮ кривую 2 порядка, то нельзя использовать процедуру нахождения центра и поэтому нужно сразу совершить поворот коорд осей на угол, тангенс которого находится из последнего уравнения. Получится новая декартова СК с тем же началом O`x`y`. ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУДУТ НА ШТРИХ МЕНЬШЕ, тк это первая замена. В этой СК уравнение кривой не будет иметь слагаемого с x`y`. Инвариант D позволяет определить, центральная кривая, или нет. Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка путём ПЕРЕНОСА НАЧАЛА КООРДИНАТ. Если кривая центральная (узнаём через D), то Находим центр O` Находим C` по формуле Уравнение после переноса: КВАДРАТИЧНАЯ ЧАСТЬ + С` Преобразовываем, x``y`` должны уйти. Получается уравнение кривой 2 порядка в НОВОЙ СК По уравнению определяем тип кривой и строим. Если кривая нецентральная, то центр найти нельзя, и перенос нач коорд не производится. Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка путём ПОВОРОТА ОСЕЙ КООРДИНАТ. (можно как с центральной, так и с Нецентральной) В обоих случаях: Сразу находим тангенс угла поворота по формуле Cos a, sin a по формулам Формулы преобразования (МЕНЬШЕ НА ШТРИХ) Подставляем в исходное, x`y` уничтожаются. Получается уравнение кривой в повёрнутой СК. По уравнению определяем тип кривой и строим. Цилиндрические поверхности. Опр.: ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ называется поверхность, которую образует МНОЖЕСТВО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ (образующих прямых), проходящих через каждую точку некоторой кривой (направляющей). Пусть Ф - цилиндрическая поверхность. Выберем декартову СК так, чтобы ось Oz была ПАРАЛЛЕЛЬНА образующим. Если при этом направляющая 𝛾` (гамма штрих) не лежит в плск Oxy, то спроецируем её в эту плоскость. Получим некоторую кривую 𝛾. Если взять 𝛾 как направляющую, то получим ту же поверхность 𝛟. Поэтому с самого начала будем считать, что направляющая - кривая 𝛾, лежащая в плоскости Oxy. Пусть 𝛟(x, y)=0 – её уравнение в плоскости Oxy. В пространстве она задаётся системой Пусть точка M( x; y; z) — произвольная точка поверхности 𝛟. Тогда её проекция на Oxy будет представлять собой точку M0 (x; y; o). И эта точка должна принадлежать направляющей 𝛾. Поэтому её координаты должны удовлетворять уравнению 𝛟(x, y)=0 Следовательно, этому уравнению будут удовлетворять координаты точки M, т к x, y в т M и M0 одинаковы, а Z В УРАВНЕНИЕ НЕ ВХОДИТ. Т о, 𝛟(x, y) и есть уравнение поверхности 𝛟, то есть, уравнение ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ поверхности СОВПАДАЕТ С уравнением ЕЁ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ КРИВОЙ 𝛾 плоскости Oxy, если образующие параллельны оси Ох. Аналогично, если образующие параллельны оси Оy, то уравнение цил поверхности совпадает с с уравнением направляющей кривой в плск-сти Oxz, и обратно, если в уравнении поверхности отсутствует, например, кооордината Х, то сразу можно сделать вывод, что эта поверхность цилиндрическая, а её образующие параллельны Ох.
Конические поверхности. Опр.: КОНИЧЕСКОЙ называется поверхность, которую образует МНОЖЕСТВО ВСЕХ ПРЯМЫХ (образующих), ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ КАЖДУЮ ТОЧКУ НЕКОТОРОЙ КРИВОЙ (направляющей) и ЧЕРЕЗ НЕКОТОРУЮ ТОЧКУ О (вершину). Выберем декартову СК так, чтобы нач коорд совпало с вершиной конической поверхности. Пусть F (x, y, z)=0 – уравнение ПОВЕРХНОСТИ Ф в данной СК. Поскольку рассматривается поверхность II порядка, то F – многочлен II степени от трёх переменных. Тогда функция двух переменных 𝜑(x, y)=F(x, y, c) - многочлен II степени для любого действительного числа с (с принадлежит R). Система будет задавать сечение поверхности Ф плоскостью z=c. Получаемую в сечении кривую 𝛾 выберем в качестве НАПРАВЛЯЮЩЕЙ. Т к 𝜑(x, y) – многочлен II степени, то 𝛾 - кривая II порядка. Если 𝛾 - ЦЕНТРАЛЬНАЯ, то можно считать, что Oz ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ЕЁ ЦЕНТР. Предположим сначала, что направляющая — эллипс Пусть M1 (x1, y1, z1) – произвольная точка поверхности 𝛟. Тогда вся прямая OM1 должна лежать на поверхности (вектор OM – направляющий, т к он принадлежит направляющей прямой). Параметрические уравнения этой поверхности будут выглядеть так: Пусть она пересекает направляющую 𝛾 в точке M0 (x0, y0, c). Тогда её координаты должны удовлетворять уравнению прямой OM: Подставим эти выражения в уравнение эллипса (получаем уравнение 2): Если координаты точки M1 (x1, y1, z1) удовлетворяет уравнению КОНИЧЕСКОЙ поверхности (выше), то этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой OM1, значит это уравнение 2 — уравнение конической поверхности. - Каноническое уравнение конуса Если НАПРАВЛЯЮЩАЯ — ГИПЕРБОЛА, то получим тот же «эллиптический» конус с осью не Oz, а Oz`. Если НАПРАВЛЯЮЩАЯ —ПАРАБОЛА, то получим конус, осью которого является биссектриса угла угла yOz. Если НАПРАВЛЯЮЩАЯ —ПАРА ПРЯМЫХ, то коническая поверхность — это пара плоскостей, либо пересекающихся, либо совпадающих. Таким образом, существует 4 типа конических поверхностей:
Поверхность вращения. Опр.: Пусть некоторая кривая 𝛾 расположена в плоскости Oyz. Будем вращать её вокруг оси Oz. Получим некоторую поверхность Ф, которая называется ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ. Каждая точка кривой 𝛾 описывает окружность, которая называется ПАРАЛЛЕЛЬ l, её центр лежит на оси Oz. Пусть 𝜑(y, z)=0 — уравнение кривой 𝛾 в плоскости Oyz. Тога в пространстве она задаётся системой Пусть M (x, y, z) – произвольная точка поверхности Ф. Тогда она лежит на на одной из таких параллелей lи может быть получена поворотом точки M0 (0, y0, z0)=𝛾 пересекает l. Очевидно, что z0=z и центр O` параллели lимеет координаты l(0; 0; z) Координаты точки M0 (0; y0; z0) должны удовлетворять уравнению 𝜑(y, z)=0, т к точка лежит на кривой 𝜑(y0, z0)=0 Подставляя сюда z=z0 и y0 (*), получаем (4) Обратно, пусть коорд точки M (x; y; z) удовлетворяют уравнению (4). Тогда, если выполняется (*) и z0=z, то этому уравнению будут удовлетворять координаты M0 (0, y0, z0) Точка M0 (0, y0, z0) лежит на одной параллели с точкой M Итак, (4) — УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ. То есть, для того, чтобы из уравнения кривой 𝛾 получить уравнение поверхности Ф, надо в уравнении кривой оставить без изменения координату z, а y заменить по формуле (*). И обратно, если в уравнении поверхности можно выделить корень(x^2+y^2), и при этом нигде более координаты x и y в уравнение не входят, то можно сделать вывод, что это поверхность вращения вокруг Oz. Пример. Эллипсоид. Опр.:ЭЛЛИПСОИДОМ называется поверхность Ф, имеющая каноническое уравнение вида (уравнение 5) Исследуем форму поверхности методом параллельных сечений. (Делаем сечения плоскостями x, y, z – числа).
Прочие геометрические свойства эллипсоида Из ур 5 получаем, что каждая дробь положительная (т к в квадрате), сумма положительных дробей равна 1, значит, они правильные и эллипсоид целиком находится в параллелепипеде, который определяется этими неравенствами: Координатные оси пересекают эллипсоид в точках которые называются вершинами эллипсоида Коорд оси являются осями симметрии эллипсоида; коорд плоскости — плоскостями симметрии; начало координат — центром симметрии. При a=b эллипсоид будет поверхностью вращения вокруг Oz. Аналогично, при a=c – вокруг Oy b=c – вокруг Ox a=b=c – сфера Однополостной и двуполостной гиперболоиды. Опр.: ОДНОПОЛОСТНЫМ и ДВУПОЛОСТНЫМ ГИПЕРБОЛОИДАМИ называются поверхности, имеющие канонические уравнения соответственно вида
Исследуем их форму МЕТОДОМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ.
В сечениях плоскостями y=hполучим
Аналогично, в сечениях плоскостями x=h получим:
Прочие геометрические свойства гиперболоидов Из ур (7) получаем , то есть в пространственном слое нет точек Ф2. Координатные оси Ox и Oy пересекают Ф1 и Ф2 в т Ось Oz не пересекает Ф1. Она пересекает Ф2 в точках Все эти точки называются вершинами гиперболоида. Точно так же, как и для эллипсоида, доказывается, что коорд оси являются осями симметрии гиперболоида, коорд плоскости — плоскостями симметрии, а т O – центром симметрии. Ось Oz – ось симметрии параболоидов, а коорд плоскости Oxz и Oyz – плоскостями симметрии. ДРУГИХ СИММЕТРИЙ У ПАРАБОЛОИДОВ НЕТ. При a=bФ3 будет поверхностью вращения гиперболы в сечении Ф4 плоскостями z=h будут равнобокими. Эллиптический и гиперболический параболоиды. Опр.: ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ПАРАБОЛОИДАМИ называются поверхности, имеющие канонические уравнения соответственно видов Исследуем их форму методом параллельных сечений. В сечениях плоскостями z=h получим
В сечениях плоскостями y=hполучаем
Эти параболы равны друг другу и получаются параллельным переносом, а при перемещении описывают кривую (вершины) Oyz (параболу), т е оба параболоида получаются движением одной параболы, когда её вершина скользит по другой параболе. Аналогично, полученные в сечениях плоскостями x=h равны друг другу Исследование формы поверхности второго порядка методом параллельных сечений. При таком исследовании производим сечение плоскостями x=h, y=h, z=h (h-число). После подстановки исследуют уравнения, положительные ли дроби выходят. От этого зависят полученные фигуры. |