Аналитический способ

Название	Аналитический способ
Дата	06.07.2018
Размер	127.05 Kb.
Формат файла
Имя файла	Matanaliz_1-5.docx
Тип	Документы #48367

1. Функцией называется закон, по которому числу х из заданного множества Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут , при этом x называют аргументом функции, y называют значением функции.

1) Аналитический способ.
Аналитический способ - это наиболее часто встречающийся способ задания функции. Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у. Функция может быть задана на разных частях множества X разными функциями.
Например:

Во всех ранее приведенных примерах аналитического способа задания, функция была задана явно. То есть, справа стояла переменная y, а слева формула от переменной х. Однако, при аналитическом способе задания, функция может быть задана и неявно.
При аналитическом способе задания, функция может быть задана параметрически - это, когда х и у выражены через некоторый параметр t.

2) Графический способ.
При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом

. Графиком числовой функции y = f(x) называется множество точек плоскости с координатами (x; f(x)), абсциссы которых - числа из области определения функции, а ординаты - соответствующие значения функции.

Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не всякая линия может служить графиком функции. Линия только в том случае задаёт функцию, если любая прямая, параллельная оси 0y, пересекает её не более чем в одной точке.
4. Табличный способ.
Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y.
Недостатком табличного способа задания функции является то, что в таблице могут быть указаны лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены.

2. Множество чисел

которое определено для каждого натурального числа с одинаковым правилом называют числовой последовательнос тью и обозначают

, где

– члены числовой последовательности,

– общий член последовательности..

Число

называется пределом числовой последовательности

, если для любого сколь угодно малого положительного числа

найдется такое натуральное число

, что при всех

выполняется неравенство

Если

есть границей последовательности то записывают

Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого

> 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала ( a -

, a +

). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что | u_n |

M для всех n . Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

Есть несколько типов числовых последовательностей, которые вы обязательно должны знать:

1) Возрастающая последовательность – каждый ее член больше предыдущего

2) Неубывающая последовательность – каждый следующий член не меньший от предыдущего

3) Нисходящая последовательность – каждый новый член меньше предыдущего

4) Невозрастающая последовательность – каждый старший член не больше предыдущего

5) Ограниченная последовательность имеет место тогда, когда найдутся такие действительные числа

, что для всех натуральных чисел

выполняется неравенство

6) Последовательность

называется неограниченной, если она постоянно или растет или убывает.

7) Последовательность, имеющая предел называется сходящейся. Противоположная к ней последовательность - соответственно расходящимися.
3. Основные свойства пределов.Нижеприведенные свойства пределов справедливы не только для числовых последовательностей, но и для функций.

Если { u_n} и { v_n}  две сходящиеся последовательности, то:

http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana1e.gif

Если члены последовательностей { u_n}, { v_n},{ w_n}удовлетворяют неравенствам

Некоторые замечательные пределы.

http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana1a.gif

4. Теоремы о пределах

Теорема 1. Если в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой точке существует и предел суммы f(x)±g(x),причём

.

Теорема 2. Если в точке а существуют пределы функций f (x) и g (x), то существует и предел произведения f(x)×g(х), причем

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Действительно,

Следствие 2.

Теорема 3. Если в точке а существуют пределы функций f(х) и g (x) и при этом

, то существует и предел частного

, причем

.

Теорема 4. Если функция f (x) имеет предел в точке а, отличный от нуля, то функция

также имеет в этой точке предел, причем

.

Докажем для примера, что

.

Пусть

.

Так как

, то f(x) = A + a(x), где a(x) ® 0 при x ® a, а так как

, то g(x) = В + b(x), где b(x) ® 0 при x ® a.

Тогда f (x) ± g(x) = [A + a(x)] ± [В + b(x)] = (А ± В) + (a(x) ± b(x)), где a(x) ± b(x) ® 0 при x ® a как алгебраическая сумма бесконечно малых a(x) и b(x).

Таким образом, функция f (x) ± g(x) отличается от числа А ± В на бесконечно малую и, следовательно, это число является пределом суммы функций f(x) и g(x), то есть имеем

.

Отметим, что при вычислении пределов сформулированные выше теоремы о пределах, как правило, не "работают", а попытка их применения приводит в итоге к неопределенности того или иного вида. Например,

.

5. 1)Замечательный тригонометрический предел (первый)

Доказательство

https://studfiles.net/html/1363/144/html_a8dpnksvq2.384d/img-lyk3ox.png

Рассмотрим односторонние пределы

и докажем, что он равны 1.

Пусть

. Отложим этот угол на единичной окружности (R= 1).

Точка K— точка пересечения луча с окружностью, а точкаL— с касательной к единичной окружности в точке (1;0). ТочкаH— проекция точкиKна осьOX.

Очевидно, что: