Анализ таблиц истинности логических выражений

• Название: Анализ таблиц истинности логических выражений
• Дата: 10.09.2022
• Размер: 2.49 Mb.
• Имя файла: ege2.doc
• Тип: Документы; #670447
• страница: 1 из 34

© К. Поляков, 2009-2022

2 (базовый уровень, время – 3 мин)

Тема: Анализ таблиц истинности логических выражений.

Что проверяется:

Умение строить таблицы истинности и логические схемы.

1.5.1. Высказывания, логические операции, кванторы, истинность высказывания

1.1.6. Умение строить модели объектов, систем и процессов в виде таблицы истинности для логического высказывания

Про обозначения

К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (,,¬), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает  и . Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение).
В разных учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (,,¬), что еще раз подчеркивает проблему.

Что нужно знать:

• 
  условные обозначения логических операций
  

¬ A, не A (отрицание, инверсия)

A  B, A и B (логическое умножение, конъюнкция)

A  B, A или B (логическое сложение, дизъюнкция)

A → B импликация (следование)

A  B эквивалентность (равносильность)

• 
  операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:
  

A → B = ¬ A  B или в других обозначениях A → B =

• 
  иногда для упрощения выражений полезны формулы де Моргана:
  

¬ (A  B) = ¬ A  ¬ B

¬ (A  B) = ¬ A  ¬ B

• 
  если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», «импликация», и самая последняя – «эквивалентность»
  
• 
  таблица истинности выражения определяет его значения при всех возможных комбинациях исходных данных
  
• 
  если известна только часть таблицы истинности, соответствующее логическое выражение однозначно определить нельзя, поскольку частичной таблице могут соответствовать несколько разных логических выражений (не совпадающих для других вариантов входных данных);
  
• 
  количество разных логических функций, удовлетворяющих неполной таблице истинности, равно , где – число отсутствующих строк; например, полная таблица истинности выражения с тремя переменными содержит 2³=8 строчек, если заданы только 6 из них, то можно найти 2^8-6=2²=4 разных логических функции, удовлетворяющие этим 6 строчкам (но отличающиеся в двух оставшихся)
  
• 
  логическая сумма A + B + C + … равна 0 (выражение ложно) тогда и только тогда, когда все слагаемые одновременно равны нулю, а в остальных случаях равна 1 (выражение истинно)
  
• 
  логическое произведение A · B · C · … равно 1 (выражение истинно) тогда и только тогда, когда все сомножители одновременно равны единице, а в остальных случаях равно 0 (выражение ложно)
  
• 
  логическое следование (импликация) А→В равна 0 тогда и только тогда, когда A (посылка) истинна, а B (следствие) ложно
  
• 
  эквивалентность АB равна 1 тогда и только тогда, когда оба значения одновременно равны 0 или одновременно равны 1