Курсовая Работа -_Аппроксимация функций. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
 Скачать 1.31 Mb.
|
2.2 Линеаризация экспоненциальной зависимости.В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию в которую неопределенные коэффициенты входят нелинейно. При этом иногда задачу удается линеаризовать, т.е. свести к линейной. К числу таких зависимостей относится экспоненциальная зависимость  (2.2.1)где  и  неопределенные коэффициенты. Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства (2.2.1), после чего получаем соотношение  (2.2.2)Обозначим  и  соответственно через  и  , тогда зависимость (2.2.1) может быть записана в виде  , что позволяет применить формулы (2.1.4) с заменой на и  на  .2.3 Элементы теории корреляции.График восстановленной функциональной зависимости  по результатам измерений  называется кривой регрессии. Для проверки согласия построенной кривой регрессии с результатами эксперимента обычно вводят следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции (линейная зависимость), корреляционное отношение и коэффициент детерминированности. При этом результаты обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы. В каждой клетке этой таблицы приводятся численности  тех пар  , компоненты которых попадают в соответствующие интервалы группировки по каждой переменной. Предполагая длины интервалов группировки (по каждой переменной) равными между собой, выбирают центры  (соответственно ) этих интервалов и числа в качестве основы для расчетов.Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми случайными величинами: он показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена одна из величин в виде линейной функции от другой. Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:  , (2.3.1)где  , и  среднее арифметическое значение соответственно по x и y.Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе  к 1, тем теснее линейная связь между x и y.В случае нелинейной корреляционной связи условные средние значения располагаются около кривой линии. В этом случае в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости. Корреляционное отношение вычисляется по формуле:  , (2.3.2)где  , а числитель характеризует рассеяние условных средних  около безусловного среднего .Всегда  . Равенство  соответствует некоррелированным случайным величинам;  тогда и только тогда, когда имеется точная функциональная связь между y и x. В случае линейной зависимости y от x корреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции. Величина  используется в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной.Корреляционное отношение является мерой корреляционной связи y с x в какой угодно форме, но не может дать представления о степени приближенности эмпирических данных к специальной форме. Чтобы выяснить насколько точно построенная кривая отражает эмпирические данные вводится еще одна характеристика коэффициент детерминированности. Для его описания рассмотрим следующие величины.  - полная сумма квадратов, где среднее значение . Можно доказать следующее равенство  .Первое слагаемое равно  и называется остаточной суммой квадратов. Оно характеризует отклонение экспериментальных данных от теоретических. Второе слагаемое равно  и называется регрессионной суммой квадратов и оно характеризует разброс данных.Очевидно, что справедливо следующее равенство  .Коэффициент детерминированности определяется по формуле:  . (2.3.3)Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности  , который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y.Коэффициент детерминированности всегда не превосходит корреляционное отношение. В случае когда выполняется равенство  то можно считать, что построенная эмпирическая формула наиболее точно отражает эмпирические данные. |