числовой ряд. Числовой ряд. Бесконечным числовым рядом
 Скачать 0.92 Mb.
|
|
Числовые ряды Основные понятия Основные теоремы о сходящихся рядах Необходимый признак сходимости ряда Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Знакочередующие ряды Основные понятия Бесконечным числовым рядом называется выражение: Пусть задана бесконечная числовая последовательность: u 1, u 2, u 3 … u n .…, где u n = f(n). Сумму n первых членов ряда называют n - ой частичной суммой ряда. u + u 2 + u 3 +.. u n + … члены ряда общий член ряда = = + + + + + 1 3 2 1 n n n u u u u u n n u u u u S + + + + = 3 2 1 Основные понятия Ряд называется сходящимся если его n - я частичная сумма S n , при неограниченном возрастании n , стремится к конечному пределу, т.е. если существует конечный предел. Если или не существует, то ряд называется расходящимся и суммы не имеет. S S n n = → lim сумма ряда = → n n S lim Основные понятия Пример Рассмотрим ряд геометрической прогрессии: + + + + + + n bq bq bq bq b 3 2 первый член прогрессии знаменатель прогрессии q q b S n n − − = 1 ) 1 ( n - ая частичная сумма ряда: ) 1 ( lim 1 1 ) 1 ( lim lim n n n n n n q q b q q b S − − = − − = → → → Рассмотрим отдельные случаи: 1 q b S S q q n n n n − = = = → → 1 lim 0 lim 1 - ряд сходится 2 = = → → n n n n S q q lim lim 1 - ряд расходится Основные понятия Следовательно, ряд геометрической прогрессии сходится при 3 + + + = b b b q 1 - предел не существует, ряд расходится 4 1 q - ряд расходится = = = → → bn S n b S n n n n lim lim + − + − − = b b b b q 1 =0 n n bq Ряд называемый гармоническим, расходится = + + + + + + = 1 1 4 1 3 1 2 1 1 1 n n n Основные теоремы о сходящихся рядах 1 2 На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов, т.е. если сходится ряд получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится сам данный ряд. Если ряд сходится и сумма его равна S то ряд также сходится и сумма его равна , где С - постоянная. =1 n n u =1 n n Cu S C Если ряды и сходятся, то ряд также сходится и сумма его равна S 1 +S 2 . = = 1 1 n n S a = = 1 2 n n S b = + 1 ) ( n n n v u 3 Необходимый признак сходимости ряда Теорема 0 lim = → n n u Если ряд сходится то его n - й член стремится к нулю, при n стремящимся к бесконечности. Таким образом, если , то ряд расходится 0 lim → n n u Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Признак Даламбера Ряд с положительными членами: - для любого n 0 n u Пусть дан ряд с положительными членами: =1 n n u Допустим существует предел: k u u n n n = + → 1 lim 1 k 1 k =1 k ряд сходится ряд расходится ? Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Исследовать на сходимость ряд: Пример ; 2 n n n u = 1 1 2 1 + + + = n n n u = + → n n n u u 1 lim n n n 1 lim 2 1 + = → = + + → n n n n n 1 2 2 ) 1 ( lim = + → n n n n n 2 2 2 ) 1 ( lim = + = → n n 1 1 lim 2 1 1 2 1 ряд сходится + + + + 16 4 8 3 4 2 2 1 Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Признак Коши Пусть дан ряд с положительными членами: =1 n n u Допустим существует предел: k u n n n = → lim 1 k 1 k =1 k ряд сходится ряд расходится ? Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Исследовать на сходимость ряд: Пример 1 ряд сходится = + 1 1 5 n n n n n n n n u + = 1 5 1 5 + = n n u n n 1 5 lim + → n n n 5 1 1 5 1 lim = + = → n n Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Интегральный признак сходимости Пусть дан ряд с положительными членами =1 n n u , причем n u u u u 3 2 1 Пусть также f(x) - непрерывная монотонно убывающая функция, такая что f(n) = u n . 1 ) ( dx x f Тогда данный ряд и интеграл одновременно сходятся и расходятся. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Исследовать на сходимость ряд: Пример n k u n n f = = 1 ) ( Рассмотрим функцию: k x x f 1 ) ( = 1 x при Эта функция монотонно убывает и непрерывна. Следовательно условие интегрального признака соблюдены. =1 1 n k n Такой ряд называется обобщенный гармонический ряд Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами - ряд расходится = + − = = + − → − → b k b b k b k k x dx x dx x 1 1 1 1 1 lim lim 1 = − = = = → → → ) 1 ln (ln lim ln lim 1 lim 1 1 1 1 b x dx x dx x b b b b b Рассмотрим случай, когда 1 k − − = − → 1 1 lim 1 1 1 k b b k 1 1 − = k - при k > 1 – ряд сходится = - при k < 1 – ряд расходится При k = 1 : Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Первый признак сравнения Пусть даны два ряда с положительными членами: = = 1 1 n n n n v и u Для этих рядов справедливо: - сходится n n v u =1 n n v также сходится =1 n n u - расходится n n v u =1 n n v также расходится =1 n n u Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами - исследуемый ряд =1 n n u - ряд, который выбирается для сравнения и про который должно быть известно, сходится он или расходится. =1 n n v Ряды, которые обычно выбираются для сравнения: 1 =0 n n bq Ряд геометрической прогрессии: 1 q сходится при 2 Обобщенный гармонический ряд =1 1 n k n сходится при 1 k Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Исследовать на сходимость ряд: Пример n n n u 1 = Выберем для сравнения ряд: = = + + + + + 1 3 2 1 1 3 1 2 1 1 n n n n n n n v 2 1 = Ряд сходится, так как это геометрическая прогрессия со знаменателем 1 2 1 = q n n n 2 1 1 Неравенство выполняется для всех членов ряда, начиная с третьего, значит ряд u n также сходится по признаку сравнения. =1 2 1 n n Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Исследовать на сходимость ряд: Пример 3 5 1 + = n n u Выберем для сравнения ряд: 128 1 28 1 8 1 3 5 1 1 + + + = + = n n 125 1 25 1 5 1 5 1 1 + + + = = n n Ряд сходится, так как это геометрическая прогрессия со знаменателем 1 5 1 = q n n 5 1 3 5 1 + Неравенство выполняется для всех членов ряда, значит ряд u n также сходится по признаку сравнения. n n v 5 1 = Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Второй признак сравнения Пусть даны два ряда с положительными членам и: = = 1 1 n n n n v и u Для этих рядов справедливо: = → k k k v u n n n ; 0 lim Ряды u n и v n одновременно сходятся и расходятся. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Исследовать на сходимость ряд: Пример n u n 1 sin = Выберем для сравнения ряд: n v n 1 = Ряд v n - гармонический ряд =1 1 sin n n =1 1 n n = → n n n 1 1 sin lim расходится. → → = 0 ; 1 t n t n 1 sin lim 0 = = → t t t ряд u n – также расходитс я. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Исследовать на сходимость ряд: Пример 2 1 3 1 ; 3 = − = = = k m l Выберем для сравнения ряд: 2 1 n v n = Ряд v n - обобщенный гармонический ряд вида =1 1 n k n = + − → 2 3 1 5 1 2 lim n n n n сходится, так как k = 2 >1 ряд u n – также сходится. = + − 1 3 5 1 2 n n n 5 1 2 3 + − = n n u n = + − → 5 2 lim 3 2 3 n n n n 2 5 1 1 2 lim 2 = + − → n n n Знакопеременные ряды Пусть дан знакопеременный ряд: =1 n n u Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены называются знакопеременными (1) Рассмотрим также ряд 3 2 1 + + + + + n u u u u (2) – ряд составлен из модулей всех членов ряда (1). Знакопеременные ряды Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (4). Ряд (1) называется условно сходящимся, если он сам сходится, а ряд (4), расходится. Определения Знакочередующиеся ряды = + − 1 1 ) 1 ( n n n u Ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно. Достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда является признак Лейбница. (1) Знакочередующийся ряд (1) сходится если: Теорема (2) (3) n u u u u 3 2 1 0 lim = → n n u положительные числа (модули членов ряда) Знакочередующиеся ряды Исследовать на сходимость ряд: Пример 1 ряд сходится. = + + − + − = − 1 1 4 1 3 1 2 1 1 1 ) 1 ( n n n n 1 3 1 2 1 1 0 1 lim = → n n Для этого ряда справедливо: Данный ряд сходится условно, так как ряд , составленный из модулей членов ряда - расходится =1 1 n n Знакочередующиеся ряды Исследовать ряд сходимость: Пример 2 ряд сходится. = + − + − 1 4 1 1 5 ) 1 ( n n n n n 1283 4 407 3 81 2 5 1 0 5 0 1 1 5 1 lim 1 5 lim 4 3 3 4 = = − + = − + → → n n n n n n n n Исследуем ряд на сходимость по признаку Лейбница: |