Билет 15 Сеточные методы на примере решения уравнения теплопроводности
![]()
|
Билет №15 Сеточные методы на примере решения уравнения теплопроводности 1. ВведениеЭта работа знакомит с численными методами решения дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на примере одномерного линейного уравнения теплопроводности. Рассматривается следующая краевая задача: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2. Теоретическая справка2.1. Дифференциальная краевая задачаКак уже было отмечено, в работе рассматривается задача: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2.2. Сеточная областьДля рассмотренной задачи ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2.3. Пример разностной задачи (разностной схемы)Для рассмотренной дифференциальной задачи одна из возможных разностных схем имеет следующий вид: ![]() p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1; ![]() ![]() ![]() ![]() 2.4. Шаблон разностной схемыРассмотренная разностная схема при заданных m и p связывает значения решения в четырех точках сетки, которые образуют конфигурацию, называемую шаблоном схемы. ![]() 2.5. Спектральный признак устойчивостиДля широкого класса эволюционных (зависящих от времени) задач исследование устойчивости можно осуществить с помощью спектрального признака, который в случае разностной задачи с постоянными коэффициентами, состоит в следующем. Заменяем правую часть разностного уравнения в (11.1a) нулем, краевую задачу — задачей Коши, функцию ![]() ![]() ![]() (для задач с одной пространственной переменной), — произвольное число, ![]() Для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы спектр ![]() ![]() ![]() ![]() или ![]() Разностная схема устойчива, если выполнено неравенство ![]() ![]() 2.6. Шеститочечная параметрическая схемаСеточный шаблон: ![]() Разностная схема: ![]() ![]() p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1; ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() = 0 — явная четырехточечная схема; = 1 — неявная четырехточечная схема; = 1/2 — схема Кранка–Николсона. Метод решения полученной системы линейных уравнений с матрицей трехдиагональной структуры — прогонка. Порядок аппроксимации: = 1/2: ![]() = 0; 1: ![]() = 1/6: ![]() Введем обозначения ![]() ![]() Схема устойчива при любых К, если 1/2; при ![]() ![]() 2.7. Схема Франкела–ДюфортаСеточный шаблон: ![]() Разностная схема: ![]() p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1; ![]() ![]() ![]() ![]() Значения функции на втором слое по времени рассчитываются по явной центральной четырехточечной схеме. Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на двух предыдущих нижних слоях: p и p – 1. Порядок аппроксимации: ![]() Cхема устойчива при любых ![]() ![]() 2.8. Схема РичардсонаСеточный шаблон: ![]() Разностная схема: ![]() p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1; ![]() ![]() ![]() ![]() Значения сеточной функции на втором слое по времени рассчитываются по явной центральной четырехточечной схеме. Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на двух предыдущих нижних слоях p и p – 1. Порядок аппроксимации: ![]() Cхема неустойчива при любых K. 2.9. Явная центральная четырехточечная схемаСеточный шаблон: ![]() Разностная схема: ![]() p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1; ![]() ![]() ![]() ![]() Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p. Порядок аппроксимации: ![]() Cхема устойчива при ![]() 2.10. Схема Алена–ЧенаСеточный шаблон: ![]() Разностная схема: ![]() p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1; ![]() ![]() ![]() ![]() Значения сеточной функции на верхнем временном слое находятся по ее значениям на нижнем слое, поскольку разностное уравнение разрешается относительно ![]() Порядок аппроксимации: ![]() Схема устойчива при любых K. 2.11. Нецентральная явная схемаСеточный шаблон: ![]() Разностная схема: ![]() p = 0, 1, …, P – 1; m = 2, 3, …, M; ![]() ![]() ![]() ![]() Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p (значения сеточной функции в точках {m = 1; p = 1, 2, …, P} рассчитываются по шеститочечной параметрической схеме при = 1). Порядок аппроксимации: О( ![]() Схема неустойчива при любых K. 2.12. Схема СаульеваСеточный шаблон: ![]() Разностная схема: ![]() ![]() p = 0, 1, …, P – 2; m = 1, 2, …, M – 1; начальные и граничные условия в такой схеме реализуют следующим образом: ![]() ![]() ![]() ![]() Алгоритм численного решения задачи — «бегущий счет»: слева направо — первый этап, справа налево — второй. Порядок аппроксимации: ![]() Схема устойчива при любых K. |