Лекція 10. Біном. та норм.розподіли. Біноміальний, рівномірний і нормальний розподіл ймовірностей
 Скачать 0.87 Mb.
|
|
8.4. Довірчий інтервал для дисперсії при невідомому математичному сподіванні Знайдемо довірчий інтервал для дисперсії  нормально розподіленої величини  з невідомими математичним сподіванням. При виведенні інтервальної оцінки у разі відомого математичного сподівання , ми користувалися величиною  . Тепер це значення використовувати неможна, тому за незміщену оцінку дисперсії будемо використовувати виправлену вибіркову дисперсію  .. Випадкова величина  має розподіл Пірсона  із  ступенями свободи. Виберемо близьку до одиниці ймовірність  і знайдемо інтервал, в який потрапляє невідомий параметр з надійністю . Для цього повторимо міркування пункту 8.3 і отримаємо, що оцінюване значення дисперсії з надійністю покривається довірчим інтервалом .Приклад 5. В умовах прикладу 3 знайти довірчий інтервал для дисперсії при невідомому математичному сподіванні з надійністю  . Розв’язання. Об'єм вибірки  , вибіркове середнє  , вибіркова дисперсія  , виправлена вибіркова дисперсія  .Отримаємо довірчий інтервал для дисперсії:  , .Таким чином, інтервал покриває параметр  з надійністю при невідомому математичному сподіванні.8.5. Довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення Нехай генеральна сукупність випадкової величини розподілена нормально. Треба оцінити невідоме генеральне середнє квадратичне відхилення  за виправленим середнім квадратичним відхиленням  . Для цього знайдемо довірчий інтервал, що покриває невідомий параметр з надійністю . По суті, ця задача повторює попередній пункт, але зараз ми трохи змінимо позначення для спрощення запису результату. Вираз для довірчої ймовірності має вигляд  , де  – абсолютна похибка оцінювання. Нерівність  або рівносильну йому нерівність  перетворимо до виду  . Позначимо  і, оскільки абсолютну похибку оцінювання ми вибираємо достатньо малою, можна вважати, що  . Перепишемо нерівність у вигляді  , домножимо на  , отримаємо  . З попереднього пункту відомо, що випадкова величина має розподіл Пірсона із ступенями свободи. Тому змінну можна виразити через значення критичних точок  і  розподілу і записати ці значення в таблицю (у застосуваннях значення параметра  приведені в спеціальних статистичних таблицях). Вичисливши по вибірці значення і знайшовши за таблицею  , отримаємо шуканий довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення, покриваючий параметр із заданою надійністю :  .Зауваження. У випадках, коли оцінюється математичне сподівання при невідомій дисперсії або дисперсія при невідомому математичному сподіванні, довірчі інтервали, що виходять при цьому, виявляються довше за тих, що отримані, коли, відповідно, дисперсія або математичне сподівання були відомі. Ця обставина пояснюється тим, що наявність додаткової інформації дозволяє звузити межі, в які можна укласти оцінюваний параметр при заданій надійності. Приклад 6. В умовах прикладу 3 знайти довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення з надійністю . Розв’язання. Об'єм вибірки , вибіркове середнє , вибіркова дисперсія , виправлена вибіркова дисперсія , виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення  . Довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення визначається нерівністю .За заданою надійністю і об'ємом вибірки знайдемо за таблицями параметр :  . Отримаємо довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення .Проведемо обчислення і остаточно запишемо  .Таким чином, інтервал покриває параметр з надійністю . |