Лекція 10. Біном. та норм.розподіли. Біноміальний, рівномірний і нормальний розподіл ймовірностей
 Скачать 0.87 Mb.
|
|
Ю.Д.Жданова. Лекції з ВГПМ. М3 Вибрані глави ТЙіМС. Лекція № 10 Лекція № 10 Тема: Біноміальний, рівномірний і нормальний розподіл ймовірностей План лекції: 1. Біноміальний розподіл ймовірностей. 2. Рівномірний розподіл ймовірностей. 3. Нормальний розподіл ймовірностей. 4. Нормальне наближення. 5. Розподіли, пов’язані з нормальним. 6. Оцінки параметрів розподілу випадкових величин. 7. Оцінки параметрів біноміального розподілу. 8. Оцінки параметрів нормального розподілу. 1. Біноміальний розподіл ймовірностей Припустимо, що проводиться серія незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися подія  з однією і тією ж, але невідомою нам ймовірністю  . Причому ймовірність появи події в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань. Такі випробування називаються незалежними відносно події . Нехай проведено  незалежних випробувань. Випадкова величина  – число появ події (появу події називають «успіхом») в цій серії випробувань. Можливими значеннями цієї випадкової величини є цілі числа від 0 до . Ймовірності цих можливих значень визначаються за формулою Бернуллі. Закон розподілу такої випадкової величини називається біноміальним. Означення. Дискретна випадкова величина  називається розподіленою за біноміальним законом, якщо її можливими значеннями  є числа успіхів  в схемі Бернуллі при випробуваннях, а ймовірності знаходяться за формулою Бернуллі , (  ,  ).Закон розподілу:
Звернемо увагу на те, що сума ймовірностей  – це точно біном Ньютона  .Цей факт і вплинув на назву випадкової величини, яка розглядається. Позначається біноміальний розподіл так:  , де і  – параметри біноміального розподілу.Функція розподілу:  Числові характеристики:  ,  ,  ,  .Найімовірніше значення  випадкової величини , розподіленої за біноміальним законом задовольняє нерівність: .Приклад. На заліку студент отримав 4 задачі. Ймовірність правильно розв’язати кожну задачу  . Випадкова величина  – число правильно розв’язаних задач. а) Знайти закон розподілу випадкової величини ;б) побудувати функцію розподілу випадкової величини та її графік.в) Знайти  ,  ,  .Розв’язання. а) Можливі значення випадкової величини : 0,1,2,3,4. Оскільки можливими значеннями випадкової величини є числа успіхів  в схемі Бернуллі при 4 випробуваннях, то їх ймовірності знаходяться за формулою Бернуллі: ,  ,  . ; ; ; ; .Закон розподілу запишемо у вигляді таблиці:
Перевірка умови нормування: 0,0016+0,0256+0,1536+0,4096+0,4096=1. Отже, випадкова величина має біноміальний розподіл  . б) Функція розподілу випадкової величини за означенням: Компактно  можна записати в такій формі: Графік функції зображено на малюнку:0 1 2 3 4 к 0,5 0,1 1 в) Знайдемо , , . ; ; .1.1. Розподіл Бернуллі Біноміальний розподіл  з параметрами  і  називається розподілом Бернуллі. Числові характеристики:  ,  .Розподіл Бернуллі відіграє фундаментальну роль в теорії ймовірностей і математичний статистиці, являючись математичною моделлю випробування з двома наслідками.Якщо  ,  – незалежні випадкові величини з розподілом Бернуллі, тоді випадкова величина  має біноміальний розподіл .Приклад. Нехай в партії деяких виробів якісні вироби зустрічаються з ймовірністю , а вироби з дефектом – з ймовірністю  . Покладемо  , якщо вибрали виріб якісний, і  , якщо виріб з дефектом. Тоді «якість» виробів можна описати випадковою величиною, що має розподіл Бернуллі .2. Рівномірний розподіл 2.1 Рівномірний дискретний розподіл Означення. Дискретна випадкова величина називається рівномірно розподіленою, якщо вона набуває значень  з ймовірностями  ,  .Закон розподілу:
Функція розподілу:  Числові характеристики:  ,  .2.2 Рівномірний неперервний розподіл Означення. Неперервна випадкова величина називається рівномірно розподіленою на відрізку  , якщо її щільність ймовірності є сталою на і дорівнює 0 поза ним: Графік функції  має вид:0 a b x   Рівномірний розподіл виникає в експериментах, у яких навмання ставиться точка на відрізку (випадкова величина – абсциса поставленої точки), а також в експериментах по вимірюванню тих чи інших фізичних величин з округленням (випадкова величина – помилка округлення). Наприклад: – час чекання на зупинці автобуса: розподілена рівномірно на відрізку  , де  – інтервал руху автобусів. Інший приклад: – помилка при зважуванні предмета, яка отримана від округлення результату зважування до найближчого цілого числа; у цьому випадку випадкова величина має рівномірний розподіл на відрізку  , де за одиницю прийнята ціна розподілу шкали.Функція розподілу:  Числові характеристики:  ,  ,  .3. Нормальний розподіл ймовірностей Означення. Неперервна випадкова величина  називається розподіленою за нормальним законом (законом Гаусса) з параметрами  і  , де  ,  , якщо її щільність ймовірності має вигляд: ,  Нормальний розподіл було відкрито в 1733 році А. Муавром, а потім докладно вивчено П. Лапласом і К. Гауссом. Позначається нормальний розподіл  .Якщо випадкова величина розподілена за нормальним законом  з параметрами 0 і 1, то вона називається нормованою або стандартною нормальною випадковою величиною. Щільність стандартного нормального розподілу є функцією Гаусса: .Зауваження. Для значень функції Гаусса існують детальні таблиці. Значення функції Гаусса можна обчислити а) в Excel за формулою =НОРМРАСП(х; 0;1;ЛОЖЬ). а) в Mathcad за формулою dnorm(x,0,1). Графік щільності нормального розподілу називається нормальною кривою (кривою Гаусса) і має наступний симетричний вигляд, схожий на дзвін; залежний від різних значень параметра :0 m x      Максимальна висота дзвону досягається при  та дорівнює  ,При збільшенні параметра вершина дзвону буде опускатися, але зате будуть підніматися краї (тому що загальна площа між графіком і віссю  повинна залишитися рівною 1). Що стосується параметра , то його значення не впливає на форму графіка; зі зміною графік тільки зміщується в напрямку осі  .Нормальний закон – це закон розподілу, що найчастіше зустрічається на практиці. Він широко розповсюджений у природі, техніці виробництві, і т. ін.. Випадковими величинами з нормальним законом розподілу є, наприклад, погрішності вимірювань фізичних величин, та й самі результати вимірювань; координати точки падіння снаряда під час стрілянини з гармати при постійному прицілі й ін. Функція розподілу:  .Функція розподілу нормальної випадкової величини зв'язана з функцією Лапласа наступним співвідношенням:  .Зауваження. Для значень функції розподілу нормальної випадкової величини існують детальні таблиці. Значення функції цієї функції можна обчислити а) в Excel за формулою =НОРМРАСП(х; 0;1;ИСТИНА)–0,5 або за формулою =НОРМСТРАСП(х)–0,5. а) в Mathcad за формулою pnorm(x,0,1)–0,5. Ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина набуває значень з деякого проміжку   .Якщо покласти  ,  , то ,тобто подія  є практично достовірною. Це означає, що практично всі можливі значення нормально розподіленої випадкової величини розташовані на проміжку  . Останнє твердження називають "правилом трьох сигм".Числові характеристики нормального розподілу збігаються з його параметрами:  ,  ,  .Нормальний розподіл має широке розповсюдження в прикладних задачах. Це пов’язано з тим, що багато з випадкових величин, які досліджуються, є наслідками різних випадкових подій. Зокрема, при достатньо загальних припущеннях сума великого числа незалежних випадкових величин має розподіл, близький до нормального. |
