Моделирование. 090402 Имитационное моделирование экономических процессов. Цель и метод планирования экспериментов

• Название: Цель и метод планирования экспериментов
• Анкор: Моделирование
• Дата: 18.06.2022
• Размер: 440.5 Kb.
• Имя файла: 090402 Имитационное моделирование экономических процессов.doc
• Тип: Реферат; #601957
• страница: 3 из 3

3. Обобщение и статистическая оценка результатов имитационного моделирования

Оценка качества имитационной модели

Результаты имитационного моделирования могут быть полезными при принятии решений, только когда они имеют необходимую точность и достоверность, т.е. сама модель может считаться качественной.

Оценка качества имитационной модели является завершающим этапом ее разработки и преследует две цели:

Проверить соответствие модели ее назначению (целям исследования);

Оценить достоверность и статистические характеристики результатов, получаемых при проведении модельных экспериментов.

При аналитическом моделировании достоверность результатов определяется корректным выбором используемого математического аппарата и методической ошибкой, присущей данному математическому методу.

При имитационном моделировании на достоверность результатов влияет целый ряд дополнительных факторов, основные из которых:

• 
  моделирование случайных факторов, основанное на использовании датчиков случайных чисел, которые могут вносить «перекручивание» в поведение модели;
  
• 
  наличие нестационарного режима работы модели;
  
• 
  использование нескольких разнотипных математических методов в рамках одной модели;
  
• 
  зависимость результатов моделирования от плана эксперимента;
  
• 
  необходимость синхронизации работы отдельных компонентов модели.
  

Пригодность имитационной модели для решения задач исследования характеризуется тем, в какой степени она отвечает целевым свойствам. Основными из этих свойств являются:

• 
  адекватность;
  
• 
  стойкость;
  
• 
  чувствительность.
  

Рассмотрим некоторые способы проведения оценки модели по каждому из указанных свойств.

Оценка адекватности модели. В основном адекватность (соответствие модели явлению или процессу) проверяют с помощью ряда статистических критериев.

Процедура оценки адекватности основана на сравнении измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели и может проводиться разными способами. Наиболее распространенные из них:

• 
  по среднему значению откликов модели и системы;
  
• 
  по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы;
  
• 
  по максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы.
  

Названные способы оценки довольно близки между собой, поэтому рассмотрим первый из них.

При этом способе проверяется гипотеза близости среднего значения функции отклика модели  среднему значению отклика реальной системы ^*.

В результате ₀ опытов на реальной системе получают множество значений ^*. Выполнив _М экспериментов на модели, также получают множество значений функции отклика модели переменной .

Затем вычисляют оценки математического ожидания и дисперсии откликов модели и системы, после чего выдвигается гипотеза о близости средних значений ^* и  (в статистическом смысле). Основой для проверки гипотезы есть t-статистика (распределение Стьюдента). Ее расчетное значение сравнивается с критическим значением t_КР, взятым из справочной таблицы. Если выполняется неравенство t t_КР, то гипотеза принимается.

Статистические методы применимы только в том случае, если оценивается адекватность модели существующей системы. Если система только проектируется, в качестве эталонного объекта приходится принимать концептуальную модель проектируемой системы. Тогда оценка адекватности программно реализованной модели заключается в проверке того, насколько корректно она отображает концептуальную модель.

Оценка стойкости модели. Стойкость модели ― это ее способность сохранять адекватность при исследовании эффективности системы на всем возможном диапазоне значений внешних влияний, а также при внесении изменений в конфигурацию системы.

В общем случае можно утверждать, что чем ближе структура модели структуре системы и чем выше степень детализации, тем устойчивее модель.

Стойкость результатов моделирования может быть также оценена методами математической статистики, например, с помощью критерия Уилкоксона.

Критерий Уилкоксона служит для проверки того, относятся ли две выборки к одной и той же генеральной совокупности (т.е. владеют ли они одинаковым статистическим признаком). Например, в двух партиях некоторой продукции измеряется определенный признак, и нужно проверить гипотезу о том, что этот признак имеет в обеих партиях одинаковое распределение, другими словами, необходимо убедиться, что технологический процесс от партии к партии изменяется несущественно.

При статистической оценке стойкости модели соответствующая гипотеза может быть сформулирована так: при изменении значений независимых факторов или структуры имитационной модели закон распределения результатов моделирования остается неизменным.

Проверку указанной гипотезы проводят при следующих данных: есть две выборки X = (x₁, ... x_n) и Y = (y₁, ... y_n), полученные для разных значений независимых факторов (относительно законов распределения X и Y никаких предположений не делается).

Значения обеих выборок упорядочиваются вместе по возрастанию. Затем анализируется взаимное расположение x_i и y_j. В случае y_j  x_i говорят, что пары значений (x_i , y_j) образовывают инверсию.

Например, пусть для n = m = 3 после упорядочения получилась такая последовательность значений: y₁, x₁, y₃, x₂, y₂, x₃; тогда примем инверсии: (x₁, y₁), (x₂, y₁), (x₂, y₃), (x₃ , y₁), (x₃ , y₂), (x₃ , y₃).

Подсчитывают полное количество инверсий U. Если гипотеза верна, то U не должно сильно отличаться от своего математического ожидания М:

. (13)

От гипотезы отказываются, если |U – М | > U_КР (U_КР определяется по таблице для заданного уровня значимости).

Оценка чувствительности модели. Если изменение значений внешних параметров модели (в некотором заданном диапазоне) не отражается на значениях исходных параметров, то польза от такой модели небольшая. В связи с этим возникает задача оценивания чувствительности модели к изменению внешних параметров, а также внутренних параметров самой системы.

Такую оценку проводят по каждому параметру X_k отдельно. Основана она на том, что обычно диапазон возможных изменений параметра известен. Одна из наиболее простых и распространенных процедур оценивания заключается в следующем.

1. Исчисляется величина относительного среднего увеличения параметра X_k:

. (14)

2. Проводится пара модельных экспериментов при значениях X_k= X_kmax, X_k= X_kmin и средних фиксированных значениях параметров. Определяются значение отклика модели Y₁=f(X_kmax) и Y₂=f(X_kmin).

3. Исчисляется относительное увеличение зависимой переменной Y:

. (15)

В результате для k-го параметра модели получают пары значений (X_k, Y_k), что характеризует чувствительность модели по этому параметру. Аналогично формируются пары для других параметров модели, которые образуют множество X_k, Y_k.

Данные, полученные при оценке чувствительности модели, могут быть использованы, в частности, при планировании экспериментов: большее внимание должно отводиться тем параметрам, к изменению значений которых модель оказалась более чувствительной.

Калибровка модели. Если в результате проведенной оценки качества модели оказалось, что ее целевые свойства не удовлетворяют разработчика, необходимо выполнить калибровку, т.е. коррекцию с целью приведения в соответствие предлагаемым требованиям. Процесс калибровки носит итеративный характер и составляется их трех основных этапов:

1. Глобальные изменения модели (например, введение новых процессов, изменение типов событий и т.д.);

2. Локальные изменения (в частности, изменения некоторых законов распределения моделируемых случайных величин);

3. Изменение специальных параметров, называемых калиброванными.

Целесообразно объединить оценку целевых свойств имитационной модели и ее калибровку в единый процесс. Именно такая стратегия принята в статистическом методе калибровки. Процедура калибровки состоит из трех шагов, каждый из которых является итеративным:

1. Сравнение исходных распределений. Цель ― оценка адекватности имитационной модели;

2. Балансировка модели. Основная задача ― оценка стойкости и чувствительности модели. По его результатам, как правило, выполняются локальные изменения (но возможны и глобальные);

3. Оптимизация модели. Цель этого этапа ― обеспечение необходимой точности результатов. Здесь возможные три основные направлений работ:

• 
  дополнительная проверка датчиков случайных чисел;
  
• 
  снижение влияния переходного режима;
  
• 
  применение специальных методов снижения дисперсии.
  

Методика применения планирования эксперимента

Методика применения математического планирования эксперимента для построения уравнения регрессии функции отклика включает несколько этапов.

Выбор фактора, который выступает в роли функции отклика.

Определение контролируемых факторов, интервалов варьирования, уровней, кодирование.

Определение необходимого количества параллельных опытов в одной серии.

Выбор плана эксперимента и построение матрицы планирования.

Проверка воспроизводимости опытов с помощью статистического критерия Кохрена.

Определение коэффициентов полинома для построения функции отклика.

Проверка значимости коэффициентов полинома с помощью статистического критерия Стьюдента.

Проверка адекватности функции отклика с помощью статистического критерия Фишера.

Переход от уравнения функции отклика в пространстве кодированных переменных к уравнению в натуральном пространстве переменных.

Сначала есть смысл проверить линейный вид модели функции отклика, используя полный или дробный факторный план. Если модель окажется неадекватной, то полином дополняется элементами, которые отвечают возможным вариантам взаимодействия факторов влияния, т.е. линейная модель дополняется до неполной квадратичной. После этого пункты 6-8 повторяются. И лишь когда возникнет потребность в полной квадратичной или кубической модели, нужно возвращаться к пункту 4, изменив план на композиционный.

Определение необходимого количества параллельных опытов

Совокупность методов определения необходимого количества параллельных опытов (повторений в одной точке плана) относят к тактическому планированию эксперимента. Поскольку точность оценок наблюдаемой переменной характеризуется ее дисперсией, то основу тактического планирования эксперимента составляют так называемые методы снижения дисперсии.

Рассмотрим вариант вычисления необходимого количества параллельных опытов (прогонов имитационной модели) – k.

Если случайные значения эндогенной переменной не коррелированы, и их распределение не изменяется от прогона к прогону, то выборочное среднее можно считать нормально распределенным.

Количество прогонов k, необходимое для того, чтобы действительное среднее находилось в интервале y  d с вероятностью (1–):

, (16)

где Z ― значение нормированного центрированного нормального распределения, которое определяется по справочной таблице при заданном уровне значимости /2;

Sy ― дисперсия реализации;

d ― доверительный интервал.

Если необходимое значение Sy к началу эксперимента неизвестно, целесообразно выполнить пробную серию из L прогонов и вычислить на ее основе выборочную дисперсию S_L:

, (17)

де y_L ― выборочное среднее по результатам L прогонов.

Подставив S_L в формулу (1.30), получают предварительную оценку числа прогонов k. Потом выполняют N – L прогонов, которые остались, периодически уточняя оценку числа прогонов k.

Проверка однородности дисперсий

Согласно требованиям регрессионного анализа корректная обработка и использование результатов экспериментальных исследований возможны лишь в том случае, когда дисперсии измерения функции отклика в каждой точке эксперимента одинаковы. Такое свойство называется однородностью дисперсий. Прежде чем находить по результатам исследований математическое описание функции отклика в заданных границах изменения факторов, необходимо убедиться в однородности дисперсий значений величины y. Поскольку теоретические значения дисперсий неизвестны, то наличие однородности дисперсий определяется по их статистическим оценкам

Если проверка однородности дисперсии дает отрицательный результат (гипотеза об однородности дисперсии отбрасывается), то полученный эмпирический материал не рекомендуется использовать для аппроксимации функции отклика полиномами. Следует повторить эксперименты, увеличив при этом число параллельных попыток k.

Проверка значимости коэффициентов регрессии

Экспериментальные исследования проводят, чтобы найти оценки коэффициентов полинома, который аппроксимирует функцию отклика. Значения коэффициентов регрессии имеют экономическую (или техническую) интерпретацию. Для линейной зависимости коэффициент b_i (i=1,…,n) характеризует величину влияния фактора x_i на отклик y, а именно b_i равняется величине прироста отклика Δy_i, если фактор x_i увеличить на единицу, не изменяя при этом значения других факторов. Для модели с эффектами взаимодействия коэффициенты b_i j характеризуют величину эффекта от взаимодействия факторов x_i и x_j. Поэтому важно проверить значимость коэффициентов уравнения регрессии. Если некоторые из них не значащие (статистически равны нулю), то их можно не учитывать, что упрощает модель. Теоретически значение некоторых коэффициентов могут равняться нулю. Убедиться в этом можно с помощью оценок коэффициентов регрессии, проверяя гипотезу об их значимости.

Значимость коэффициентов линейной регрессии проверяют отдельно по каждому коэффициенту с помощью критерия Стьюдента

Статистическая незначимость коэффициентов регрессии может быть обусловлена несколькими причинами, а именно:

1) соответствующий незначимому коэффициенту фактор не влияет на функцию отклика;

2) точка центра плана близкая к точке относительного экстремума функции отклика по переменной х_і, т.е.

;

3) малый шаг варьирования факторов;

4) большая погрешность при определении функции отклика.

Прежде чем принимать решение по исключению из уравнения регрессии членов с незначащими коэффициентами, следует тщательно проверить, существуют ли упомянутые причины незначимости. Когда для такого решения есть все основания, то при ортогональном планировании признанный незначимым коэффициент можно отвергнуть без повторного вычисления других коэффициентов. Ведь при таком планировании коэффициенты регрессии независимы. После рассмотренной процедуры в математическом описании функции отклика остаются переменные, коэффициенты регрессии при которых являются статистически значимыми.

Значимость коэффициентов квадратичной регрессии проверяют по тем же правилам, что и линейной.

Проверка адекватности функции отклика

Описание функции отклика аппроксимирующими полиномами, коэффициенты которых определены по методу наименьших квадратов, может и не отвечать (быть неадекватным) наблюдаемым значением эндогенной величины. Поэтому перед использованием математической модели для анализа исследуемой системы следует убедиться в ее адекватности данным эксперимента.

Гипотеза адекватности модели проверяется оцениванием отклонения предусмотренных значений функции отклика от экспериментально найденных по числу повторений в экспериментальных точках факторного пространства. Для оценивания отклонений используется критерий Фишера.

Проверка гипотезы об адекватности возможна, когда число исследовательских точек факторного пространства больше числа членов аппроксимирующего полинома. Это необходимо учитывать как при определении структуры аппроксимирующего полинома, так и при выборе соответствующего типа факторных планов.

Если гипотеза об адекватности математического описания исследуемого процесса отвергается, то необходимо или перейти к более сложной форме уравнения регрессии, или уменьшить интервалы варьирования факторов в эксперименте. Например, если неадекватна линейная модель, то линейный полином необходимо дополнить, добавив к нему члены, которые отвечают эффектам взаимодействия. Тем не менее, при этом нужно будет реализовать несколько попыток в середине области планирования для проверки гипотезы об адекватности.

Уменьшение интервалов варьирования с целью достижения адекватности математической модели может вызвать уменьшение коэффициентов регрессии, а из-за этого возрастает риск принять ошибочную гипотезу о статистической незначимости некоторых коэффициентов. В общем случае интервал варьирования выбирается из условия обеспечения адекватности математического описания исследуемого процесса. Часто при выборе необходимых интервалов варьирования проводятся предварительные экспресс-попытки, в которых шаг варьирования составляет 0,05…0,3 диапазона изменения значений уровней факторного пространства.

Заключение

Имитационное моделирование реализуется с помощью математических инструментальных средств, специальных компьютерных программ и приемов, которые позволяют с помощью компьютера провести целенаправленное моделирование в режиме «имитации» структуры и функций сложного процесса и оптимизацию некоторых его параметров. При имитационном моделировании происходит запуск в компьютере взаимодействующих вычислительных процессов, которые являются по своим временным параметрам аналогами исследуемых процессов.

Процесс последовательной разработки имитационных моделей начинается с создания простой модели, которая постепенно усложняется в соответствии с требованиями, предъявляемыми к результату разрешения некоторой проблемы.

План экспериментального имитационного моделирования представляет собой метод получения с помощью эксперимента необходимой информации, стоимость которого зависит от способа сбора и обработки данных. Эффективность использования ресурсов зависит от плана эксперимента. План определяет порядок статистического анализа его результатов и ценность разрешения с помощью эксперимента поставленных вопросов (без чрезмерных затрат времени и ресурсов).

Из каждого эксперимента необходимо извлекать максимально возможное количество информации, так как экспертное моделирование требует затрат труда и времени экспериментатора и затрат машинного времени. С этой целью необходимо планировать не только саму модель, но и порядок ее использования.

После того как установлены цели эксперимента, определена моделируемая система и принято решение воспользоваться машинным имитационным моделированием, полезно на этом этапе разработки машинной модели произвести планирование предстоящего эксперимента. Это позволит выбрать подходящую модель с тем, чтобы целенаправленно и эффективно получать требуемые данные.

Главная же функция планирования - это стратегическое и тактическое планирование. В зависимости от конкретных целей эксперимента для анализа его результатов могут потребоваться различные методы.

При планировании и построении модельных экспериментов имеем дело с двумя видами переменных, которые будем называть факторами и откликами (входные и выходные переменные; независимые и зависимые переменные). Для выбора плана эксперимента необходимо: определить критерий планирования эксперимента; синтезировать модель; сравнить полученную модель с существующими моделями, со стандартными планами и выбрать оптимальный план.

Список использованной литературы

1. 
   Брусакова И.А. Имитационное моделирование в информационных системах: Учеб. пособие. – СПб.: Изд-во СПбГИЭУ Инжэкон, 2004 г. – 151 с.
   
2. 
   Брусакова И.А., Чертовской В.Д. Информационные системы и технологии в экономике: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 352 с.
   
3. 
   Власов М.П., Шимко П.Д. Моделирование экономических процессов: Учеб. пособие. – СПб.: Изд-во СПбГИЭУ Инжэкон, 2006. – 388 с.
   
4. 
   Емельянов А.А., Власова Е.А., Дума Р.В. Имитационное моделирование экономических процессов. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 368 с.
   
5. 
   Львов Ю.А., Поснов В.Г. Математическое моделирование экономических систем: Метод. указания к выполнению курсовой работы. - СПб.: СПбГИЭА, 1998.