Задача. Задача 4. Четвертая метод монтекарло. Цепи маркова

• Название: Четвертая метод монтекарло. Цепи маркова
• Анкор: Задача
• Дата: 13.01.2022
• Размер: 301 Kb.
• Имя файла: Задача 4.doc
• Тип: Документы; #330450
• страница: 2 из 3

§ 6. Разыгрывание полной группы событий

Разыгрывание полной группы п (п > 2) несов­местных событий A₁,A₂,…, A_n. вероятности которых р₁, р₂,…,р_n известны, можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины Х со следующим законом распределения (для определенности примем х₁= 1, х₂=2, …, х_n=n);

X	1	2	…	n
p	p1	p2	…	pn

Действительно, достаточно считать, что если в испы­тании величина Х приняла значение х_i=i (i=1, 2, … , п), то наступило событие A_i,. Справедливость этого утвержде­ния следует из того, что число п возможных значений Х равно числу событий полной группы и вероятности воз­можных значений х_i, и соответствующих им событий A_i одинаковы: Р (X == х_i) = Р(A_i)=р_i,. Таким образом, появ­ление в испытании события A равносильно событию, состоящему в том, что дискретная случайная величина Х приняла возможное значение х_i.

Правило. Для того чтобы разыграть испытания, в каж­дом из которых наступает одно из событий А₁, А₂,…, А_n полной группы, вероятности которых р₁, р₂,…, р_n из­вестны, достаточно разыграть (по правилу § 4) дискретную случайную величину Х со следующим законом распреде­ления:

X	1	2	…	n
p	p1	p2	…	pn

Если в испытании величина Х приняла возможное зна­чение х_i=i , то наступило событие А_i.

Пример 1. Заданы вероятности четырех событий, образующих полную группу: р₁=Р(A₁)=0,19, р₂=Р(A₂)=0,21, р₃=Р(A₃)=0,34 р₄=Р(A₄)=0,26. Разыграть 5 испытаний, в каждом из которых появляется одно из четырех заданных событий.

Решение. В соответствии с правилом, приведенным в настоящем параграфе, надо разыграть дискретную случайную величину X, закон распределения которой

X	1	2	3	4
p	0,19	0,21	0,34	0,26

По правилу § 4 разобьем интервал (0,1) на четыре частичных интервала: ∆₁—(0; 0,19), ∆₂,—(0,19; 0,40), ∆₃,—(0,40; 0,74), ∆₄— (0,74; 1). Выберем из таблицы приложения 9 пять случайных чисел, например: 0,66; 0,31; 0,85; 0,63; 0,73. Так как случайное число r₁=0,66 gринадлежит интервалу ∆₃, то Х=3, следовательно, наступило собы­тие А₃,. Аналогично найдем остальные события.

Итак, искомая последовательность событий такова:

А₃, А₂, А₄, А₃, А₃.

Пример 2. События А и В независимы и совместны. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6, а вероятность появления события В равна 0,2.

Решение. Возможны 4 исхода испытания:

А₁=АВ, причем в силу независимости событий Р(АВ)= Р (А)-Р (В)=0.6·0.2=0,12;

А₂= , причем Р( )= 0,6·0,8 =0.48;

А₃= , причем Р( ) = 0,4·0,2 = 0,08;

А₄= , причем Р ( ) =0,4·0,8 =0,32.

Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы четырех событий: А₁с вероятностью р₁=0,12, А₂ с вероятностью р₂=0,48, А, с вероятностью р₃ = 0,08 и А₄ свероятностью р₄=0,32.

В свою очередь, в соответствии с правилом настоящего пара­графа эта задача сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины X, закон распределения которой

X	1	2	3	4
p	0,12	0,48	0,08	0,032

Используем правило § 4. Выберем 6 случайных чисел, например; 0,45; 0,65; 0,06; 0,59; 0,33; 0,70. Построим частичные интервалы: ∆₁—(0; 0,12), ∆₂—(0,12; 0,60); ∆₃—(0,60; 0,68); ∆₄—(0,68; 1). Слу­чайное число r₁=0,45 принадлежит интервалу ∆₂, поэтому наступило событие А₂= . Аналогично найдем исходы остальных испытаний.

Итак, искомая последовательность исходов разыгранных испыта­ний такова: , , АВ, , , .

Пример 3. События A и В зависимы и совместны. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых заданы вероятности Р(A)=0,6; Р(В)=0,6; Р(AВ)=0,5.

Решение. Возможны 4 исхода испытания:

А₁=АВ, причем, по условию, Р(АВ)=0,5;

А₂= , причем Р( )=Р(А)—Р(АВ)=0,8—0,5=0,3;

А₃= , причем Р( )=Р(В)—Р (АВ)=0,6—0,5==0,1;

А₄= , причем Р( )=1 — [Р (А₁)+Р(А₂)+Р (А₃)]= 1— (0,5+0,34-0,1)=0.1.

Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы четырех событий: А₁с вероятностью 0,5, А₂ с вероятностью 0,3, А₃ с вероятностью 0,1 и А₄ с вероятностью 0,1.

Рекомендуем закончить решение самостоятельно, считая для определенности, что выбраны случайные числа: 0,65; 0,06; 0,59; 0,33.

Для контроля приводим ответ: , АВ, , АВ.

Пояснение. Так как А=АВ+ ,то Р(А)=Р(АВ)+Р ( ). Отсюда Р( )=Р(А)—Р(АВ).

Аналогично получим, что Р ( )=Р (В)—Р (АВ).
§ 7. Разыгрывание непрерывной случайной величины.

Метод обратных функций

Пусть требуется разыграть непрерывную случай­ную величину X, т. е. получить последовательность ее возможных значений x_i(i=1,2, ...), зная функцию распределения F(х).

Теорема. Если r_i,—случайное число, то возможное зна­чение x_i разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с заданной функцией распределения F(х), соответствующее r_i, является корнем уравнения

F(х_i)=r_i. (»)

Доказательство. Пусть выбрано случайное число r_i (0≤r_i<1). Так как в интервале всех возможных зна­чений Х функция распределения F(х) монотонно возра­стает от 0 до 1, то в этом интервале существует, причем только одно, такое значение аргумента х_i,, при котором функция распределения примет значение r_i. Другими словами, уравнение (*) имеет единственное решение

х_i=F^-1(r_i),

где F^-1—функция, обратная функции у=F(х).

Докажем теперь, что корень х_i уравнения (*) есть возможное значение такой непрерывной случайной вели­чины (временно обозначим ее через ξ, а потом убедимся, что ξ=Х). С этой целью докажем, что вероятность попа­дания ξ в интервал, например (с, d), принадлежащий интервалу всех возможных значений X, равна прираще­нию функции распределения F(х) на этом интервале:

Р(с<ξ<d)=F(d)—F(с).

Действительно, так как F(х)—монотонно возрастаю­щая функция в интервале всех возможных значений X, то в этом интервале большим значениям аргумента соот­ветствуют большие значения функции, и обратно. Поэтому, если с <х_i< d, то F(c)<r_i<F(d), и обратно [учтено, что в силу (*) F(х_i)=r_i].

Из этих неравенств следует, что если случайная величина ξ заключена в интервале

с< ξ < d, ξ (**)

то случайная величина R заключена в интервале

F(с)<R<F(d), (***)

и обратно. Таким образом, неравенства (**) и (***) рав­носильны, а, значит, и равновероятны:

Р(с<ξ<d)=Р[F(с)<R<F(d)]. (****)

Так как величина R распределена равномерно в ин­тервале (0,1), то вероятность попадания R в некоторый интервал, принадлежащий интервалу (0,1), равна его длине (см. гл. XI, § 6, замечание). В частности,

Р[F(с)<R<F(d) ] =F(d) - F(с).

Следовательно, соотношение (****) можно записать в виде

Р(с<ξ<d)= F(d) - F(с).

Итак, вероятность попадания ξ в интервал (с,d) равна приращению функции распределения F(х) на этом интер­вале, а это означает, что ξ=Х. Другими словами, числа х_i, определяемые формулой (*), есть возможные значения величины Х с заданной функцией распределения F(х), что и требовалось доказать.

Правило 1. Для того чтобы найти возможное значение х_i, непрерывной случайной величины X, зная ее функцию распределения F(х), надо выбрать случайное число r_i приравнять его функции распределения и решить отно­сительно х_i, полученное уравнение

F(х_i)=r_i.

Замечание 1. Если решить это уравнение в явном виде не удается, то прибегают к графическим или численным методам.

Пример I. Разыграть 3 возможных значения непрерывной слу­чайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 10).

Решение. Напишем функцию распределения величины X, рас­пределенной равномерно в интервале (а, b) (см. гл. XI, § 3, пример):

F(х)=(х-а)/(b-а).

По условию, а =2, b =10, следовательно,

F(х)=(х-2)/8.

Используя правило настоящего параграфа, напишем уравнение для отыскания возможных значений х_i, для чего приравняем функцию распределения случайному числу:

(х_i -2)/8=r_i.

Отсюда х_i=8r_i+2.

Выберем 3 случайных числа, например, r_i=0,11, r_i=0,17, r_i=0,66. Подставим эти числа в уравнение, разрешенное относительно х_i, в итоге получим соответствующие возможные значения X: х₁=8·0,11+2==2,88; х₂=1.36; х₃=7,28.

Пример 2. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения (параметр λ > 0 известен)

F(х)=1 - е^-λх (х>0).

Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных зна­чений X.

Решение. Используя правило настоящего параграфа, напишем уравнение

1 - е^-λхi

Решим это уравнение относительнох_i:

е^-λхi=1 -r_i, или -λх_i=ln(1 -r_i).

Отсюда

х_i=1п(1 – r_i)/λ.

Случайное число r_i заключено в интервале (0,1); следовательно, число 1 -r_i, также случайное и принадлежит интервалу (0,1). Дру­гими словами, величины R и 1 - R распределены одинаково. Поэтому для отыскания х_i можно воспользоваться более простой формулой:

x_i=-ln r_i/λ.

Замечание 2. Известно, что (см. гл. XI, §3)



В частности,



Отсюда следует, что если известна плотность вероятности f(x), то для разыгрывания Х можно вместо уравнений F(x_i)=r_i решить относительно x_i уравнение


Правило 2. Для того чтобы найти возможное значение х_i(непрерывной случайной величины X, зная ее плот­ность вероятности f(x) надо выбрать случайное число r_i и решить относительно х_i, уравнение



или уравнение



где а—наименьшее конечное возможное значение X.

Пример 3. Задана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х f(х)=λ(1—λх/2) в интервале (0; 2/λ); вне этого интер­вала f(х)=0. Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.

Решение. Напишем в соответствии с правилом 2 уравнение



Выполнив интегрирование и решив полученное квадратное уравнение относительно х_i, окончательно получим


§ 8. Метод суперпозиции

Пусть функция распределения разыгрываемой случайной величины Х может быть представлена в виде линейной комбинации двух функций распределения:

F(х)=С₁F₁(х) + С₂F₂(х)(С₁>0, С₂>0).

При х→∞ каждая из функций распределения стремится к единице, поэтому С₁+С₂=1.

Введем вспомогательную дискретную случайную вели­чину Z. с законом распределения

Z	1	2
p	C1	C2

Мы видим, что

Р(Z-1)=С₁, Р(Z=2)=С₂,. (*)

Выберем два независимых случайных числа r₁ и r₂По числу r₁ разыгрываем возможное значение Z. (см. § 4). Если окажется, что Z=1, то ищут искомое возможное значение Х из уравнения F₁(х)=r₂, если Z=2, то ре­шают относительно х уравнение F₂(х)=r₂.

Докажем, что функция распределения разыгрываемой случайной величины равна заданной функции распреде­ления. Воспользуемся формулой полной вероятности (см. гл. IV, § 2)

Р(А)=Р(В₁)Р_B1(А)+Р(В₂)Р_B2(A). Обозначим через А событие Х <х; тогда

Р(А)=Р(Х<х)=F(х). (**)

Рассмотрим гипотезы В₁:Z=1 и В₂: Z=2. Вероятности этих гипотез в силу (*):

Р(В₁)=Р(Z =1)=С₁ и Р(В₂)=Р(Z=2)=С₂. (***)

Условные вероятности появления события А соответ­ственно равны:

P_B1(А)=Р_B1(X<х)=F₁(х) и P_B2(А)=Р_B2(X<х)=F₂(х) (****)

Подставив (**), (***) и (****) в формулу полной вероят­ности, окончательно получим

F(х)=С₁F₁(х)+С₂F₂(х),

что и требовалось доказать.

Замечание. Метод суперпозиции обобщается на n слагаемых функций распределения.

Правило. Для того чтобы разыграть возможное зна­чение случайной величины X, функция распределения которой

F(х)=С₁F₁(х)+С₂F₂(х),

где С₁>0, С₂>0 и С₁+С₂=1, надо выбрать два неза­висимых случайных числа r₁ и r₂и по случайному числу r₁ разыграть возможное значение вспомогательной дискрет­ной случайной величины Z. (по правилу § 4):

Z	1	2
p	C1	C2

Если окажется, что Z=1, то решают относительно х уравнение F₁(х)=r₂, если Z=2, то решают уравнение F₂(х)=r₂.

Пример. Найти явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной функцией распределения

F(х)=1—0,25(е^-2x+3е^-х), 0<х<∞.

Решение. Воспользуемся методом суперпозиции, для чего представим заданную функцию в виде

F(х)=0,25(1 - е^-2x)+0,75(1-е^-х).

Таким образом, можно принять:

F₁(х)= 1 - е^-2x, F₂(х)= 1-е^-х, C₁=0.25, C₂=0,75.

Введем в рассмотрение вспомогательную дискретную случайную величину Z с законом распределения

Z	1	2
p	0,25	0,75

Выберем независимые случайные числа r₁иr₂. Разыграем Z по случайному числу r₁, для чего по правилу § 4 построим частичные интервалы ∆₁—(0; 0,25), ∆₂—(0,25; 1). Если r₁<0,25, то Z=1, если r₁≥0,25, то Z=2.

Итак, возможное значение Х находят, решая относительно х уравнение

1 - е^-2х= r₂, если r₁<0,25;

или

1 - е^-x=r₂, если r₁≥0,25.

Используя решение примера 2 (см. § 7), в котором была найдена явная формула х= - (1/λ)1п r для разыгрывания возможных значений показательного распределения с заданным параметром λ, окончательно получим:

x= - (1/2) 1п r₂, если r₁<0,25;

х= - 1п r₂, если r₁≥0,25.

§ 9. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины

Напомним предварительно, что если случайная величина R распределена равномерно в интервале (0,1), то ее математическое ожидание и дисперсия соответственно равны (см. гл. XII, § 1, замечание 3):

M(R)=1/2, (*)

D(R)=1/2. (**)

Составим сумму п независимых, распределенных рав­номерно в интервале (0,1) случайных величин R_j(j=1, 2, ...,n):

(***)

Для нормирования этой суммы найдем предварительно ее математическое ожидание и дисперсию.

Известно, что математическое ожидание суммы слу­чайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма (***) содержит п слагаемых, матема­тическое ожидание каждого из которых в силу (*) равно 1/2; следовательно, математическое ожидание суммы (***)



Известно, что дисперсия суммы независимых случай­ных величин равна сумме дисперсий слагаемых. Сумма (***) содержит n независимых слагаемых, дисперсия каж­дого из которых в силу (**) равна 1/12; следовательно, дисперсия суммы (***)



Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы (***)



Пронормируем рассматриваемую сумму, для чего выч­тем математическое ожидание и разделим результат на среднее квадратическое отклонение:



В силу центральной предельной теоремы при п→∞ распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному с параметрами а=0 и σ=1. При конечном п распределение прибли­женно нормальное. В частности, при п = 12 получим достаточно хорошее и удобное для расчета приближение



Правило. Для того чтобы разыграть возможное зна­чение x_i нормальной случайной величины Х с парамет­рами а=0 и σ=1, надо сложить 12 независимых слу­чайных чисел и из полученной суммы вычесть 6:



Пример, а) Разыграть 100 возможных значений нормальной вели­чины Х с параметрами а=0 и σ=1; б) оценить параметры разыг­ранной величины.

Решение. а) Выберем 12 случайных чисел из первой строки таблицы *⁾, сложим их и из полученной суммы вычтем 6; в итоге имеем

x_i=(0,10+0,09+...+0,67) - 6= - 0,99.

Аналогично, выбирая из каждой следующей строки таблицы пер­вые 12 чисел, найдем остальные возможные значения X.

б) Выполнив расчеты, получим искомые оценки:



Оценки удовлетворительные: а* близко к нулю, σ* мало отличается от единицы.

Замечание. Если требуется разыграть возможное значение z_i, нормальной случайной величины Z с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ, то, разыграв по пра­вилу настоящего параграфа возможное значение x_i, находят искомое возможное значение по формуле

z_i=σx_i+a.

Эта формула получена из соотношения (z_i-a)/σ=x_i.
Задачи

1. Разыграть 6 значений дискретной случайной величины X, закон распределения которой задан в виде таблицы

X	2	3,2	10
p	0,18	0,24	0,58

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа: 0,73; 0,75; 0,54; 0,08; 0,28; 0,53. Отв. 10; 10; 10; 2; 3; 22; 10.

2. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,52.

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа: 0;28; 0,53; 0,91; 0,89.

Отв. А, , .

3. Заданы вероятности трех событий, образующих полную группу: Р(А₁)=0,20, Р(А₂)=0,32, Р(А₃)=0,48. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых появляется одно из заданных событий.

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа: 0,77; 0,19; 0,21; 0,51; 0,99; 0,33.

Отв. А₃, А₁, А₂, А₂, А₃, А₂.

4. События А и В независимы и совместны. Разыграть 5 испы­таний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,5, а события В—0,8.

Указание. Составить полную группу событий: А₁=АВ, для определенности принять случайные числа: 0,34; 0,41; 0,48; 0,21; 0,57.

Отв. А₁, А₂, А₂, А₁, А₃.

5. События А, В, С независимы и совместны. Разыграть 4 испы­тания в каждом из которых вероятности появления событий заданы: Р(А)=0,4, Р(В)=0,6, Р(С)=0,5.

Указание. Составить полную группу событий: для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,075; 0,907; 0,401; 0,344.

Отв.А₁, А₈, А₄, А₄.

6. События А и В зависимы и совместны. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых заданы вероятности: Р(А)=0,7, Р(В)=0,6, Р(АВ)=0,4.

Указание. Составить полную группу событий: А₁=АВ, для определенности принять случайные числа: 0,28; 0,53; 0,91; 0,89.

Отв. А₁, А₂ , А₄ , А₃.

7. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины X, которая распределена по показательному закону и задана функцией распределения F(х)=1 - е^-10x.

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа: 0,67; 0,79; 0,91.

Отв. 0,04; 0,02; 0,009.

8. Разыграть 4 возможных значения непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (6,14).

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа: 0,11: 0,04; 0,61; 0,93.

Отв. 6,88; 6,32; 10,88; 13,44.

9. Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной функцией рас­пределения

F(x)=1- (1/3)(2е-^2x+е^-3x:), 0<х<∞.

Отв. х= - (1/2)1п r₂, если r₁< 2/3; х= - (1/3)1п r₂, если r₁≥2/3.

10. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной слу­чайной величины X, заданной плотностью вероятности f(х)=b/(1 +ax)² в интервале 0≤x≤1/(b-a); вне этого интервала f(x)=0.

Отв. х_i= - r_i/(b - ar_i).

11. Разыграть 2 возможных значения нормальной случайной величины с параметрами: а) а=0, σ=1; б) а =2, σ=3.

Указание. Для определенности принять случайные числа (далее указано число сотых долей; например, числу 74 соответствует слу­чайное число r₁=0,74): 74. 10, 88, 82. 22, 88, 57, 07, 40, 15, 25, 70; 62, 88, 08, 78, 73, 95, 16, 05, 92, 21, 22, 30.

Отв. а) x₁= - 0,22, x₂= - 0.10; 6) z₁=1,34, z₂=2,70.