Численные методы

• Название: Численные методы
• Дата: 25.12.2019
• Размер: 1.8 Mb.
• Имя файла: chislenie_metodi.doc
• Тип: Лабораторная работа; #102180
• страница: 148 из 158

Линейная и квадратичная интерполяция. Отрезок [a,b] делится узлами x_i (i=0,1,...,n) на n частичных отрезков [x_i-1,x_i], при этом x₀=a, x_n=b.

При линейной интерполяции аппроксимируемая функция y=f(x) заменяется на каждом частичном отрезке [x_i-1,x_i] (i=1,2,...,n) многочленом первой степени т.е. прямой линией:

(2.1)

проходящей через две точки, с координатами x_i-1,y_i-1=y(x_i-1) и x_i,y_i=y(x_i).

Следовательно на каждом отрезке [ x_i-1,x_i ] имеется своя прямая линия, которая описывается уравнением, проходящим через две точки. В результате для всего отрезка получаем ломаную линию, которая в узлах x_i совпадает со значением функции. Коэффициенты k_i и b_i определяются из следующей системы уравнений:

, i=1,...n. (2.2)

Из (2.2) получаем значения неизвестных коэффициентов:

(2.3)

Более точной является квадратичная интерполяция. В качестве интерполяционной функции на отрезке [ x_i-1,x_i+1 ] принимается квадратный трехчлен:

(2.4)

Так как это уравнение параболы, то такую интерполяцию также называют параболической. Уравнение параболы содержит три неизвестных коэффициента a_i, b_i, c_i, которые определяются из системы уравнений:

. (2.5)

Интерполяция для любой точки x отрезка [x₀,x_n] проходит по трем ближайшим точкам.

Интерполяция сплайнами. Сплайн (от англ. слова “splane” - гибкий) это функция, которая на всем отрезке интерполяции непрерывна вместе со своими k первыми производными (km-1) и на каждом частичном отрезке представляет алгебраический многочлен (полином) степени m.
Пусть некоторая функция задана таблично:

I	xi	yi
0	x0	y0
1	x1	y1
.	.	.
.	.	.
.	.	.
N	xn	yn

Рисунок 24 -

где , , …,  - узлы интерполяции. Причем, расстояние между узлами интерполяции произвольное.

В интерполировании находят значение функции в заданной точке