Численные методы. Численное интегрирование систем дифференциальных уравнений. Метод Эйлера
 Скачать 283.67 Kb.
|
1 Численное интегрирование дифференциальных уравнений1.1 Характеристика численного интегрирования систем дифференциальных уравненийВычислительные (численные) методы — методы решения математических задач в численном виде.1 Представление как исходных данных в задаче, так и её решения — в виде числа или набора чисел. Многие ну численные ну методы ну являются ну частью ну библиотек ну математических ну программ. В ну системе ну подготовки ну инженеров ну технических ну специальностей ну являются ну важной ну составляющей. Основами ну для ну вычислительных ну методов ну являются: - решение ну систем ну линейных ну уравнений; - интерполирование ну и ну приближённое ну вычисление ну функций; - численное ну интегрирование; - численное ну решение ну системы ну нелинейных ну уравнений; - численное ну решение ну обыкновенных ну дифференциальных ну уравнений; - численное ну решение ну уравнений ну в ну частных ну производных ну (уравнений ну математической ну физики); - решение ну задач ну оптимизации. В ну современной ну науке ну для ну решения ну задач ну прикладной ну математики ну формулируется ну математическая ну модель ну в ну терминах ну интегральных ну и ну дифференциальных ну уравнений ну функций ну непрерывного ну аргумента. Переход ну от ну континуальной ну к ну дискретной ну математической ну модели ну осуществляется ну заменой ну функций ну непрерывного ну аргумента ну функциями ну дискретного ну аргумента. В ну получившихся ну конечно-разностных ну уравнениях ну интеграл ну и ну производная ну представлены ну конечной ну суммой ну и ну разностным ну отношением, ну соответственно. Получившаяся ну модель ну представляет ну собой ну систему ну алгебраических ну уравнений, ну для ну решения ну которой ну с ну определённой ну точностью ну составляется ну вычислительный ну алгоритм, ну который ну реализуется ну на ну вычислительных ну машинах. Основными ну требованиями ну к ну вычислительному ну алгоритму ну являются: высокая ну точность, ну устойчивость ну и ну экономичность. При переходе к дискретной модели появляется погрешность аппроксимации, а при реализации вычислений — погрешность округления, поэтому для реальных вычислительных алгоритмов проводится анализ погрешностей и устойчивости вычислительного алгоритма. Необходимо ну помнить, ну что ну вычислительная ну машина ну выполняет ну только ну четыре ну основных ну арифметических ну операции. Точность ну решения ну при ну этом ну должна ну быть ну несколько ну выше ну ожидаемой ну точности ну физического ну эксперимента. При ну определении ну критериев ну и ну условий ну роста ну погрешности ну долгое ну время ну не ну принималась ну во ну внимание ну погрешность ну округления. Необходимость ну гарантированных ну оценок ну точности ну реальных ну вычислений ну привела ну к ну возникновению ну интервального ну анализа. Оптимальным ну алгоритмом ну считается ну алгоритм ну с ну минимальной ну погрешностью ну или ну с ну минимальным ну числом ну операций ну при ну заданной ну погрешности. При ну этом ну разрабатывается ну теория ну параллельных ну вычислительных ну алгоритмов. Для ну многих ну важных ну классов ну задач ну разработаны ну разнообразные ну численные ну методы ну решения. По ну способу ну дискретизации ну численные ну методы ну делятся ну на ну проекционные ну и ну конечно-разностные, ну по ну способу ну решения ну — ну на ну прямые ну и ну итерационные. В ну методах ну конечных ну разностей ну ставится ну задача ну определить ну значения ну функции ну на ну дискретном ну множестве ну точек, ну в ну то ну время ну как ну в ну проекционных ну методах ну функция ну представлена ну линейной ну комбинацией ну элементов. При ну этом ну дискретная ну функция ну также ну может ну рассматриваться ну как ну линейная ну комбинация ну полиномов. Прямые ну методы ну решения ну обладают ну слабой ну устойчивостью, ну в ну то ну время ну как ну итерационные ну методы ну более ну устойчивы ну и ну обеспечивают ну быструю ну сходимость.2 При ну решении ну больших ну систем ну необходимо ну вычислять ну собственные ну значения ну и ну вектора ну матриц, ну сводить ну нелинейные ну системы ну уравнений ну к ну линейным. Для ну некоторых ну задач ну (нейронная ну физика, ну физика ну плазмы, ну экономика) ну модель ну строится ну непосредственно ну на ну статистической ну выборке ну или ну на ну крупных ну объектах. Кроме ну того, ну строятся ну нерегулярные ну системы, ну для ну которых ну численные ну методы ну сочетаются ну с ну теорией ну графов. Отдельный ну класс ну представляют ну некорректно ну поставленные ну задачи ну Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений с припасовыванием полученного решения от конца предыдущего к началу следующего межкоммутационного интервала продолжается до тех пор, пока не будет рассчитан процесс на всем интересующем временном интервале при исследовании нестационарных процессов либо не установится периодический процесс, являющийся целью расчета стационарного режима. Для ну численного ну интегрирования ну системы ну дифференциальных ну уравнений ну можно ну применять ну явные ну методы, ну например ну метод ну Рун-ге ну - Кутты, ну когда ну требуется ну вычислять ну значения ну производных, ну тго ну не ну всегда ну оказывается ну возможным. Поэтому ну чаще ну интегрирование ну выполняют ну с ну использованием ну неявной ну схемы. Наибольшее ну распространение ну получили ну методы ну Гира, ну прогноза ну и ну коррекции, ну метод ну Адамса ну - Бушфорта ну - Мултона ну - для ну нежестких ну систем ну и ну метод ну обратной ну разностной ну схемы ну - для ну жестких ну систем. Разработка ну эффективных ну методов ну численного ну интегрирования ну системы ну дифференциальных ну уравнений, ну описывающих ну сложные ну химические ну реакции, ну протекающие ну с ну конечными ну скоростями, ну может ну позволить ну решить ну эти ну вопросы. Нахождение ну решения ну системы ну дифференциальных ну уравнений ну кинетики ну сложных ну химических ну реакций ну дает ну возможность ну получить ну следующую ну информацию. Применение ЭВМ для численного интегрирования системы дифференциальных уравнений позволяет охватить практически неограниченные диапазоны и количество сочетаний условий однозначности и тем самым получить требуемую общность, не меньшую, чем при наличии общего решения. Проблемы расчета установившихся процессов, Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений с помощью их замены конечно-разностными для моментов времени, отдаленных друг от друга на малые интервалы, можно свести к решению системы алгебраических уравнений. В ну зависимости ну от ну особенностей ну электрической ну цепи ну этот ну интервал ну может ну оказаться ну настолько ну малым, ну что ну число ну шагов ну интегрирования ну может ну быть ну неприемлемо ну большим. Расчет ну абсорбции ну с ну выделением ну тепла, ну требующий ну численного ну интегрирования ну систем ну дифференциальных ну уравнений, ну весьма ну кропотлив ну и ну занимает ну много ну времени. Вкравшиеся ну в ну расчет ну ошибки ну могут ну остаться ну незамеченными ну или ну будут ну обнаружены ну лишь ну в ну конце ну расчета. При моделировании динамических процессов на ЭВМ с использованием методов численного интегрирования систем дифференциальных уравнений вида необходимо на каждом шаге интегрирования устанавливать силовые взаимодействия элементов системы, исходя из известных перемещений и скоростей. РНЖ и Рвык не могут быть отрицательными. В ну настоящей ну работе, ну в ну отличие ну от, ну проводится ну численное ну интегрирование ну вышеупомянутой ну системы ну дифференциальных ну уравнений ну с ну различными ну фазовыми ну проницаемостями, ну коэффициентами ну гидропровод-ности ну и ну насыщенностями ну при ну заданном ну дебите ну скважин. Показана ну возможность ну определения ну по ну кривым ну восстановления ну давления ну фазовой ну проницаемости ну не ну только ну для ну нефти, ну но ну и ну для ну газа, ну рассчитана ну точность ну определения ну коэффициентов ну гидропроводности, ну изучен ну характер ну изменения ну насыщенности ну и ну притока ну и ну решен ну целый ну ряд ну других ну вопросов. Например, ну в ну работе ну Ф. А. Бухма-на ну и ну других ну излагается ну метод ну численного ну интегрирования ну систем ну дифференциальных ну уравнений ну химической ну кинетики ну для ну случая, ну когда ну некоторые ну из ну констант ну скоростей ну на ну много ну порядков ну превышают ну остальные ну при ну прочих ну равных ну условиях. Иной подход к анализу напряженно-деформированного состояния термопластичной заготовки при формовании осесимметричных изделий дают методы численного интегрирования систем дифференциальных уравнений безмоментной теории оболочек, позволяющие воспользоваться механическими моделями полимерных материалов, отражающими наиболее важные особенности их деформативных свойств при вытяжке в процессе формования. Таким образом, при рассмотренных выше методе аппроксимирования приведенного момента и линеаризации уравнения движения машинного агрегата задача численного интегрирования системы дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов с переменным верхним пределом. 3 Динамический ну анализ ну сейсмостойкости ну вышеуказанной ну модели, ну представленной ну в ну виде ну нелинейной ну системы ну с ну конечным ну числом ну степеней ну свободы, ну выполняется ну методами ну численного ну интегрирования ну системы ну дифференциальных ну уравнений ну движения. 1.2Численноедифференцированиеиинтегрирование Уравнение ну вида ну y=A(x), ну определённое ну на ну функциональном ну пространстве, ну может ну содержать ну операторы ну дифференцирования ну и ну интегрирования, ну для ну которых ну невозможно ну найти ну точное ну решение. Методы ну численного ну дифференцирования ну и ну интегрирования ну основаны ну на ну интерполяции. Производную ну основной ну функции ну считают ну приближённо ну равной ну производной ну интерполирующей ну функции, ну при ну этом ну производная ну остаточного ну члена ну интерполяционной ну формулы ну может ну быть ну велика, ну особенно ну для ну производных ну высших ну порядков. Формулы ну численного ну дифференцирования ну во ну многом ну основаны ну на ну непосредственном ну дифференцировании ну интерполяционных ну формул ну Ньютона, ну Гаусса, ну Стирлинга ну и ну Бесселя, ну построенных ну на ну распределённых ну разностях, ну но ну есть ну и ну безразностные ну формулы. В ну частности, ну когда ну для ну численного ну дифференциала ну используется ну непосредственно ну формула ну Лагранжа ну для ну равных ну промежутков, ну метод ну неопределённых ну коэффициентов ну и ну другие.  Рисунок ну 1.1. Численное ну интегрирование ну по ну формуле ну Симпсона В ну случае ну интегрирования, ну само ну определение ну интеграла ну говорит ну о ну возможности ну его ну замены ну интегральной ну суммой, ну но ну этот ну приём ну обладает ну медленной ну сходимостью ну и ну мало ну пригоден. Интеграл ну от ну основной ну функции ну считают ну приближённо ну равным ну интегралу ну от ну интерполирующей ну функции ну и ну в ну дальнейшем ну используют ну интерполяционные ну формулы ну с ну кратными ну узлами. Использование в качестве подынтегрального выражения интерполяционного многочлена Лагранжа для равных промежутков приводит к формулам Ньютона — Котеса и её частным случаям, формуле трапеций, когда кривая подынтегрального выражения заменяется хордой и интеграл равен ну площади ну трапеции, ну и ну формуле ну Симпсона, ну когда ну кривая ну подынтегрального ну выражения ну заменяется ну параболой, ну проходящей ну через ну три ну точки. Отказавшись ну от ну требования ну равных ну промежутков ну с ну помощью ну интерполяционного ну многочлена ну Лагранжа ну можно ну получить ну более ну точные ну формулы ну численного ну интегрирования, ну в ну частности ну формулы ну Гаусса, ну формулы ну Эрмита, ну формулы ну Маркова, ну формулы ну Чебышёва. Квадратурные ну процессы, ну построенные ну на ну интерполяционных ну формулах ну Гаусса, ну всегда ну сходятся, ну в ну то ну время ну как ну формулы ну Ньютона ну — ну Кортеса ну этим ну свойствам ну в ну общем ну случае ну не ну обладают. Существуют и другие способы численного интегрирования, основным из которых является использование формул Эйлера, в которых замена переменных и последующее интегрирование по частям приводят к формуле численного интегрирования трапецией и поправочного члена, к которому повторно применяется замена переменных и интегрирование по частям. В ну общем ну случае ну формула ну Эйлера ну использует ну в ну качестве ну коэффициентов ну числа ну и ну многочлены ну Бернулли. Вопрос ну применения ну того ну или ну иного ну метода ну численного ну интегрирования ну зависит ну от ну таких ну факторов, ну как ну вычислительные ну средства, ну требуемая ну точность, ну способ ну задания ну подынтегральной ну функции. Для ну ручных ну вычислений ну рекомендуется ну использовать ну формулы, ну содержащие ну разности, ну в ну то ну время ну как ну при ну автоматических ну вычислениях ну — ну безразностные ну формулы, ну в ну особенности ну формулы ну Гаусса.  Рисунок ну 1.2. Численное ну интегрирование ну методами ну Монте-Карло Для приближённого вычисления кратных интегралов повторно применяют формулы численного интегрирования однократных интегралов, при этом в зависимости от особенностей функции для разных интегралов можно использовать разные формулы. При ну использовании ну данного ну метода ну необходимо ну вычислять ну подынтегральную ну функцию ну в ну большом ну числе ну точек, ну поэтому ну целесообразно ну использовать ну формулы ну Гаусса ну и ну Чебышёва, ну которые ну являются ну более ну точными. Другим ну способом ну является ну замена ну подынтегральной ну функции ну интерполяционным ну многочленом ну от ну двух ну или ну несколько ну переменных. Люстерник ну и ну Диткин ну предложили ну использовать ну формулы ну Маклорена ну для ну приближённого ну вычисления ну кратного ну интеграла. Вместе ну с ну тем, ну при ну увеличении ну кратности ну интеграла ну резко ну растёт ну число ну точек, ну для ну которых ну необходимо ну знать ну значения ну подынтегральной ну функции, ну чтобы ну пользоваться ну методами, ну основанными ну на ну интерполяции. Для ну вычисления ну кратных ну интегралов ну чаще ну пользуются ну вероятностными ну методами ну Монте-Карло, ну при ну этом ну необходимость ну получения ну равновозможных ну последовательностей ну создаёт ну дополнительные ну погрешности, ну которые ну трудно ну оценить. |