Численные методы. Численное интегрирование систем дифференциальных уравнений. Метод Эйлера
 Скачать 283.67 Kb.
|
2 Численное интегрирование систем дифференциальных уравнений методом Эйлера2.1ВведениевМетодЭйлера Дифференциальные ну уравнения ну возникают ну во ну многих ну областях ну прикладной ну математики, ну физики, ну механики, ну техники ну и ну т.д. С ну их ну помощью ну описываются ну практически ну любые ну задачи ну динамики ну машин ну и ну механизмов. Существует ну множество ну методов ну решения ну дифференциальных ну уравнений ну через ну элементарные ну или ну специальные ну функции. Однако, ну чаще ну всего ну эти ну методы ну либо ну вообще ну не ну применимы, ну либо ну приводят ну к ну столь ну сложным ну решениям, ну что ну легче ну и ну целесообразнее ну использовать ну приближенные ну численные ну методы. В огромном количестве задач дифференциальные уравнения содержат существенные нелинейности, а входящие в них функции и коэффициенты заданы в виде таблиц и/или экспериментальных данных, что фактически полностью исключает возможность использования классических методов для их решения и анализа. В ну настоящее ну время ну существует ну множество ну различных ну численных ну методов ну решения ну обыкновенных ну дифференциальных ну уравнений ну (например, ну Эйлера, ну Рунге-Кутта, ну Милна, ну Адамса, ну Гира ну и ну др.). Мы ну ограничимся ну здесь ну рассмотрением ну наиболее ну широко ну используемых ну на ну практике ну методов ну Эйлера ну и ну Рунге-Кутта. Что ну касается ну других ну упомянутых ну методов, ну то ну они ну подробно ну изложены ну в ну литературе, ну см., ну например: ну – ну метод ну Милна,– ну метод ну Адамса,– ну метод ну Гира. Мы ну также ну не ну останавливаемся ну здесь ну на ну вопросах ну устойчивости ну вычислительных ну процессов, ну они ну подробно ну освещены ну в ну соответствующей ну литературе.4 В ну зависимости ну от ну количества ну не ну зависимых ну переменных, ну дифференциальные ну уравнения ну делятся ну на ну две ну категории. Обыкновенные ну дифференциальные ну уравнения ну (ОДУ) Дифференциальные ну уравнения ну в ну частных ну производных. Обыкновенными ну дифференциальными ну уравнениями ну называются ну такие ну уравнения, ну которые ну содержат ну одну ну или ну несколько ну производных ну от ну искомой ну функции ну  . Их ну можно ну записать ну виде (1) независимая ну переменнаяНаивысший ну порядок ну  , ну входящий ну в ну уравнение ну (1) ну называется ну порядком ну дифференциального ну уравнения.Простейшим ну (линейным) ну ОДУ ну является ну уравнение ну (1) ну порядка ну разрешенное ну относительно ну производной  (2)Решением ну дифференциального ну уравнения ну (1) ну называется ну всякая ну функция,  которая ну после ну ее ну подстановки ну в ну уравнение ну обращает ну его ну в ну тождество.Основная ну задача, связанная ну с ну линейной ну ОДУ ну известно ну как ну задача ну Каши: Найти ну решение ну уравнения ну (2) ну в ну виде ну функции ну ну удовлетворяющий ну начальному ну условию  ну (3)Геометрически ну это ну означает, ну что ну требуется ну найти ну интегральную ну кривую, ну проходящую ну через ну точку ну  ) ну при ну выполнение ну равенства ну (2).Численный с ну точки ну зрения ну задачи ну Каши ну означает: требуется ну построить ну таблицу ну значений ну функции ну ну удовлетворяющий ну уравнение ну (2) ну и ну начальное ну условие ну (3) ну на ну отрезке ну  с ну некоторым ну шагом ну  . Обычно ну считается, ну что ну  то ну есть ну начальное ну условие ну задано ну в ну левом ну конце ну отрезка.Простейшим ну из ну численных ну методов ну решения ну дифференциального ну уравнения ну является ну метод ну Эйлера. В ну его ну основе ну лежит ну идея ну графического ну построения ну решения ну дифференциального ну уравнения, ну однако ну этот ну метод ну дает ну одновременно ну и ну способ ну нахождения ну искомой ну функции ну в ну численной ну форме ну или ну таблицы. Пусть ну дано ну уравнение ну (2)  ну с ну начальным ну условием ну  ну тоесть ну поставлена ну задача ну Каши. Решим ну вначале ну следующую ну задачу. Найти ну простейшим ну способом ну приближенное ну значение решения ну в ну некоторой ну точке ну  где ну -достаточно ну малый ну шаг. Уравнение ну (2) ну совместно ну с ну начальным ну условием ну (3) ну задают ну направление ну касательной ну искомой ну интегральной ну кривой ну в ну точке ну  с ну координатами ну  Уравнение ну касательной ну имеет ну вид  Двигаясь вдоль этой ну касательной, ну получим ну приближенное ну значение ну решения ну в ну точке ну  : или  (4)Располагая приближенным решением в точке  можно повторить описанную ранее процедуру: построить прямую проходящую через эту точку с угловым коэффициентом  , и по ней найти приближенное значение решения в точке . Заметим, ну что ну эта ну прямая ну не ну является ну касательной ну к ну реальной ну интегральной ну кривой, ну поскольку ну точка ну  ну нам ну не ну доступна, ну однако ну если ну достаточно ну мало ну то ну получаемые ну приближенные ну будут ну близки ну к ну точным ну значениям ну решения.Продолжая ну эту ну идею, ну построим ну систему ну равно ну отстоящих ну точек  .Получение ну таблицы ну значений ну искомой ну функции по ну методу ну Эйлера ну заключается ну в ну циклическом ну применение ну формулы  (5)Графическая ну интерпретация ну метода ну Эйлера ну представлена ну в ну Приложении. Методы ну численного ну интегрирования ну дифференциальных ну уравнений, ну в ну которых ну решения ну получаются ну от ну одного ну узла ну к ну другому, ну называются ну пошаговыми. Метод ну Эйлера ну самый ну простой ну представитель ну пошаговых ну методов. Особенностью ну любого ну пошагового ну метода ну является ну то, ну что ну начиная ну со ну второго ну шага ну исходное ну значение ну  ну в ну формуле ну (5) ну само ну является ну приближенным, ну то ну есть ну погрешность ну на ну каждом ну следующем ну шаге ну систематически ну возрастает. Наиболее ну используемым ну методом ну оценки ну точности ну пошаговых ну методов ну приближенного ну численного ну решения ну ОДУ ну является ну способ ну двойного ну прохождения ну заданного ну отрезка ну с ну шагом ну ну и ну с ну шагом ну  Метод ну Эйлера ну — ну простейший ну численный ну метод ну решения ну систем ну обыкновенных ну дифференциальных ну уравнений. Впервые ну описан ну Леонардом ну Эйлером ну в ну 1768 ну году ну в ну работе ну «Интегральное ну исчисление». Метод ну Эйлера ну является ну явным, ну одношаговым ну методом ну первого ну порядка ну точности, ну основанном ну на ну аппроксимации ну интегральной ну кривой ну кусочно-линейной ну функцией, ну так ну называемой ну ломаной ну Эйлера. Метод ну Эйлера ну являлся ну исторически ну первым ну методом ну численного ну решения ну задачи ну Коши. О. Коши ну использовал ну этот ну метод ну для ну доказательства ну существования ну решения ну задачи ну Коши. Ввиду ну невысокой ну точности ну и ну вычислительной ну неустойчивости ну для ну практического ну нахождения ну решений ну задачи ну Коши ну метод ну Эйлера ну применяется ну редко. Однако ну в ну виду ну своей ну простоты ну метод ну Эйлера ну находит ну своё ну применение ну в ну теоретических ну исследованиях ну дифференциальных ну уравнений, ну задач ну вариационного ну исчисления ну и ну ряда ну других ну математических ну проблем. |