Численные методы. Численное интегрирование систем дифференциальных уравнений. Метод Эйлера
 Скачать 283.67 Kb.
|
2.2 Решение дифференциальных уравнений методом ЭйлераНа отрезке [x0;b] требуется найти приближенное решение  для уравнения,  удовлетворяющее начальному условию  при  или  Значение  где i=(0,1,2,…,n). Отыскиваются в некоторых точках  ,принадлежащих отрезку [x0;b] которые называются узлами интегрирования. Для этого отрезок [x0;b] разбивается на n частей, т.е.  называется шагом интегрирования.  это приращение аргумента. .Приращение искомого приближенного решения  и приращение аргумента  на каждом шаге интегрирования в численных методах называются конечностными разностями, а их отношения разностными отношением .По определению производной функции в точке имеем  .Используя бесконечно малые величины можно выразить  ,где  - бесконечно малая величина.Метод Эйлера интегрирование дифференциального уравнения основан на приближенной замене производной  искомого решения в узлах интегрирования или их разностными отношениями  .Тогда отбрасывая в равенстве, содержащем бесконечно малую функцию получим, .Тогда для узловых точек согласно уравнению получим    Учитывая, геометрический смысл дифференциального уравнения с точностью до бесконечно малой функции получим ,выразим  ,обозначив  через  - направление, указывающее направление поля в точке  получим .Последнее равенство дает возможность найти приближенное значение решения дифференциального уравнения в узле с номером  по известному значению этого решения в предыдущем узле. Таким образом подставляя вместо  последовательно число от 0 до  определяются приближенные значения частного решения уравнения во всех узлах отрезка интегрирования [x0;b]. При применении метода Эйлера абсолютная ошибка  на каждом шаге интегрирования равная модулю разности точного и приближенного значения решений уравнения пропорционально квадрату шага  .Метод Эйлера имеет геометрический смысл в том, что интегральная кривая, проходящая, через точку  приближенно заменяется кривой  названной кривой Эйлера, каждое звено которой  совпадает с направлением поля в точке  5 Пример. На отрезке [0;0,5] с шагом h=0,1 применяя метод Эйлера проинтегрировать уравнение  с начальными условиями  при  .Расчет приближенных значений решения заданного дифференциального уравнения в точках  узлах интегрирования выполняется в таблице применяя, метод Эйлера по формуле: .Первый столбец таблицы содержит номера узлов интегрирования. Второй столбец содержит значения абсцисс узлов интегрирования по формуле: Третий столбец это значение приближенного решения  дифференциального уравнения. Четвертый столбец это величины угловых коэффициентов поля направлений в точках  . Пятый столбец это приращение приближенного решения на каждом шаге интегрирования. Сначала в нулевую строку третьего столбца заносится заданное начальное условие , затем расчет производится, построчно при этом согласно формуле содержимое последнего столбца строки с номером прибавляется, к содержимому третьего столбца этой же строки и записывается в следующую стоку того же третьего столбца.    В результате получается, что на правом конце отрезка интегрирования х=х5=0,5 значение функции у=у5=1,7210.
ЗаключениеЧисленные методы приобрели важнейшее значение как мощное математическое средство решения практических задач в различных областях науки и техники. В данной курсовой работе были выявлены следующие задачи: был сделан анализ приближенного решения уравнений (Метод хорд, метод касательных (метод Ньютона), комбинированный метод хорд и касательных); также численного интегрирования по методу Симпсона(численные методы интегрирования, вывод формулы Симпсона, геометрическая иллюстрация); рассмотрены численное интегрирование дифференциальных уравнений. По результатам выполненной работы можно сделать вывод, что численные методы позволяют вместо нахождения функции У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. В ходе работы удалось построить интерполяционный многочлен и вычислить по нему значение функции для заданного значения аргумента, а также показать приближенное решение уравнений. Повышение точности в методах, предназначенных для решения жестких СДУ, позволяет снизить процент погрешности, но его значения находятся на уровне 1,8..0,5%. Такие данные получены лишь для уравнения 2-го порядка. Для ЭМС, модели которых содержат 5-7 уравнений, погрешность будет значительно больше. Выполненный анализ указывает, на необходимость обоснованного выбора численного метода интегрирования СДУ в зависимости от их структуры для получения адекватных качественных решений и достаточно низких погрешностей расчета. Таким образом, очевидно, что при вычислении дифференциального уравнения методом Эйлера решение не дает нам точного значения, а только приближенное. Чем меньше задается интервал исчисления и шаг операций, тем точнее результат, получаемый машиной. Для большей точности необходимо большее число итераций, что обуславливает возрастание затрат времени вычисления интеграла на компьютере обратно пропорционально точности вычисления. Список использованных источниковАрхангельский Н.А. Вычислительные методы алгебры в приемах и задачах. –М .: МАИ, 1976. – 264с. Бахвалов Н.С., Жтдков Н.П., Кобельников Г.М. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 367с. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задачь. – М.: Наука,1988. – 256с. Васильков Ф.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. Пособие. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 275с. Волков Е.А., Численные методы. – М.: Наука, 1984. – 193с. Герман-Галкин С. Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем в МАТЛАВ 6.0: Учебное пособие / С. Г. Герман- Галкин. – СПб.: КОРОНА принт, 2001. – 320 с. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. Пособие для вузов. – 5-е изд. Испр. – М.: Высш. Шк., 1996. – 416с. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. –М.: Наука, 1970. – 295. Карлащук В. И. Электронная лаборатория на IBM PC / В. И. Карлащук. – М.: Салон-Р, 1999. – 590 с. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение (пер. с англ.). М.: Мир, 2001, 575 c. М.: Мир, 1999. – 685 с. Разевиг В. Д. Система сквозного проектирования электронных устройств DesighnLab 8.0 / В. Д. Разевиг. – М.: Солон, 1999. – 698 с. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. — 432 с. Скворцов Л. М. Адаптивные методы численного интегрирования в задачах моделирования динамических систем / Скворцов Л. М. // Изв. РАН. Теория и системы управления, 1999. – № 4. – С. 72-78. Скворцов Л. М. Явные адаптивные методы численного решения жестких систем / Л. М. Скворцов // Математическое моделирование. – Т. 12, 2000. – № 2. – С. 97-107. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. есткие и дифференциально-алгебраические задачи / Э. Хайрер, Г. Ваннер. – Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер. – М.: Мир, 1990. – 512 с. ПриложениеГрафическая интерпретация метода Эйлера  1 Архангельский Н.А. Вычислительные методы алгебры в приемах и задачах. –М .: МАИ, 1976. – С. 54 2 Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задачь. – М.: Наука,1988. – С. 67 3 Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение (пер. с англ.). М.: Мир, 2001, С. 177 4 Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение (пер. с англ.). М.: Мир, 2001, С. 291 5 Васильков Ф.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. Пособие. – М.: Финансы и статистика, 1999. – С. 87 |
