Главная страница
Навигация по странице:

  • 14.1. Приближение сигналов рядами тейлора [39]

  • ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ. Аппроксимация сигналов. Цифровая обработка сигналов


    Скачать 360.5 Kb.
    НазваниеЦифровая обработка сигналов
    АнкорЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
    Дата25.02.2020
    Размер360.5 Kb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаАппроксимация сигналов.doc
    ТипРеферат
    #109813
    страница1 из 17
      1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17



    ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ

    Тема 14. АППРОКСИМАЦИЯ СИГНАЛОВ И ФУНКЦИЙ

    На фабрике будущего будут заняты только двое служащих: человек и собака. Человек будет нужен для того, чтобы кормить собаку. Собака будет нужна для того, чтобы не позволять человеку прикасаться к оборудованию.

    Уоррен Беннис, американский экономист.

    Блестящий пример линейной экстраполяции по двум узловым точкам – прошлому и настоящему. Потребуется конкретизация – повышайте степень аппроксимации введением новых точек: что производит фабрика, есть ли на ней профсоюз, чем кормят собаку. Появление председателя профсоюза гарантировано.

    Станислав Игумнов, Уральский геофизик.

    Содержание

    Введение.

    1. Приближение сигналов рядами Тейлора.

    2. Интерполяция и экстраполяция сигналов. Полиномиальная интерполяция. Кривые Безье.

    3. Сплайновая интерполяция.

    4. Спектральный метод интерполяции. Спектр дискретного сигнала. Интерполяционный ряд Котельникова-Шеннона.

    5. Децимация и интерполяция цифровых сигналов. Децимация с целым шагом. Интерполяция с целым шагом. Преобразование частоты дискретизации с нецелым шагом.

    6. Методика аппроксимации эмпирических данных. Мера приближения. Аппроксимирующая функция. Порядок модели. Оценка качества приближения.

    ВВЕДЕНИЕ

    Математика часто оперирует с математическими функциями решения дифференциальных уравнений и интегралов, которые не имеют аналитических выражений и представляются табличными числовыми значениями yi для дискретных значений независимых переменных xi вместо аналитических выражений в виде y=s(x). Это означает, что любому значению x из области определения поставлено в соответствии определенное числовое значение y. Аналогичными таблицами {yi, xi} могут представляться и экспериментальные данные, для которых неизвестна явная связь между y и x или эта связь только подлежит выяснению. Точки, в которых определены числовые значения функций или данных, называются узловыми.

    Однако на практике могут понадобиться значения данных величин совсем в других точках, отличных от узловых, или с другим шагом дискретизации аргументов. Возникающая задача вычисления значений функции в промежутках между узами называется задачей интерполяции, за пределами семейства узловых точек вперед или назад по переменным – задачей экстраполяции или прогнозирования.

    Даже при известных зависимостях y=s(x) формулы этих зависимостей, детально и точно описывающие определенные физические объекты и процессы, могут быть очень сложными и мало пригодными для практического использования как при математическом анализе физических данных, так и в прикладных задачах, особенно при расчетах ожидаемых результатов измерений и при математическом моделировании физических процессов. Кроме того, практическая регистрация физических данных выполняется, как правило, с определенной погрешностью или с определенным уровнем шумов, которые по своим значениям могут быть выше теоретической погрешности прогнозирования сигналов при расчетах по сложным, хотя и очень точным формулам. Не имеет смысла и проектирование систем обработки и анализа сигналов по высокоточным формулам, если повышение точности расчетов не дает эффекта в повышении точности обработки данных. Во всех этих условиях возникает задача аппроксимации. Аппроксимация, это представление сложных функций s(x) или дискретных выборок из этих функций s(xi) простыми и удобными для практического использования функциями аппроксимации f(x) таким образом, чтобы отклонение f(x) от s(x) в области ее задания было наименьшим по определенному критерию приближения.

    Если приближение строиться на заданном множестве точек {xi}, то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и др. При построении приближения на непрерывном множестве точек, например на отрезке [a,b], аппроксимация называется непрерывной или интегральной.

    Сглаживание статистических данных или аппроксимация данных с учетом их статистических параметров относится к задачам регрессии. Как правило, при регрессионном анализе усреднение данных производится методом наименьших квадратов (МНК).

    Классические математические методы аппроксимации, интерполяции, экстраполяции и регрессии функций имеют многовековую историю. В рамках настоящего курса мы не будем углубляться в строгую математическую теорию этих операций. Все современные математические системы (Mathcad, Matlab, Maple и пр.) имеют в своем составе универсальный аппарат выполнения таких операций, дающий пользователю возможность реализации любых практических задач по обработке данных. В качестве основной математической системы для примеров будем использовать систему Mathcad.

    14.1. Приближение сигналов рядами тейлора [39]

    Разложение функций в ряд Тейлора явилось одним из первых методов приближения функций в окрестностях точек х0:

    f(x)  f(x0) + (x-x0) + (x-x0)2 + … + (x-x0)n.

    f(x)  f(x0) +(x-x0)i.

    При разложении функции в окрестностях точки х0=0 ряд Тейлора принято называть рядом Маклорена.

    Первый член ряда f(x0) представляет собой отсчет функции в точке х0 и грубое приближение к значениям функции в окрестностях этой точки. Остальные члены ряда детализируют значения функции в окрестностях точки х0 по информации в соседних точках и тем точнее приближают сумму ряда к значениям функции, чем больше членов суммы участвуют в приближении, с расширением интервала окрестностей точного приближения. Наглядно это можно видеть на примере двух функций, приведенном на рис. 14.1.1 (с усечением отображения членов рядов f2(x) и f4(x)).



    Рис. 14.1.1. Примеры разложения функций в ряд Маклорена.

    Приближение функций рядом Тейлора применяется, в основном, для непрерывных гладких функций в локальных интервалах задания. Для разрывных и периодически повторяющихся функций использовать его практически невозможно, равно как и для непрерывных не дифференцируемых функций. Операция дифференцирования тоже может быть далеко не простой, а получаемые ряды могут сходиться очень медленно.

      1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17


    написать администратору сайта