ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ. Аппроксимация сигналов. Цифровая обработка сигналов
 Скачать 360.5 Kb.
|
 k2.При нулевом значении математического ожидания случайных величин k значение второй суммы стремится к нулю, при этом для оптимальной аппроксимирующей функции: [sk-(xk)]2 min, (14.6.3)[yk-(xk)]2 k2. (14.6.4)В пределе, при идеальной аппроксимации, выражение (14.6.3) стремится к нулю, а выражение (14.6.4) эквивалентно соотношению дисперсий: { [yk - (xk)]2}/(k-m) k2/k. (14.6.5)Отсюда следует, что при прочих равных условиях наилучшим является приближение, у которого мера приближения близка к дисперсии шума. Для "белых" шумов оценку их дисперсии в экспериментальных данных можно выполнять в спектральной области, если частота Найквиста данных минимум в 2 раза выше предельных частот регулярной составляющей. При отсутствии информации о дисперсии шумов оптимальный порядок модели может определяться методом последовательных уточнений с последовательным нарастанием порядка модели и сравнением по критерию Фишера значимости различия дисперсии остатков каждого нового порядка с предыдущим. При увеличении порядка модели (начиная с 1-го) значимость различия дисперсий сначала является довольно высокой, постепенно уменьшается, и в области оптимальных порядков становится малозначимой. Это объясняется тем, что в этой области при небольших уменьшениях значения числителя выражения (14.6.2) одновременно, за счет увеличения порядка, сокращается число степеней свободы. После прохождения оптимальной зоны значения дисперсий остатков снова начинают увеличиваться с увеличением значимости различий.  Рис. 14.6.1. Оптимальный порядок модели при нормальном распределении шума может устанавливаться и непосредственно по минимуму дисперсии остатков. Это можно наглядно видеть на примере, приведенном на рис. 14.6.1. Одномерная полиномиальная аппроксимация данных в векторе Y полиномом с произвольной степенью n и с произвольными координатами отсчетов в векторе Х в Mathcad выполняется функциями: regress(X,Y,n) – вычисляет вектор S для функции interp(…), в составе которого находятся коэффициенты ci полинома n-й степени; interp(S,X,Y,x) – возвращает значения функции аппроксимации по координатам х. Функция interp(…) реализует вычисления по формуле: f(x) = c0 + c1·x1 + c2·x2 + … + cn·xn ≡  ci·xi.Значения коэффициентов ci могут быть извлечены из вектора S функцией submatrix(S, 3, length(S), 0, 0). Оценка качества приближения. Для оценки качества математической модели эмпирической зависимости используется коэффициент детерминации (Adjusted R2): Adjusted R2 = D/Dy = 1 – Do/Dy, где: D - дисперсия функции приближения, Dy – дисперсия данных, Do – дисперсия остатков. Чем выше качество аппроксимации, тем ближе к 1 значение коэффициента детерминации. литература 16. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х томах. - М.: Мир, 1983. 39. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. – М.: СОЛОН-Р, 2002. – 448 с. 40. Корн Г., Корн Е. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1984. 41. Овечкина Е.В. (НТИ УГТУ-УПИ), Поршнев С.В. (УГТУ-УПИ). Разработка методов оптимальной аппроксимации эмпирических зависимостей. (Статья в электронном журнале). 43. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. / М., "Вильямс", 2004, 992 с. 55. Иванов Д.В. и др. Алгоритмические основы растровой графики. – Интернет университет информационных технологий. – http://www.intuit.ru/goto/course/rastrgraph Cайт автора Лекции Практикум О замеченных опечатках, ошибках и предложениях по дополнению: davpro@yandex.ru. Copyright ©2008-2010 Davydov А.V. |