ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ. Аппроксимация сигналов. Цифровая обработка сигналов
 Скачать 360.5 Kb.
|
|
14.4. спектральный метод интерполяции [16, 39]. При дискретизации данных с равномерным шагом по аргументу наиболее точную интерполяцию финитных сигналов обеспечивает спектральный метод. При условии, естественно, что в спектре сигнала не содержится частотных составляющих, превышающих частоту Найквиста. Спектр дискретного сигнала. Допустим, что для обработки задается произвольный аналоговый сигнал s(t), имеющий фурье-образ S(f). Равномерная дискретизация непрерывного сигнала s(t) с частотой F (шаг t = 1/F = ) с математических позиций означает умножение функции s(t) на гребневую (решетчатую) функцию Ш(t) =  (t-kt):s(t) = s(t) Ш(t) = s(t)  (t-kt) =s(kt)(t-kt). (14.4.1)С учетом известного преобразования Фурье гребневой функции Ш(t) FШF(f) фурье-образ дискретной функции s(t): SF(f) = S(f) ③ FШF(f). (14.4.2) ШF(f) =  (f-nF). (14.4.3)Отсюда, для спектра дискретного сигнала имеем: SF(f) = FS(f) ③  (f-nF) = FS(f-nF). (14.4.4)Спектр дискретного сигнала представляет собой непрерывную периодическую функцию с периодом F, совпадающую с функцией FS(f) непрерывного сигнала s(t) в пределах центрального периода от -fN до fN, где fN = 1/2t = F/2 - частота Найквиста. Частота дискретизации сигнала должна быть минимум в два раза выше максимальной частотной составляющей в спектре сигнала (F = 1/t 2fmax). Умножая функцию (14.4.2) на прямоугольную весовую функцию ПF(f), равную 1 в пределах главного частотного, получаем непрерывный спектр в бесконечных по частоте границах, равный спектру FS(f) в пределах главного частотного диапазона: FS(f) = F[S(f) ③ ШF(f)] ПF(f). (14.4.5) Обратное преобразование Фурье этого спектра, с учетом коэффициента F, должно восстанавливать непрерывный сигнал, равный исходному аналоговому сигналу s(t). На рис. 14.4.1 приведен пример интерполяции и экстраполяции равномерных по аргументу дискретных данных в сравнении с сплайн-методом и методом по Лагранжу. Исходная аналоговая кривая дискретизирована корректно (fmax < 1/2t) и восстановленная по дискретным данным кривая fS(z) полностью ее повторяет. Близкие результаты к исходному сигналу дает также и сплайн-интерполяция, но доверять сплайн-экстраполяции, особенно по концевой части интервала задания данного сигнала, не приходится. Что касается интерполяции по Лагранжу, то можно видеть существенную погрешность интерполяции на концевых частях интервала сигнала и полную непригодность для задачи экстраполяции.  Рис. 14.4.1. Спектральный метод интерполяции и экстраполяции. Вычисление спектра, учитывая информационную равноценность динамического и спектрального представления сигналов, может производиться в дискретном варианте с использованием быстрого преобразования Фурье. При нарушении корректности дискретизации данных погрешности интерполяции возрастают практически во всех методах интерполяции. Это можно видеть на рис. 14.4.2, который полностью повторяет рис. 14.4.1 с изменением значения только одного, пятого отсчета (уменьшение с 7.84 до 2), что вызывает подъем высоких частот в спектре данных.  Рис. 14.4.2. Следует учитывать, что при интерполяции данных, представляющих собой вырезки из сигнальных функций с определенной постоянной составляющей (сигнал не выходит на нулевые значения на концевых участках интервала задания), а равно и любых данных со скачками функций, при спектральном преобразовании на интерполированном сигнале в окрестностях обрезания данных и скачков возникает явление Гиббса. Это можно видеть сравнением рисунков 14.4.1 и 14.4.3. Данные на рис. 14.4.1 в рисунке 14.4.3 подняты на 20 единиц постоянной составляющей.  Рис. 14.4.3. Для исключения этого эффекта можно рекомендовать перед интерполяцией производить определение линейного тренда данных по концевым значениям отсчетов и вычитать его из данных, с последующим восстановлением после интерполяции. |