конспект изучения деления. Методика изучения деления (2) (1). Деление Смысл действия деления. Табличное деление. Приемы запоминания таблицы деления. Смысл действия деления
 Скачать 60.21 Kb.
|
|
Деление с остатком Тема «Деление с остатком» предваряет знакомство с письменным алгоритмом деления (в столбик). С математической точки зрения деление с остатком является более общим случаем, чем деление без остатка. Деление без остатка получается в случае равенства остатка нулю. Однако в связи с тем, что в начальной школе действие деления рассматривается как действие, обратное умножению, дети сначала знакомятся с делением без остатка, а затем с делением с остатком. Конкретный смысл действия деления в общем смысле раскрывается в процессе выполнения операций с предметными множествами: разбиении множества на равночисленные подмножества. При таких операциях не всегда возможно получение равночисленных подмножеств. Для того чтобы продемонстрировать это детям, учитель снова вынужден возвращаться к предметным действиям, манипулируя небольшим количеством предметов, чтобы продемонстрировать детям возможность получения неделимого остатка. Например: 17 карандашей разложили в три коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке? Выполняя предметные действия в соответствии с заданной ситуацией, дети убеждаются в том, что выполнить такое разбиение множества карандашей невозможно. Остаются 2 карандаша, которые нельзя распределить поровну в три коробки. На основании выполнения подобных заданий, учитель вводит новую запись, позволяющую определить роль оставшихся в процессе распределения предметов: 17:3 = 5 (остаток 2) и поясняет, что действие, записанное таким образом называют «деление с остатком». В данной записи: 17 — делимое, 3 — делитель, 5 — неполное частное от деления 17 на 3, 2 — остаток. Для проверки правильности выполненного деления следует: 1. Умножить неполное частное на делитель (5-3). 2. К полученному произведению прибавить остаток (15 + 2 = 17). В буквенном выражении данные операции соответствуют общему правилу деления с остатком: a: b = q (ост. р), тогда а = q • b + р В общем виде правило деления с остатком в начальной школе не рассматривается. Основное требование к делению с остатком: При делении остаток всегда должен быть меньше делителя. Это основное требование к делению с остатком. При выполнении деления с остатком всегда следует проверять выполнимость этого требования по завершении деления. Если остаток получился больше делителя, это означает, что деление выполнено неверно. Например, при делении любого числа на 7 остаток может быть 1, 2, 3,4, 5, 6. Но не может быть 8 или 9. Для закрепления понимания данной закономерности учитель предлагает детям задания вида: 1. Какой остаток может получиться при делении натурального числа на 2; на 3; на 6? Ответ: При делении на 2 остаток может быть только 1; при делении на 3 — остаток может быть 2 и 1; при делении на 6 остаток может быть 1, 2, 3, 4, 5. 2. Ученик выполнил деление 144 : 15 = 8 (ост. 24). В чем заключается его ошибка? Исправьте ошибку. Ответ: Остаток должен быть меньше делителя, а в данном случае 24 >15, значит, деление выполнено неверно. 3. Найдите делимое в примерах: а: 12 = 3 (ост. 1) b: 26 = 7 (ост. 4) Ответ: По общему правилу деления с остатком а=12-3+1 = 36+1 = 37=26.7 + 4= 182 + 4= 186. 4. Найдите делители в примерах: 56 : а= 11 (ост. 1) 93 : b=2 (ост. 3) Ответ: По общему правилу деления с остатком а- 11 + 1 = 56; а- 11 = 56 - 1; а- 11 = 55; а= 55 : 11; а= 5 b- 2 + 3 = 93; b- 2 = 93 - 3; b- 2 = 90; b= 90: 2; b= 45 Для нахождения результатов деления с остатком в начальной школе используют два основных приема: 1) При делении вида 27:5 основным приемом нахождения результата является опора на таблицу умножения. В качестве неполного частного подбирается такое значение множителя, чтобы при умножении на 5 (на делитель) получалось число, ближайшее к 27 (делимому). В данном случае — это число 5. Остаток в таком случае равен 2, что удовлетворяет основному требованию к делению с остатком. Например: Раздели 34: 9. Подбираем значение частного так, чтобы при умножении его на 9 получилось число, ближайшее к 34. Это 3. Проверим 9 • 3 = 27. Найдем остаток 34 - 27 = 7. Сравним его с делителем 7 < 9. Значит, 34 : 9 = 3 (ост. 7). Если ребенок лучше помнит таблицу деления, то можно ориентироваться на нее. В этом случае рассуждения будут несколько иными. Например: Раздели 34: 9. Вспомним самое большое число до 34, которое делится на 9. Это 27. 27 : 9 = 3. Проверим остаток: 34 - 27= 7. 7 < 9, значит, деление выполнено верно. 34 : 9 = 3 (ост. 7) 2) При делении с остатком вида 85 : 15 применяется прием подбора частного с проверкой, поскольку этот случай не может опираться на знание табличного умножения или деления. В этом случае примерную цифру частного следует проверять умножением до тех пор, пока не подберется цифра, умножение которой на делитель даст в результате число, близкое к делимому. Например: Раздели 85 : 15. При подборе цифр частного следует применять все рациональные приемы, оговоренные ранее. В данном случае можно использовать прием округления: число 15 округляем до 20 и сразу проверяем цифру 4: 20 • 4 = 80 < 85 — не подходит. Проверяем цифру 5 сразу на делителе: 15 • 5 = 75. Находим остаток: 85 - 75 = 10 < 15. Значит деление закончено и выполнено верно: 85: 15 = 5 (ост. 10). В новом учебнике математики для 3 класса рассмотрен особый случай вида 3 : 4. Рассмотрение таких случаев является необходимой подготовкой к обучению делению в столбик, поскольку могут попадаться случаи, когда неполное делимое не делится на делитель, и в этом случае в частном в данном разряде записывается 0. Например: Раздели 612: 6. При делении данного числа имеем 6 сот.: 6 = 1 сот. 1 дес. нельзя разделить на 6 так, чтобы в частном получились десятки, поэтому в разряде десятков запишем 0, добавим к 1 дес. еще 2 ед. и разделим 12 : 6 = 2. 2 единицы запишем в разряд единиц. Таким образом, 612:6 = 102. Выполнить этот случай письменного деления невозможно с полным осознанием смысла процесса, если ребенок не знаком со случаями получения нулей в неполном частном. Для знакомства с этими случаями рассматривают деление вида 3:4. Рассуждают следующим образом: 3 нельзя разделить на 4 так, чтобы получить целые единицы в частном, поэтому в частном запишем 0, а неразделенное число 3 запишем в остаток: 3:4 = 0 (ост. 3) В новом учебнике математики для 3 класса при знакомстве с делением с остатком вводится новый вид записи действия деления — «уголок»: Этот вид записи ребенок будет в дальнейшем использовать при письменном делении. Здесь эта запись используется в ознакомительном плане. 4. Приемы устных вычислений умножения и деления трехзначных и многозначных чисел Приемы устных вычислений с трехзначными и многозначными числами касаются действий умножения и деления с числами, оканчивающимися нулями. Прием вычислений для случаев вида 200•3; 800:4; 800:200 В этом случае целые сотни (или тысячи в примерах вида 4 000 • 3 рассматриваются как разрядные единицы, что позволяет свести эти случаи к табличному умножению и делению: 200•3 800:4 800:400 2 сот. •3 = 6 сот. 8 сот.: 4 = 2 сот. 8 сот.: 4 сот. = 2 200 • 3 = 600 800 : 4 = 200 800 : 400 = 2 Прием вычисления для случаев вида 70•6; 320: 8; 4 800: 800 В этом случае целые десятки (или сотни) также рассматриваются как разрядные единицы, что позволяет свести эти случаи либо к табличному умножению и делению, либо применять к ним приемы устного внетабличного умножения и деления в пределах 100. Например: 70•6 320:8 4 800:800 7 дес. • 6 = 42 дес. 32 дес.: 8 = 4 дес. 48 сот.: 8 сот. = 6 70 • 6 = 420 320 : 8 = 40 4 800 : 800 = 6 При хорошем владении разрядным и десятичным составом чисел дети без труда осваивают эти приемы самостоятельно. Приемы умножения и деления на разрядную единицу (умножения и деления на 10, 100, 1000) Умножение на разрядную единицу переводит число в следующие разряды. Технически такое умножение добавляет нули справа в запись числа, что увеличивает количество содержащихся в нем разрядов на количество добавленных нулей. Например: 65•10 = 650 43•100 = 4300 75 •1 000 = 75 000 Делить на 10, 100, 1 000 в области натуральных чисел можно только числа, содержащие соответствующее количество младших разрядов, не имеющих значащих цифр. Технически при этом как бы убирают соответствующее количество нулей справа, начиная с последнего. Например: 650:10 = 65 8600: 100 = 86 71 000:1 000 = 71 4500:10 = 450 123 000:100= 1 230 Во всех остальных случаях деления на разрядную единицу в области натуральных чисел будет получаться деление с остатком. Например: 642 :10 = 64 (ост. 2) 5 140 : 100 = 51 (ост. 40) Умножение в столбик Используемые математические законы и правила Вычисления произведения многозначного числа на однозначное или многозначного числа на многозначное требует применения письменных приемов вычислений (письменного алгоритма ). Этот алгоритм построен на основе законов сложения и умножения натуральных чисел. Правило умножения суммы на число: (a + b + c) •d = a•d + b•d + c•d При умножении суммы на число можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить. В качестве суммы рассматривается трехзначное (многозначное) число, представляемое в виде суммы разрядных слагаемых. Умножение таким образом представленного многозначного числа на однозначное выполняется в соответствии с правилом умножения суммы на число. Например: 125•3 = (100 + 20 + 5) •3 = 100 •3 + 20•3 + 5•3 = 300 + 60 +15 = 375 Переводя данный способ умножения в запись «столбиком», получаем письменный прием (алгоритм) умножения на однозначное число. Правило умножения числа на сумму: а • (b + с +р) = a • b + а•с + а•р При умножении числа на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить. Это правило является основой приема умножения многозначного числа на многозначное. Первый множитель — это число, умножаемое на сумму. В качестве суммы в этом случае рассматривается второй множитель, представляемый в виде разрядной суммы. Умножение многозначного числа на многозначное выполняется в соответствии с правилом умножения числа на сумму. Например: 123 • 212 = 123 • (200 + 10 + 2) = 123 • 200 + 123 • 10 + 123 • 2 = = 24 600 + 1 230 + 246 = 26 076 Переводя данный способ умножения в запись «столбиком», получаем письменный прием (алгоритм) умножения на многозначное число. Приемы вычислений Письменное умножение на однозначное число Записать умножение столбиком можно подробно. Но обычно используется краткая запись, поскольку главным достоинством письменных приемов умножения является краткость записи вычислений: Сложность состоит в том, что достоинства этого приема на первых порах составляют главную проблему его усвоения, поскольку все опущенные в короткой записи промежуточные вычисления необходимо выполнять в уме (устно), запоминая при этом промежуточные результаты (сколько и каких единиц нужно прибавить к следующему разряду). Учебник математики для 3 класса содержит подробное описание процесса умножения «в столбик», пошагово оговаривающее каждое умственное действие по выполнению умножения и сложения получаемых отдельных сумм: 1. Умножаю единицы: 7 • 8 = 56, 56 это 5 дес. и 6 ед. 2. 6 ед. пишу под единицами, а 5 дес. запоминаю и прибавляю их к десяткам после умножения десятков. 3. Умножаю десятки: 2 дес. •8=16 дес. К 16 дес. прибавляю 5 дес, которые были получены при умножении единиц: 16 дес. + 5 дес. = 21 дес. — это 2 сот. и 1 дес. Пишу 1 дес. под десятками, а 2 сот. запоминаю и прибавляю их к сотням после умножения сотен. 4. Умножаю сотни: 3 сот. • 8 = 24 сот. К 24 сот. прибавляю 2 сот., которые были получены при умножении десятков. 24 сот. + 2 сот. = 26 сот. — это 2 тыс. и 6 сот. Пишу 6 сот. под сотнями, 2 тыс. под тысячами. Читаю ответ: 2 616. Для прочного усвоения письменных приемов умножения ребенок должен: 1. Запомнить правильную запись: разряд записывается под соответствующим разрядом. 2. Запомнить правильный порядок выполнения действия: умножение начинаем с младших разрядов (справа налево). 3. Овладеть технологией запоминания и добавления излишних разрядных единиц, получаемых при умножении однозначных чисел, в следующий по старшинству разряд. Для облегчения (на первых уроках) письменного приема умножения можно: 1) производить подробную, а не сокращенную запись приема. В этом случае выполнять сложение можно по записям неполных произведений, а не в уме, запоминая излишние разрядные единицы (использование этого приема рекомендуется для детей, плохо считающих в уме); 2) производить запись промежуточных вычислений рядом с примером или на черновике — в этом случае все необходимые для запоминания и добавочного прибавления разрядные единицы будут зафиксированы, и ребенок не будет их «терять». Такая запись часто кажется человеку, владеющему алгоритмом письменного умножения, излишней, слишком подробной. Даже учителя редко пользуются указанными приемами помощи ребенку. Однако следует обратить внимание на то, что взрослый человек (особенно тот, кто учился в «докалькуляторную эпоху») имеет очень большую практику употребления этого алгоритма и, естественно, он уже, как говорят педагоги, автоматизировался, т. е. взрослый человек часто не задумывается над процессом его применения. Ребенку, который только начинает этому учиться намного труднее, особенно, если он при этом не очень тверд в таблице умножения и сложении двузначных чисел в уме. Письменное умножение на двузначное (и многозначное) число опирается на правило умножения числа на сумму. Прием письменного умножения на двузначное число можно записать подробно: 329 • 24 = 329 • (20 + 4) = 329 • 20 + 329 • 4 = 6580 + 1316 = 7896 или кратко (в столбик) Число 1316 называют первым неполным произведением, число 6580 называют вторым неполным произведением. Последний нуль (в разряде единиц) в записи числа 6580 при вычислениях в столбик опускают, лишь подразумевая его, для скорости записи. При этом цифру 8 (количество десятков) записывают в разряде десятков (таким образом, второе неполное произведение записывается со сдвигом влево на одну позицию). Аналогично производится вычисление и запись умножения на трехзначное число. 382 • 729 В этом случае имеем три неполных произведения: 382 • 700 = 267 400 — результат умножения числа 382 на число единиц; 382 • 20 =7 640 — результат умножения числа 382 на число десятков; 382 • 9 = 3 438 — результат умножения числа 382 на число сотен. Результат умножения 382 • 729 дает сумма этих неполных произведений. Записи последних нулей в неполных произведениях при вычислениях в столбик опускаются для экономичности записи, однако они подразумеваются, что показано сдвигом влево на один разряд каждого следующего неполного произведения. Технически, несмотря на экономичный способ записи, выполнение умножения многозначного числа на двузначное или трехзначное число — процесс сложный и трудоемкий, требующий не только знания способов записи и порядка выполнения действий при письменных вычислениях, но и прочного знания таблицы умножения (до автоматизма), а также умения производить сложение двузначных и однозначных чисел в уме. Особые случаи В качестве особых случаев рассматривают случаи умножения целых чисел (чисел с нулями) вида: 35 • 20; 532 • 300; 2540 • 400. В основе умножения в этих случаях лежит правило умножения числа на произведение (сочетательное свойство умножения): а • (b • с) = (а • b) • с = (а • с) • b. Например: 35 • 20 = 35 • (2 • 10) = (35 • 2) • 10=70 • 10= 700 2 540 • 400 = 2 540 • (4 • 100) = (2 540 • 4) • 100 = 10160 • 100 = 1016 000 Письменное умножение чисел с нулями рассматривается отдельно в связи с тем, что при записи таких вычислений в столбик происходит нарушение общего правила записи чисел при письменном умножении. При этом уже не соблюдается установка: «записываем разряд под соответствующим разрядом». Записывают одну под другой значащие цифры множителей. Например, в последнем случае значащая цифра 4 (число сотен) второго множителя записывается под значащей цифрой 4 (число десятков) первого множителя. Далее умножение производится по принципу «многозначное число умножаем на однозначное», а результат домножается в уме на количество десятков и сотен в множителях. Технически это выглядит как дописывание к результату справа такого же количества нулей, как в обоих множителях. Сложные случаи письменного умножения К сложным случаям письменного умножения относят все случаи вычислений, в которых происходит либо нарушение способа записи (для краткости вычислений), либо нарушение порядка выполнения алгоритма. В общем случае при записи умножения в столбик следует записывать разряд под соответствующим разрядом, а вычисления начинать с умножения первого множителя на единицы младшего разряда (разряда единиц), далее умножают первый множитель на число десятков второго множителя, далее — на число сотен и т. д. Таким образом, находят неполные произведения, которые затем складывают, получая результат умножения. Для того чтобы ребенок понял смысл всех этих многочисленных действий «по умолчанию», при знакомстве с этими трудными случаями следует сначала производить полные записи и выполнять все, предписанные алгоритмом действия, а не просто указывать ребенку, что куда следует «сдвигать». Затем, сравнивая два вида записи (полный и сокращенный) нужно помочь ребенку понять, какие элементы и этапы полного алгоритма и полной записи можно опустить, и что при этом произойдет с формой записи. В этом случае ребенок будет выполнять трансформации формы записи и порядка выполнения действий при письменном умножении осознанно, что способствует пониманию вычислительного приема и формированию осознанной вычислительной деятельности школьника. |